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1、.word.一函数单调性一函数单调性1.增函数、减函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间D上是减函数.注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域必须先求函数的定义域.2、增、减函数的性质：增函数：12xx12()()f xf x减函数：12xx12()()f xf x式子的变形：式子的变形：设2121,xxbaxx那么1212()()()0 x
2、xf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1)、取值：设任意两个实数12,x x有，12,x xD，且12xx；2)、作差：)()(21xfxf；3)、变形：通常方法：因式分解；配方；分母有理化；4)、定号：即判断差)()(21xfxf 的正负；5)、下结论：即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性取值取值作差作差变形变形定号定号下结论下结论例：证明函数在 R 上是
3、增函数.xxxf3)(.word.一些重要函数的单调性：一些重要函数的单调性：1、一次函数的图象 y=kx+b 的单调性：（1）当 k0 时，函数在 R 上是增函数2当 k0 时，函数在 ,0,0,上是减函数2当 k0 时，函数在 ab2,上是减函数,在 ,2ab上是增函数2当 a0 时，函数在 ab2,上是增函数,在 ,2ab上是减函数例题：偶函数()f x在区间0,)单调增加，那么满足(21)fx 1()3f的 x 取值 X 围是:()变式：二次函数的根本性质例 1、函数2()2f xxtx在1，2上是单调递增函数，那么实数t的取值 X 围是_二、两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性1
4、、如果函数 f(x)在区间 D 上是增减函数，函数 g(x)在区间 D 上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在 D 上为增(减)函数。归纳为：同加，单调性不变归纳为：同加，单调性不变2、对于复合函数 )(xgfy 的单调性，必须考虑)(ufy 和)(xgu 的单调性，从而得到 )(xgfy 的单调性。.word.1）)(xgu 增)(ufy 增复合函数 )(xgfy 增2）)(xgu 减)(ufy 减复合函数 )(xgfy 增3）)(xgu 增)(ufy 减复合函数 )(xgfy 减4）)(xgu 减)(ufy 增复合函数 )(xgfy 减归纳为归纳为：同增异减同增异减。研究函数
5、的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。函数的奇偶性的归纳总结函数的奇偶性的归纳总结一、知识要点：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。注意：注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、既是奇又是偶函数.3、奇偶函
6、数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称。常用的结论：假设 f(x)是奇函数，且 x 在 0 处有定义，那么 f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性完全一样，最值相反。奇函数 f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增减，那么 f(x)在区间b,a上也是单调递增减；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反，最值一样。偶函数 f(x)在区间a,b0ab上单调递增减，那么 f(x)在区间b,
7、a上单调递减增假设函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，那么 u=g(x)，y=f(u)都是奇.word.函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶那么偶，内奇同外内偶那么偶，内奇同外.5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数()f x的定义域内任意一个x，都有 xfxf或 1xfxf或 0 xfxf函数 fx是偶函数；对于函数()f x的定义域内任意一个x，都有 xfxf或 1xfxf或 0 xfxf函数 fx是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点
8、对称；、比拟)(xf 与)(xf的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y y轴对称的函数是偶函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。假设()f x为偶函数，那么()()(|)fxf xfx。二、典例分析二、典例分析1 1、给出、给出函数函数解析式解析式判断判断其其奇偶性奇偶性：判断以下函数的奇偶性：(1)(1).2()21;f xxx (2)(2)(1),(0)()0,(0)(1),(0)xxxf xxxxx 解：(1)(1)()f x函数的定义域是()
9、，2()21f xxx ，2()()21fxxx 221()xxf x ，2()21f xxx 为偶函数。.word.(2 2)函数的定义域为 R R当0 x 时，0,()()(1)(1)();xfxxxxxf x 当0 x 时，0,()0();xfxf x 当0 x 时，0,()()1()(1)().xfxxxxxf x 综上可知，对于任意的实数x x，都有()()fxf x ，所以函数()f x为奇函数。练习题:一、选择题：1在区间(0，)上不是增函数的函数是Ay=2x1By=3x21Cy=x2Dy=2x2x12函数f(x)=4x2mx5 在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，那
10、么f(1)等于A7B1C17D253函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，那么y=f(x5)的递增区间是A(3，8)B(7，2)C(2，3)D(0，5)4函数f(x)=21xax在区间(2，)上单调递增，那么实数a的取值 X 围是A(0，21)B(21，)C(2，)D(，1)(1，)6函数f(x)=82xx2，如果g(x)=f(2x2)，那么函数g(x)A在区间(1，0)上是减函数B在区间(0，1)上是减函数C在区间(2，0)上是增函数D在区间(0，2)上是增函数7函数f(x)是 R 上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x1)|1 的解集的补集是 A(1，
11、2)B(1，4)C(，1)4，D(，1)2，8定义域为 R R 的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么以下式子一定成立的是Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)9函数)2()(|)(xxxgxxf和的递增区间依次是.word.A 1,(,0,(B),1,0,(C 1,(),0D),1),010函数 2212f xxax在区间4,上是减函数，那么实数a的取值X围是Aa3Ba3Ca5Da311f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR R且ab0，那么以下不等式中正确的选项是 Af
12、(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)12定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，那么 Af(1)f(3)Bf(0)f(3)Cf(1)=f(3)Df(2)f(3)二、填空题：13函数y=(x1)-2的减区间是_14函数y=x2x12 的值域为_15、设 yf x是R上的减函数，那么3yfx的单调递减区间为.16、函数f(x)=ax24(a1)x3 在2，上递减，那么a的取值 X 围是_三、解答题：17f(x)是定义在(0，)上的增函数，且f(yx)=f(
13、x)f(y)1求f(1)的值2假设f(6)=1，解不等式f(x3)f(x1)2 18函数f(x)=x31 在 R R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论.word.19试讨论函数f(x)=21x在区间1，1上的单调性20设函数f(x)=12xax，(a0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在 0，)上为单调函数21f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，XX 数m的取值 X 围22函数f(x)=xaxx22，x1，1当a=21时，求函数f(x)的最小值；2假设对任意x1，)，f(x)0 恒成立，试 XX 数a的取
14、值 X 围.word.参考答案一、选择题：一、选择题：CDBBDADCCABA二、填空题：二、填空题：13.(1，)，14.(，3)，15.3,，21,三、解答题：三、解答题：17.解析：在等式中0 yx令，那么f(1)=0在等式中令 x=36，y=6 那么.2)6(2)36(),6()36()636(fffff故原不等式为：),36()1()3(fxfxf即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103xxxxx18.解析：f(x)在 R R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2(，)，x1x2，那么f(x1)=x1
15、31，f(x2)=x231.word.f(x1)f(x2)=x23x13=(x2x1)(x12x1x2x22)=(x2x1)(x122x)243x22 x1x2，x2x10 而(x122x)243x220，f(x1)f(x2)函数f(x)=x31 在(，)上是减函数19.解析：设x1、x21，1且x1x2，即1x1x21f(x1)f(x2)=211x221x=2221222111)1()1(xxxx=2221121211)(xxxxxxx2x10，222111xx0，当x10，x20 时，x1x20，那么f(x1)f(x2)当x10，x20 时，x1x20，那么f(x1)f(x2)故f(x)=
16、21x在区间1，0上是增函数，f(x)=21x在区间0，1上是减函数20.解析：任取x1、x20，且x1x2，那么f(x1)f(x2)=121x122xa(x1x2)=1122212221xxxxa(x1x2)=(x1x2)(11222121xxxxa)(1)当a1 时，11222121xxxx1，又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)a1 时，函数f(x)在区间0，)上为减函数(2)当 0a1 时，在区间0，上存在x1=0，x2=212aa，满足f(x1)=f(x2)=10a1 时，f(x)在，上不是单调函数注：判断单调性常规思路为定义法；变形过程中11222121xx
17、xx1 利用了121x|x1|x1;122xx2；从a的 X 围看还须讨论 0a1 时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的表达21.解析：f(x)在(2，2)上是减函数.word.由f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(12m)32232131211,2212212mmmmmmm即解得3221m，m的取值 X 围是(32,21)22.解析：(1)当a=21时，f(x)=xx212，x1，)设x2x11，那么f(x2)f(x1)=x21122121xxx=(x2x1)21212xxxx=(x2x1)(12121xx)x2x11，x2x10，12121xx0，那么f(x2)f(x1)可知f(x)在1，)上是增函数f(x)在区间1，)上的最小值为f(1)=27(2)在区间1，)上，f(x)=xaxx220 恒成立x22xa0 恒成立设y=x22xa，x1，)，由y=(x1)2a1 可知其在1，)上是增函数，当x=1 时，ymin=3a，于是当且仅当ymin=3a0 时函数f(x)0 恒成立故a3