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1、数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算1第1页，共31页，编辑于2022年，星期六幂法幂法 用于计算矩阵按模用于计算矩阵按模最大最大的特征值及其相应的特征向的特征值及其相应的特征向量量,特别适用于大型稀疏矩阵特别适用于大型稀疏矩阵.1幂法和反幂法幂法和反幂法反幂法反幂法 用于计算矩阵按模用于计算矩阵按模最小最小的特征值及其特征向量的特征值及其特征向量,也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量.2第2页，共31页，编辑于2022年，星期六设设A为为n阶实矩阵阶实矩阵,其特征值为其特征值为 1,2,n,相应的相应的特征特征向量为向量为u1,u2
2、,un.且满足条件且满足条件 u1,u2,un线性无关线性无关.幂法幂法 幂法幂法:求求 1及其相应的特征向量及其相应的特征向量.此时1一定是实数!1通常称为通常称为主特征值主特征值.3第3页，共31页，编辑于2022年，星期六 幂法基本思想幂法基本思想 给定初始非零向量给定初始非零向量x(0),由矩阵由矩阵A构造一向量序列构造一向量序列 在一定条件下在一定条件下,当当k充分大时充分大时:相应的特征向量为相应的特征向量为:4第4页，共31页，编辑于2022年，星期六设设 1不为零不为零.x(k+1)为为 1的特征向量的近似向量的特征向量的近似向量(除一个因子外除一个因子外).对任意向量对任意向
3、量x(0),有有 幂法的理论依据幂法的理论依据故故5第5页，共31页，编辑于2022年，星期六 如果如果x(0)的选取恰恰使得的选取恰恰使得 1=0,幂法仍能进行幂法仍能进行.因为计算因为计算过程中会有舍入误差过程中会有舍入误差,迭代若干次后迭代若干次后,必然会产生一个向量必然会产生一个向量x(k),它在它在u1方向上的分量不为零方向上的分量不为零,这样以后的计算就满足这样以后的计算就满足所设条件所设条件.因为因为 计算过程中可能会出现上溢计算过程中可能会出现上溢(|1|1)或下溢成为或下溢成为0(|1|2|3|n|,则对则对任取非任取非零初始向量零初始向量x(0)=y(0)0(1 0),按下
4、述方法构造向量序列按下述方法构造向量序列 x(k),y(k)则有则有9第9页，共31页，编辑于2022年，星期六 幂法特别适用于求幂法特别适用于求大型稀疏矩阵大型稀疏矩阵的主特征值和相应的的主特征值和相应的特征向量特征向量.若若A的主特征值的主特征值 1为实的为实的m重根重根,即即 1=2=m,且且|1|m+1|m+2|n|,又设又设A有有n个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量,此时此时幂法仍然适用幂法仍然适用.幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值 即即 比值越接近比值越接近1,收敛速度越慢收敛速度越慢,比值越接近比值越接近0,收敛越快收敛越快.10第10页，共31页，编辑于2
5、022年，星期六例例 用幂法求矩阵用幂法求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量的按模最大的特征值和相应的特征向量.取取 x(0)=(0,0,1)T,要求误差不超过要求误差不超过10 3.解解11第11页，共31页，编辑于2022年，星期六12第12页，共31页，编辑于2022年，星期六 应用幂法计算矩阵应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要由比的主特征值的收敛速度主要由比值值 r=|2/1|来决定来决定,但当但当r接近于接近于1时时,收敛可能很慢收敛可能很慢.这这时可以采用加速收敛的方法时可以采用加速收敛的方法.幂法的加速幂法的加速原点移位法原点移位法引进矩阵引进矩阵B=A 0I其中其中
6、 0为代选择参数为代选择参数.设设A的特征值为的特征值为 1,2,n,则则B的特征值为的特征值为 1 0,2 0,n 0,而且而且A,B的特征的特征向量相同向量相同.13第13页，共31页，编辑于2022年，星期六 仍设仍设A有主特征值有主特征值 1,且且取取 0使得使得且且 用幂法求矩阵用幂法求矩阵B=A 0I的按模最大的特征值的按模最大的特征值 1*,则则 1=1*+0.10是B=A0I的主特征值对B应用幂法比对A应用幂法收敛速度快原点移位法14第14页，共31页，编辑于2022年，星期六例例矩阵矩阵A的特征值为的特征值为直接应用幂法求矩阵直接应用幂法求矩阵A的主特征值其收敛速度为的主特征
7、值其收敛速度为用原点移位法求主特征值用原点移位法求主特征值,取取 0=2.9,此时收敛速度为此时收敛速度为15第15页，共31页，编辑于2022年，星期六 原点移位法使用简便原点移位法使用简便,不足之处在于不足之处在于 0的选取十分困难的选取十分困难,通常需要对特征值的分布有一大概的了解通常需要对特征值的分布有一大概的了解,才能粗略才能粗略地估计地估计 0,并通过计算不断进行修改并通过计算不断进行修改.16第16页，共31页，编辑于2022年，星期六若若 ak 线性收敛线性收敛于于a,即即当当 k 充分大时，有充分大时，有 幂法的加速幂法的加速Aitken加速法加速法17第17页，共31页，编
8、辑于2022年，星期六可以证明可以证明 用用 逼近逼近a,这就是这就是Aitken加速法加速法.把上式右端记为把上式右端记为即即 比比 快快.将将Aitken方法用于幂法产生的序列方法用于幂法产生的序列 k,可加快幂法可加快幂法的收敛速度的收敛速度.18第18页，共31页，编辑于2022年，星期六例例 用用Aitken加速法求矩阵加速法求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量的按模最大的特征值和相应的特征向量,取取 x(0)=(0,0,1)T.解解19第19页，共31页，编辑于2022年，星期六反幂法反幂法 用于计算矩阵按模用于计算矩阵按模最小最小的特征值及其特征向的特征值及其特征向量量,也可
9、用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量量,是目前求特征向量最有效的方法是目前求特征向量最有效的方法.反幂法反幂法20第20页，共31页，编辑于2022年，星期六设设A为为n阶实可逆矩阵，其特征值满足阶实可逆矩阵，其特征值满足对应的特征向量分别对应的特征向量分别 u1,u2,un,则则A 1的特征值满足的特征值满足对应的特征向量分别对应的特征向量分别 un,un-1,u2,u1.反幂法：计算反幂法：计算 n以及相应的特征向量以及相应的特征向量.反幂法反幂法21第21页，共31页，编辑于2022年，星期六 对于对于A 1应用幂法迭代应用幂法迭代，可求
10、得矩阵，可求得矩阵A 1的主特征值的主特征值1/n,从而求得从而求得A的按模最小的特征值的按模最小的特征值 n.反幂法基本思想反幂法基本思想22第22页，共31页，编辑于2022年，星期六 反幂法迭代公式为反幂法迭代公式为 任取初始向量任取初始向量x(0)=y(0)0,构造向量序列构造向量序列 迭代向量迭代向量x(k+1)可以通过解方程组求得可以通过解方程组求得 当当k充分大时充分大时23第23页，共31页，编辑于2022年，星期六定理定理 设设A为非奇异矩阵且有为非奇异矩阵且有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，其对应的特征值满足其对应的特征值满足则对任何初始非零向量则对任何初始非
11、零向量x(0)(n 0),由反幂法构造的向由反幂法构造的向量序列量序列x(k),y(k)满足满足 收敛速度比值为收敛速度比值为24第24页，共31页，编辑于2022年，星期六 在反幂法中也可用在反幂法中也可用原点移位法原点移位法来加速迭代过程或求来加速迭代过程或求其其他特征值及特征向量他特征值及特征向量.设已知设已知A的一个特征值的一个特征值 的近似值的近似值 *,因为因为*接近接近,一般应有一般应有0|*|i*|(i )故故 *是矩阵是矩阵A*I的按模最小的特征值，比值的按模最小的特征值，比值|(*)/(i*)|较小较小.因此对因此对A*I用反幂法用反幂法 求求 *一般收敛很快，通常只要迭代
12、二、三次就能达到较一般收敛很快，通常只要迭代二、三次就能达到较高的精度高的精度.带原点移位的带原点移位的反幂法反幂法25第25页，共31页，编辑于2022年，星期六 原点移位反幂法原点移位反幂法任取初始向量任取初始向量x(0)=y(0)0,迭代向量迭代向量x(k+1)可以通过解方程组求得可以通过解方程组求得26第26页，共31页，编辑于2022年，星期六为了节省计算量，可以先对为了节省计算量，可以先对A*I 作三角分解作三角分解已知已知 y(k)求求 x(k+1)可通过下列方式进行可通过下列方式进行27第27页，共31页，编辑于2022年，星期六 原点移位反幂法计算公式原点移位反幂法计算公式任
13、取初始向量任取初始向量x(0)=y(0)0,先对先对A*I作三角分解作三角分解 已知已知y(k)求求x(k+1).用下列计算公式构造向量序列用下列计算公式构造向量序列 x(k),y(k)28第28页，共31页，编辑于2022年，星期六 在一定条件下，有在一定条件下，有 带原点移位的带原点移位的反幂法是目前求特征反幂法是目前求特征向量最有效的方法向量最有效的方法.29第29页，共31页，编辑于2022年，星期六例例 用反幂法求用反幂法求的对应于特征值的对应于特征值 1.2679的特征向量的特征向量.30第30页，共31页，编辑于2022年，星期六上机作业上机作业第第121页第页第2题题.31第31页，共31页，编辑于2022年，星期六