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1、2015-2016 学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 36 分，共有分，共有 12 题，每题题，每题 3 分）分）1数 1 与 9 的等差中项是_2若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是_3行列式中元素 8 的代数余子式的值为_4若向量=（1，2），=（1，3），=3 ，则向量 的单位向量=_5等差数列an中，a1=1，a3=3，an=9，则 n=_6已知向量=（1，2），=（1+x，x），且 ，则 x 的值为_7已知=，若实数满足=，则的值为_8一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果
2、为_9关于 x 的方程=0 的解为_10若无穷等比数列an的各项和为 3，则首项 a1的取值范围为_11已知正方形 ABCD 的边长为 1，M 是正方形 ABCD 四边上或内部的动点，则的取值范围是_12定义=（nN*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cos，sin），O 为坐标原点，则|=_二、选择题二、选择题(本大题满分本大题满分 12 分，共分，共 4 题，每题题，每题 3 分分)13用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”时，在验证 n=1 成立时，左边应该是（）A1+a+a2B1+a+a2+a3C1+aD114下列命题正确的是（）A若
3、（anbn）=a0，则an0 且bn0B若（anbn）=0，则an=0 或bn=0C若无穷数列an有极限，且它的前 n 项和为 Sn，则=a1+a2+anD若无穷数列an有极限，则an=an+115如图，A，B，C，D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A+=+B+=+C+=+D+=+16设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若已知 S6S7，S7S8，则下列叙述中正确的个数有（）S7是所有 Sn（nN*）中的最大值；a7是所有 an（nN*）中的最大值；公差 d 一定小于 0；S9一定小于 S6A1 个 B2 个 C3 个 D4 个三、解答题三、解答题17已知，x，y 的方程组（1）
4、求 D，Dx，Dy；（2）当实数 m 为何值时方程组无解；（3）当实数 m 为何值时方程组有解，并求出方程组的解18已知等比数列an的首项为 1，公比为 q（0q1），它的前 n 项和为 Sn，且 Tn=，求Tn的值19已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中 O 为坐标原点），点 P 是直线OC 上的一个动点（1）若，求的坐标；（2）当取最小值时，求 cosAPB 的值20已知无穷等数列an中，首项 a1=1000，公比 q=，数列bn满足 bn=（lga1+lga2+lgan）（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前 n 项和的最大值21设数列an的前 n 项和为 S
5、n，已知 Sn+1=pSn+q（nN*，p，q 为常数），a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求 p，q 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记集合 M=n|，nN*，若 M 中仅有 3 个元素，求实数的取值范围2015-2016 学年上海市浦东新区高二学年上海市浦东新区高二（上上）期末数学试卷期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 36 分，共有分，共有 12 题，每题题，每题 3 分）分）1数 1 与 9 的等差中项是5【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差中项的定义可得 2a=1+9，解之可得【解答】解：解：设 1 与 9 两数的
6、等差中项为 a，则可得 2a=1+9，解得 a=5，故答案为：52若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是【考点】二元一次方程组的矩阵形式【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出 x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式故答案为3行列式中元素 8 的代数余子式的值为1【考点】三阶矩阵【分析】由代数余子式的定义 A12=1 即可求得答案【解答】解：设 A=，元素 8 的代数余子式 A12=1；故答案为：14若向量=（1，2），=（1，3），=3 ，则向量 的单位向量=（，）或（，）【考点】平面向量的坐标运算【
7、分析】利用平面向量坐标运算公式求解【解答】解：向量=（1，2），=（1，3），=3 ，=（3，6）（1，3）=（4，3），向量 的单位向量=（，）故答案为：（，）或（，）5等差数列an中，a1=1，a3=3，an=9，则 n=6【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的通项公式先求出 d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可【解答】解：等差数列an中，a1=1，a3=3，a3=1+2d=3，d=2，an=9=1+（n1）2，解得 n=6，故答案为 66已知向量=（1，2），=（1+x，x），且 ，则 x 的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由 ，可得 =0，即可得出【解答】解：，=
8、（1+x）+2x=1+3x=0，解得 x=，故答案为：7已知=，若实数满足=，则的值为3【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案【解答】解：=，P，P1，P2三点共线，且 P2在线段 P1P 的反向延长线上，P2P1=P2P，=3，故答案为：38一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320【考点】程序框图【分析】框图首先先给 i 赋值 12，给 s 赋值 1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行 s=si，i=i1，不满足则跳出循环输出 s 的值【解答】解：框图首先给 i 赋值 12，给 s 赋值 1判断 1210
9、成立，执行 s=112=12，i=121=11；判断 1110 成立，执行 s=1211=132，i=111=10判断 1010 成立，执行 s=13210=1320，i=101=9；判断 910 不成立，跳出循环，输出 s 的值为 1320故答案为：13209关于 x 的方程=0 的解为x=2 或 x=3【考点】三阶矩阵【分析】将行列式展开，整理得=x25x+6，由 x25x+6=0，即可求得 x的值【解答】解：=129+x41+13x221x219x134=x25x+6，x25x+6=0，解得：x=2 或 x=3，故答案为：x=2 或 x=310若无穷等比数列an的各项和为 3，则首项 a
10、1的取值范围为（0，3）（3，6）【考点】数列的极限【分析】依题意知|q|1 且 q0，由Sn=3q=1（1，1），从而可求得 a1的取值范围【解答】解：设等比数列的公比为 q，依题意知|q|1 且 q0，Sn=，Sn=3，可得 q=1（1，1），即111 且10，解得 0a13 或 3a16故答案为：（0，3）（3，6）11已知正方形 ABCD 的边长为 1，M 是正方形 ABCD 四边上或内部的动点，则的取值范围是0，1【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点 M 位于边 AD 时，取得最小值；当点 M 位于边 BC 时，取得最大值即可得出【解答】解：如图所示
11、，由数量积的意义可得：当点 M 位于边 AD 时，取得最小值 0；当点 M 位于边 BC 时，取得最大值：1的取值范围是0，1故答案为：0，112定义=（nN*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cos，sin），O 为坐标原点，则|=（）n1【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由题意可知，分别求得|，代入求得=（cosxsinx，cosx+sinx），及|，进而求得，及|，|，|，即可求得|=（）n1【解答】解：由=，当 n=1，=（cos，sin），|=cos2+sin2=1=（）0，=（cosxsinx，cosx+sinx），|=（），=2（si
12、nx，cosx），|=2=（）2，=2（sinxcosx，sinxcosx），|=2=2=（）3，=4（sinx，cosx），|=4=4=（）4，|=（）n1，故答案为：（）n1二、选择题二、选择题(本大题满分本大题满分 12 分，共分，共 4 题，每题题，每题 3 分分)13用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”时，在验证 n=1 成立时，左边应该是（）A1+a+a2B1+a+a2+a3C1+aD1【考点】数学归纳法【分析】在验证 n=1 时，左端计算所得的项只需把 n=1 代入等式左边即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”，在验证 n=1 时，把当 n=
13、1 代入，左端=1+a+a2故选：A14下列命题正确的是（）A若（anbn）=a0，则an0 且bn0B若（anbn）=0，则an=0 或bn=0C若无穷数列an有极限，且它的前 n 项和为 Sn，则=a1+a2+anD若无穷数列an有极限，则an=an+1【考点】数列的极限【分析】对于 A，可举 an=n，bn=，由数列极限的公式即可判断；对于 B，可举 an=n，bn=，运用数列极限的公式即可判断；对于 C，可举 an=（）n1，Sn=，求出极限即可判断；对于 D，可举 an=，求出极限，结合 n，n+1 趋向于无穷，即可判断【解答】解：对于 A，若（anbn）=a0，可举 an=n，bn
14、=，即有an不存在，=0，故 A 错；对于 B，若（anbn）=0，可举 an=n，bn=，则an不存在，bn=0，故 B 错；对于 C，若无穷数列an有极限，且它的前 n 项和为 Sn，可举 an=（）n1，Sn=，即有an=0，Sn=2，显然=a1+a2+an不成立，故 C 错；对于 D，若无穷数列an有极限，可举 an=，=0，显然=0，故 D 正确故选：D15如图，A，B，C，D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A+=+B+=+C+=+D+=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证【解答】解：=，故选：
15、B16设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若已知 S6S7，S7S8，则下列叙述中正确的个数有（）S7是所有 Sn（nN*）中的最大值；a7是所有 an（nN*）中的最大值；公差 d 一定小于 0；S9一定小于 S6A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】数列的函数特性【分析】利用等差数列的性质求解【解答】解：a70，a80，S7最大，故正确；d0，a1最大，故错误；由 s6s7，S7S8可得 S7S6=a70，S8S7=a80a8a7=d0，故正确；S9S6=a7+a8+a9=3a80，故正确故选：C三、解答题三、解答题17已知，x，y 的方程组（1）求 D，Dx，Dy；（2）当实数
16、 m 为何值时方程组无解；（3）当实数 m 为何值时方程组有解，并求出方程组的解【考点】线性方程组解的存在性，唯一性【分析】（1）根据方程组得解法求得 D=m4，Dx=2，Dy=m2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨 A 丨=0 时，方程组无解；根据行列式的展开，求得 m的值；（3）由当0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解【解答】解：（1）=，D=m4，Dx=2，Dy=m2（2）由 A=，当丨 A 丨=0，即=m4=0，解得：m=4，当 m=4，方程组无解（3）当0，解得：m4，方程组有唯一解，由，4解得：y=，代入求得 x=，方程的解集为：18已知等比数列an的首项为 1，公比为
17、 q（0q1），它的前 n 项和为 Sn，且 Tn=，求Tn的值【考点】数列的极限【分析】对 q 讨论，分 q=1，0q1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值【解答】解：（1）当；（2）当，由综上得19已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中 O 为坐标原点），点 P 是直线OC 上的一个动点（1）若，求的坐标；（2）当取最小值时，求 cosAPB 的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】（1）点 P 是直线 OC 上的一个动点可设=（2x，x）利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹
18、角公式即可得出【解答】解：（1）点 P 是直线 OC 上的一个动点可设=（2x，x），=（12x，7x），=（52x，1x），（12x）（1x）（7x）（52x）=0，解得 x=（2），k=2 时，取的最小值8，此时，20已知无穷等数列an中，首项 a1=1000，公比 q=，数列bn满足 bn=（lga1+lga2+lgan）（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前 n 项和的最大值【考点】数列的求和【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得 an，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出（2）利用等差数列的前 n 项和公式及其二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）an=1000=
19、104n，=，lgan=4n，（2）设数列bn的前 n 项之和为 Tn，则=+，当 n=6，7 时，Tn取得最大值21设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn+1=pSn+q（nN*，p，q 为常数），a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求 p，q 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记集合 M=n|，nN*，若 M 中仅有 3 个元素，求实数的取值范围【考点】数列递推式【分析】（1）由题意列关于 p，q 的方程组，求解方程组得 p，q 的值；（2）把（1）中求得的 p，q 值代入 Sn+1=pSn+q，取 n=n1 得另一递推式，作差后可得数列an是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列an的前 n 项和，代入，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数的取值范围【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，当 n2 时，得（n2），又，数列an是首项为 2，公比为的等比数列an的通项公式为（nN*）；（3）由，得，得，令，f（n）为递增数列，且，f（3）f（4）即可，即