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1、2001-2012年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1. （2001江苏南京2分）如图所示，四边形ABCD为O的内接四边形，E为AB延长线的上一点，CBE=40，则AOC等于【 】A20 B40 C80 D100【答案】C。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质。【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出D，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解：四边形ABCD为O的内接四边形，CBE=D。AOC=2D=80。故选C。2.（江苏省南京市2002年2分）如图，正六边形ABCDEF的边长是a,分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是【 】A、
2、 B、 C、 D、【答案】C。【考点】多边形内角和定理，扇形面积公式。【分析】正六边形的每个内角为，阴影为两个圆心角为120的扇形。根据扇形面积公式得图中阴影部分的面积是 。故选C。3. （江苏省南京市2003年2分）如图，AB是O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切O于点C，PC3，PB1，则O的半径等于【 】（A） （B）3 （C）4 （D） 【答案】C。【考点】切割线定理。【分析】因为PC，PA分别是圆的切线与割线，根据切割线定理可求得PC=3，从而求得AB=8，即可求得半径的长：PC，PA分别是圆的切线与割线，PC2=PBPA。PC=3，PB=1，PA=9，AB=8。半径为4故选C。
3、4. （江苏省南京市2003年2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为【 】 （A）16 （B）8 （C）4（D）4【答案】B。【考点】圆柱的计算。【分析】根据圆柱的侧面积公式=底面周长高计算解：圆柱的侧面面积=222=8（cm2）。故选B。5. （江苏省南京市2004年2分）如图，A，B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于【 】A、70B、35 C、20D、10【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，切线的性质。【分析】欲求BAC，由AC是O的切线知道OAC=90，又可推知OAB=B，则BAC可求：OA=OB，B=OAB=70。AC是O
4、的切线，OAAC，即OAC=90。BAC=OAC OAB=20。故选C。6. （江苏省南京市2006年2分）如图，点A、B、C在O上，AOBC，OAC=20，则AOB的度数是【 】A.1O B.20 C.40 D.70【答案】C。【考点】圆周角定理，平行线的性质。【分析】OAC=20，AOBC，ACB =OAC=20。AOB=2ACB =40。故选C。7. （江苏省南京市2008年2分）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为【 】ABCD【答案】C。【考点】三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，垂径定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】连接OA
5、，并作ODAB于D，则OAD=30，OA=2，AD=OAcos30=。AB=。故选C。8. （江苏省南京市2008年2分）如图，已知O的半径为1，AB与O相切于点A，OB与O交于点C，ODOA，垂足为D，则的值等于【 】AODBOACCDDAB【答案】A。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义。【分析】利用余弦的定义求解：CDOA，CDO=90。OC=1，cosAOB=OD：OC=OD。故选A。二、填空题1.（2001江苏南京2分）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则ADE等于 。 【答案】60。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形
6、的判定和性质。【分析】A与BC相切于点D，ADBD，即ADB=90。AB=AC，BAC=120，BAD=BAC=60。AE=AD，AED是等边三角形。ADE=60。2.（2001江苏南京2分）已知O的半径为4cm，AB是O的弦，点P在AB上，且OP=2cm，PA=3cm，则PB= cm。 【答案】4。【考点】相交弦定理。【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：如图，作直线OP交O于C、D两点，O的半径为4cm，OP=2cm，PA=3cm，PC=42=2cm，PD=4+2=6cm。由相交弦定理得：PAPB=PCPD，PB=（cm）。 【没
7、学相交弦定理的可连接AC、BD，应用APCDPB求解】3. （江苏省南京市2002年2分）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，则EF的长是 .【答案】4。【考点】垂径定理，相交弦定理。【分析】根据相交弦定理及垂径定理求解：AB是O的直径，弦CDAB，垂足是G，F是CG的中点，CG=GD，CF=FG=CG。CF=2，CG=GD=22=4，FD=2+4=6。由相交弦定理得EFAF=CFFD，即EF=CFFD AF =26 3 =4。4. （江苏省南京市2003年2分）如图，O的两条弦AB、CD相交于点P，PD2PB，PC2cm，则 PA c
8、m【答案】4。【考点】相交弦定理。【分析】由相交弦定理可以得到PAPB=PCPD，然后利用已知条件即可求出PA： 。5. （江苏省南京市2004年2分）如图，割线PAB与O交于点A、B，割线PCD与O交于点C、D，PA=PC，PB=3cm，则PD= cm【答案】3。【考点】切割线定理。【分析】根据割线定理得PAPB=PCPD，已知PA=PC从而可得到PB=PD=3cm。6. （江苏省南京市2007年3分）如图，O是ABC的外接圆，C=30，AB=，则O的半径为 【答案】2。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理。【分析】作直径AD，连接BD，得ABD=90，D=C=30，AD=4，即圆的半径
9、是2。7. （江苏省南京市2008年3分）已知和的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距等于 cm【答案】2。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由于和内切，则圆心距=53=2。8. （江苏省南京市2008年3分）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台【答案】3
10、。【考点】圆周角定理【分析】A=65，该圆周角所对的弧所对的圆心角是130。又360130=，共需安装这样的监视器3台。9. （江苏省2009年3分）如图，AB是O的直径，弦CDAB若ABD=65，则ADC= 【答案】25。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】CDAB，ADC=BAD。又AB是O的直径，ADB=90。又ABD=65，ADC=BAD=90ABD=25。10. （江苏省2009年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留）【答案】。【考点】正六边形的性质，
11、扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角BAC=600，弧长。 由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。11. （江苏省南京市2010年2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm【答案】8。【考点】圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理。【分析】连接OA、OC，由切线的意义知OAC为直角三角形，再由勾股定理得OA2=OC2+AC2，即52=32+AC2，所以AC=4，再由垂径定理得AB=2AC=8。12. （江苏省南京市2010年2分）
12、如图，点C在O上，将圆心角AOB绕点O按逆时针方向旋转到A/OB/，旋转角为（0180）若AOB=30，BCA/=40，则= 【答案】110。【考点】旋转的性质，圆周角与圆心角的关系。【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的的一半，得BOA/=2BCA/=80，所以=AOB+BOA/=30+80=110。13. （江苏省南京市2011年2分）如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓（弓形的弧是O的一部分）区域内，AOB=80，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角APB的最大值为 【答案】40。【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角APB的最大
13、值是轮船P落在圆周上，根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半的定理，轮船P与A、B的张角APB的最大值为40。三解答题1.（2001江苏南京7分）如图，AB是O的直径，P在AB的延长线上，PD与O相切于D，C在O上，PC=PD。（1）求证：PC是O的切线；（2）连接AC，若AC=PC，PB=1，求O的半径。【答案】解：（1）证明：连接OC，OD。PD与O相切于D，PDO=90。C在O上，PC=PD，OP=OP，OC=OD，OCPODP（SSS）。OCP=PDO=90。PC是O的切线。（2）连接OC。AC=PC，CAO=CPA。AO=CO，CAO=OCA。在ACP中，CAPCPAACP=1800，3
14、CPA900=1800，即CPA=30。在RtOCP中，OC=OP，即OC=（1+OB）。OC=OB，OC=1。O的半径为1。【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质。【分析】（1）要证PC是O的切线，只要连接OC，OD，通过证明OCPODP得出OCP=90即可。（2）运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理求出CPA的度数，应用含30度角直角三角形的性质得出O的半径。2. （2001江苏南京7分）如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P，使得OPOP=r2，这把点P变为点P的变换
15、叫做反演变换，点P与点P叫做互为反演点。（1）如图2，O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A和B。求证：A=B；（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形。选择：如果不经过点O的直线l与O相交，那么它关于O的反演图形是【 】A、 一个圆； B、一条直线； C、一条线段； D、两条射线填空：如果直线l与O相切，那么它关于O的反演图形是 ； 该图形与圆O的位置关系是 。 3. （2001江苏南京11分）（1）如图1，已知A点坐标为（0，3），A的半径为1，点B在x轴上。若B点坐标为（4，0），B的半径为3，试判断A与B的位置关系；若B过点M（2
16、，0），且与A相切，求B点坐标。（2）如图2，点A在y轴上，A在x轴的上方。问：能否在x轴的正半轴上确定一点B，使B与y轴相切，并且与A外切，为什么？【答案】解：（1）A（0，3），B（4，0），OA=3，OB=4，AB=。两圆外离。设B（x，0），B过点M（2，0），B的半径为。则AB=。若A与B外切，时，解得x=0；时，解得x=4，与不符。B（0，0）。若A与B内切，时，解得x=4；时，解得x=0，与不符。B（4，0）。（2）能。过A作ADx轴，连接OD交A于C，连接AC并延长交x轴于B，则以B为圆心，以OB为半径的B与y轴相切，并且与A外切。理由如下：ADx轴，ADO=BOD。AC=AD
17、，ADC=ACD。OCB=BOC。BC=OB。以B为圆心，以OB为半径的B与y轴相切，并且与A外切。【考点】圆与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理，平行的性质，等腰判定和性质。【分析】（1）先根据A、B的坐标求出圆心距AB的长，然后和两圆的半径进行比较即可；本题可设出B点的坐标，然后表示出圆心距AB的长，和B的半径长，分内切和外切两种情况进行求解。（2）可过A作x轴的平行线交A于D，连接OD交A于C，连接AC并延长交x轴于B，则B以BC为半径，与y轴相切，与A外切。4.（江苏省南京市2002年9分）已知：如图，O1与O2相交于A、B两点，O1在O2上，O2的弦BC切O1于B，延长BO1、C
18、A交于点P、PB与O1交于点D。（1）求证：AC是O1的切线；（2）连结AD、O1C，求证：ADO1C；（3）如果PD1，O1的半径为2，求BC的长。【答案】解：（1）证明：连接O1A，BC是O1的切线，O1BC=90。O1AP是圆O2的内接四边形的外角，PAO1=O1BC=90。AC是O1的切线。（2）证明：连接AB，PC切O1于点A，PAD=ABD。ACO1=ABO1，PAD=ACO1。ADO1C。（3）PC是O1的切线，PB是O1的割线，PA2=PDPB。PD=1，PB=5，PA=。又ADO1C，即。AC=2。AC，BC都是O1的切线，BC=AC=2。【考点】切线的性质和判定，圆内接四边
19、形的性质，圆周角定理，平行的判定和性质，切割线定理，切线长定理。【分析】（1）证AC是圆O1的切线，可连接O1A然后证O1APC即可，可通过PAO1是圆O2的内接四边形的外角来求解。（2）证ADO1C，证PAD=O1CA即可，可通过与两角相等的中间角来求解；连接BA，那么O1BA就是与两角相等的中间角。（3）由于BC，AC同与圆O1相切，因此根据切线长定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的长，有了PD和O1的半径即O1D，O1B的值，那么可根据切割线定理求出PA，由（2）得出的平行线，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PA，PC，PD，PO的比例关系，而PD，DQ1，PA的值都已知，因此
20、可求出AC的长，也就求出了BC的长。5. （江苏省南京市2002年8分）已知：O1与O2外切，O1的半径R2，设O1的半径是r.（1）如果O1与O2的圆心距d=4,求r的值；（2）如果O1、O2的公切线中有两条互相垂直，并且rR,求r的值。【答案】解：（1）由O1与O2的圆心距d=4和O1的半径R2，得2r=4，即r=2。 （2）情形一，如图1：这时r=R=2。情形2，如图2：根据切线长定理得到等腰直角三角形，则有AO=OB=2 ，解得。【考点】相切两圆的性质，勾股定理。【分析】（1）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和进行计算。（2）分r=R和rR两种情形求解。r=R时直接可得。rR时，根据
21、切线长定理和切线的性质定理发现两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到方程进行计算。6. （江苏省南京市2003年8分）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些回所覆盖例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖图1 图2回答下列问题： 边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm； 边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最
22、小值是 cm； 长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm【答案】解：（1）。（2）。（3）；1。【考点】正多边形和圆【分析】当一个图形被一个圆覆盖时，当圆是这个图形的外接圆时，圆最小；当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形：（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值=；（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD= 。三角形是正三角形，ABC=6
23、0。O是外心，OBC=30，OD=OB。设OA=OB=x，则OD=x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，解得：x=。（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1。7. （江苏省南京市2003年9分）如图O与O相交于A、B两点，点O在O上，O的弦OC交AB于点D 求证：OAOCOD； 如果ACBCOC，O的半径为r求证：AB【答案】证明：（1）连接OB，OA=OB，OAB=OBA。OCA=OBA，OAB=OCA。AOC=D
24、OA，AOCDOA。 ，即OA2=OCOD。（2）AOCDOA，。同理可得，。， 即。AC+BC= OC，OA=r，AB=r。【考点】圆与圆的位置关系，相交两圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）欲证OA2=OCOD，通过证明AOCDOA妈可以得出。（2）因为AC+BC= OC，O的半径为r，欲证AB= r，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明AOCDOA，OBDOCB，得出比例形式相加，即可得出。8. （江苏省南京市2005年11分）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=12
25、cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在ABC的左侧，OC=8cm（1）当t为何值时，ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？ （2）当ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积【答案】解：（1）ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切有以下四种情形： 情形一：当半圆O所在的圆运动到点E与点C重合时，半圆O在AC左边与AC相切，如图1。 此时，半圆O运动的距离为86=2。 t=22=1 (s)。 情形二：当半圆O所在的圆
26、运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。 此时，半圆O运动的距离为8。 t=82=4 (s)。情形三：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。 此时，半圆O运动的距离为86=14。 t=142=7 (s)。 情形四：当半圆O所在的圆运动到AB右边与AB相切时，如图4。 此时，半圆O运动的距离为81212=32。 t=322=16 (s)。 综上所述，当t=1，4，7，16 s时，ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。 （2）当ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分的有
27、两种情形：情形一：当半圆O所在的圆运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。此时半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域重叠部分为圆面积=9cm2。情形二：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。此时半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域重叠部分为扇形OCF加上OBF。COF=2ABC=60，扇形OCF的面积为cm2。OBF的边OB上的高=，OBF的面积为 cm2。重叠部分面积= cm2。综上所述，当ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域重叠部分的面积为9cm2或 c
28、m2。【考点】运动问题，直线与圆相切的性质，扇形和三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据直线与圆相切的性质分四种情形分别讨论即可。 （2）分两种情形分别求出重叠部分的面积。9. （江苏省南京市2010年8分）如图，AB是O的直径，点D在O上，DAB=45，BCAD，CDAB（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】解：（1）直线CD与O相切。理由如下：如图，连接OD。OA=OD，DAB=45，ODA=45。AOD=90。CDAB，ODC=AOD=90，即ODCD。又点
29、D在O上，直线CD与O相切。（2）BCAD，CDAB，四边形ABCD是平行四边形。CD=AB=2。S梯形OBCD=。图中阴影部分的面积为S梯形OBCD S扇形OBD= 。 【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行的性质，直线与圆相切的判定，平行四边形的判定和性质。扇形面积。【分析】（1）欲判断直线CD与O的位置关系，由图形可猜想其结论为相切，由条件DAB=45，CDAB知ADC=135，再连接OD得ADO=45，因此ODC=90，猜想得证。（2）观察图形发现阴影部分可在梯形ODCB中求解：梯形ODCB的面积减扇形OBD的面积。10. （2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇
30、形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm， 用含x的代数式表示扇形的半径； 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？【答案】解：（1）连接O1A。 O1与O2C、O2D分别切一点A、B，O1AO2C，O2E平分CO2D。，AO2O1=CO2D=30。在RtO1AO2中，O1O2=A O1 sinAO2O1 =x sin30 =2x。EF=24cm，FO2=EFEO1O1O2=243x，即扇形O2CD的半径为（243x）cm。（2）设该玩具的制作成本为y元，则。当x=4时，y的值最小。答：当O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。 【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。【分析】（1）连接O1A由切线的性质知AO2O1=CO2D=30；然后在RtO1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。19