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1、2013年广东省肇庆市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013肇庆一模）设i为虚数单位，复数z1=a3i，z2=2+bi，其中a、bR若z1=z2，则ab=（）A1B5C6D6考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：利用复数相等的条件即可得出所求参数的方程，解之即可解答：解：复数z1=a3i，z2=2+bi，其中a、bR，z1=z2，ab=2（3）=6故选C点评：熟练掌握复数相等的定义是解题的关键2（5分）（2013肇庆一模）已知全集U=2，1，0，1，2，3，4，
2、5，6，集合M=大于2且小于5的整数，则UM=（）AB6C2，6D2，5，6考点：补集及其运算 专题：计算题分析：利用列举法化简集合M，然后直接利用补集运算求解解答：解：由M=大于2且小于5的整数=1，0，1，2，3，4，而U=2，1，0，1，2，3，4，5，6，所以UM=2，5，6故选D点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型3（5分）（2013肇庆一模）命题“xR，2x1”的否定是（）AxR，2x1BxR，2x1CxR，2x1DxR，2x1考点：特称命题；命题的否定 专题：规律型分析：利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可判断选项解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x
3、R，2x1”的否定：xR，2x1；故选A点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本知识的考查4（5分）（2013肇庆一模）甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm2），根据这组数据下列说法正确的是（）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8A甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数B甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数C甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差D甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差考点：极差、方差与标准差 专题：计算题；概率与统计分析：由平均数计算公式，算出甲=乙=10，从而
4、排除A、B两项；再由方差计算公式算出即可得到甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差，从而得到D项是正确答案解答：解：根据题意，得甲品种的样本平均数为甲=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10；乙品种的样本平均数为乙=（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10甲品种的样本平均数与乙品种的样本平均数相等甲品种的样本方差为s2甲=（9.810）2+（9.910）2+（10.110）2+（1010）2+（10.210）2=0.020； 乙品种的样本方差为s2乙=（9.410）2+（10.310）2+（10.810）2+（9.710）2+（9.810）2=0.2440.0200.24
5、4，甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差故选：D点评：本题给出两组数据，要求我们比较它们的平均数与方差的大小，着重考查了平均数、方差、标准差等样本特殊数的计算公式的知识，属于基础题做统计题目时，请同学们注意所得结果应该保持同样的精确度，如本题的方差写成s2甲=0.02而s2乙=0.244，就不太规范了5（5分）（2013肇庆一模）已知等差数列an，满足a3+a9=8，则此数列的前11项的和S11=（）A44B33C22D11考点：等差数列的前n项和；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=8，代入求和公式可得答案解答：解：由等差数列的性质可得
6、a1+a11=a3+a9=8，故S11=44故选A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题6（5分）（2013肇庆一模）平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7，k），若向量与垂直，则k=（）A6B7C8D9考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：利用向量=0即可得出解答：解：=（1，1），=（5，K2），=5+K2=0，解得k=7故选B点评：熟练掌握向量=0是解题的关键7（5分）（2013肇庆一模）阅读如图的程序框，并判断运行结果为（）A55B55C5D5考点：程序框图 专题：图表型分析：框图首先给变量S和变量i赋值，然后对i是否大于10进行判断，不
7、大于10，继续判断i是否为偶数，是执行路径S=Si，否执行路径S=S+i，再执行i=i+1，依次循环执行，当i大于10时跳出循环，输出S的值解答：解：框图首先给变量S和变量i赋值，S=0，i=1判断i10不成立，判断1是偶数不成立，执行S=0+1=1，i=1+1=2；判断i10不成立，判断2是偶数成立，执行S=12=1，i=2+1=3；判断i10不成立，判断3是偶数不成立，执行S=1+3=2，i=3+1=4；判断i10不成立，判断4是偶数成立，执行S=24=2，i=4+1=5；判断i10不成立，判断5是偶数不成立，执行S=2+5=3，i=5+1=6；判断i10不成立，判断6是偶数成立，执行S=
8、36=3，i=6+1=7；判断i10不成立，判断7是偶数不成立，执行S=3+7=4，i=7+1=8；判断i10不成立，判断8是偶数成立，执行S=48=4，i=8+1=9；判断i10不成立，判断9是偶数不成立，执行S=4+9=5，i=9+1=10；判断i10不成立，判断10是偶数成立，执行S=510=5，i=10+1=11；判断i10成立，跳出循环，输出S的值为5故选D点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环是基础题8（5分）（2013肇庆一模）设变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值为（）A1B9C11D13考点：简
9、单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出可行域，再把z=3x+2y变形为直线的斜截式，则直线在y轴上截距最大时z取得最大解答：解：画出可行域，如图所示由解得A（3，1）则直线z=3x+2y过点A时z最大，所以zmax=33+21=11故选C点评：本题考查利用线性规划求目标函数最值，考查数形结合思想属于基础题9（5分）（2013肇庆一模）在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则ABC的面积是（）A3BC3D6考点：余弦定理 专题：计算题分析：利用余弦定理求出cosAd的值，然后求出sinA，求出三角形的面积解答：解：由余弦定理可知coaA=所以sinA=，=3故选C点评：本题考查余弦定
10、理与三角形的面积公式的应用，考查计算能力10（5分）（2013肇庆一模）设集合M=A0，A1，A2，A3，A4，A5，在M上定义运算“”为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5则满足关系式（aa）A2=A0的a（aM）的个数为（）A2B3C4D5考点：集合中元素个数的最值 专题：计算题；新定义分析：本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法解答：解：当a=A0时，（aa）A2=（A0A0）A2=A0A2=A2A0，当a=A1时，（aa）A2=（A1A1）A2=A2A2=A0=A0当a=A2时，（aa）A2=（A2A2
11、）A2=A0A2=A2A0，当a=A3时，（aa）A2=（A3A3）A2=A2A2=A4=A0当a=A4时，（aa）A2=（A4A4）A2=A0A2=A2A0当a=A5时，（aa）A2=（A5A5）A2=A2A2=A0=A0满足题意的有3个故选B点评：本题考查学生的信息接收能力及应用能力，注意被4除的余数的理解，考查学生的思维能力二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分，11-13为必做题，14-15为选做题，考生只能做一道)11（5分）（2013肇庆一模）函数的定义域为（0，1考点：函数的定义域及其求法 专题：计算题分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真
12、数大于0联立取交集即可解答：解：要使有意义，则，解得0x1所以原函数的定义域为（0，1故答案为（0，1点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题12（5分）（2013肇庆一模）若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是（x1）2+（y1）2=2或（x3）2+（y3）2=2考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：可设圆心为（a，a），可得圆心到直线x+y=4的距离d=r=，解之可得圆心，可得圆的标准方程解答：解：由题意可设所求圆的圆心为（a，a），可得圆心到直线x+y=4的距离d=r=，化简可得|a2|=1，
13、可解得a=1，或a=3，故所求圆的方程为：（x1）2+（y1）2=2或（x3）2+（y3）2=2故答案为：（x1）2+（y1）2=2或（x3）2+（y3）2=2点评：本题考查圆的标准方程，由已知设出圆心的坐标，并求得圆心是解决问题的关键，属中档题13（5分）（2013肇庆一模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：通过几何体与三视图中的正视图的数据，求出三棱柱是以底面边长与高，然后求解面积即可解答：解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为4，高为2的正三棱柱，所以底面积为242=8，侧面积为342=24，所以其表面积为24+8故答
14、案为：点评：本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力14（5分）（2013肇庆一模）在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cos）=6的距离的最小值是 1考点：点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题；压轴题；选作题分析：圆p=2、直线p（cos）=6化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再求圆p=2上的点到直线p（cos）=6的距离的最小值解答：解：圆p=2、直线p（cos）=6化为直角坐标方程，分别为x2+y2=4，x+y6=0圆心到直线的距离为：所以圆p=2上的点到直线p（cos）=6的距离的最小值是32=1故答案为：1点评：本题考查点到直
15、线的距离公式，简单曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查计算能力，是基础题15（2013肇庆一模）（几何证明选讲选做题）如图，D是O的直径AB延长线上一点，PD是O的切线，P是切点，D=30，AB=4，BD=2，则PA=考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：连结PO，求出POC的大小，然后在POA中，求出PA即可解答：解：连结PO，因为PD是O的切线，P是切点，D=30，所以POC=60，并且AO=2，POA=120，在POA中，PA=2AOsin60=2=故答案为：点评：本题考查圆的切线与割线的关系，直角三角形的解法，考查计算能力三、解答题（共6小题，满分80分）本大题共6小题，解
16、答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）（2012天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 专题：计算题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得f（x）在区间上的最大值和最小值解答：解
17、：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=（2）函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f（）=1，f（）=，f（）=1，函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为1点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题17（13分）（2013肇庆一模）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了x46%=230人，回答问题统计结果
18、如图表所示 组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组15，25）50.5第2组25，35）a0.9第3组35，45）27x第4组45，55）B0.36第5组55，65）3y（）分别求出a，b，x，y的值；（）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（）在（）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布 专题：概率与统计分析：（）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求
19、得要求的值；（）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率解答：解：（）第1组人数50.5=10，所以n=100.1=100，（1分）第2组人数1000.2=20，所以a=200.9=18，（2分）第3组人数1000.3=30，所以x=2730=0.9，（3分）第4组人数1000.25=25，所以b=250.36=9（4分）第5组人数1000.15=15，所以y=315=0.2（5分）（）第2，3，4组回答
20、正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人（8分）（）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）（10分）其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c
21、），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）（12分）故所求概率为（13分）点评：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题18（13分）（2013肇庆一模）如图，PA垂直于O所在平面ABC，AB为O的直径，PA=AB=2，C是弧AB的中点（1）证明：BC平面PAC；（2）证明：CFBP；（3）求四棱锥CAOFP的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由PA平面ABC，得BCPA，根据圆的性质得BCAC，结合线面垂直的判定定理，得到BC平面PAC
22、（2）根据C是半圆弧AB的中点，证出等腰三角形ABC中OCAB，结合平面PAB平面ABC，得到BPOC设BP的中点为E，连结AE，利用三角形中位线定理，可得OFAE，由等腰三角形“三线合一”证出AEBP，从而得到BPOF，由线面垂直判定定理得到BP平面CFO，从而得到CFBP（3）根据题意，CO是三棱锥CBFO的高且CO=1，算出BOF的面积再结合锥体体积公式，得到，同样的方法算出三棱锥PABC的体积，从而得到四棱锥CAOFP的体积解答：解：（1）PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA（1分）ACB是直径所对的圆周角，ACB=90，即BCAC（2分）又PAAC=A，BC平面PAC（3分）（2
23、）PA平面ABC，OC平面ABC，OCPA（4分）C是半圆弧AB的中点，ABC是等腰三角形，AC=BC，又O是AB的中点，OCAB（5分）PAAB=A，PA、AB平面PAB，OC平面PAB，结合PB平面PAB，可得BPOC（6分）设BP的中点为E，连结AE，则OF是AEB的中位线，可得OFAE，PA=AB，E为BP中点，AEBP，可得BPOF（7分）OCOF=O，OC、OF平面CFO，BP平面CFO又CF平面CFO，CFBP（8分）（3）由（2）知OC平面PAB，CO是三棱锥CBFO的高，且CO=1（9分）又，（10分）（11分）又三棱锥PABC的体积（12分）四棱锥CAOFP的体积（13分）
24、点评：本题给出底面为直角三角形且一条侧棱过与底面垂直，求证线面垂直并求锥体的体积着重考查了空间线面垂直的判定与性质、等腰三角形与圆的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题19（14分）（2013肇庆一模）已知Sn是数列an的前n项和，且a1=1，（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项an；（3）设数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）在中，分别令n=1、2、3即可求得a2，a3，a4的值；（2）累乘法：n1时，由nan+1=2Sn，得（n1）an=2Sn1，化简得
25、nan+1=（n+1）an，即（n1），则，由此可得an=n（n1），注意验证a1；（3）裂项相消法：由（2）可求得，各项按此规律展开即可求得Tn；解答：解：（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；（2）当n1时，由nan+1=2Sn，得（n1）an=2Sn1，得nan+1（n1）an=2（SnSn1），化简得nan+1=（n+1）an，（n1）a2=2，以上（n1）个式子相乘得（n1），又a1=1，；（3），=点评：本题考查由数列递推式求通项公式、数列求和等知识，若数列an满足：=f（n），则往往利用累乘法求
26、an；若an为等差数列，公差d0，则数列的前n项和用裂项相消法求解，其中=20（14分）（2013肇庆一模）已知圆C的方程为x2+y2+2x7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；（2）过点B（1，）能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，可得|QP|=QA|又，可得利用
27、椭圆的定义可知点Q的轨迹L为椭圆；（2）假设直线l2存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），分别代入，利用“点差法”、中点坐标公式及斜率公式即可得出直线l2的方程；与椭圆方程联立即可解得交点坐标解答：解：（1）如图，由已知圆C的方程x2+y2+2x7=0，化为（x+1）2+y2=8，可得圆心C（1，0），半径，点A（1，0）点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，|QP|=QA|又，点Q的轨迹是以O为中心，C，A为焦点的椭圆，点Q的轨迹L的方程为（2）假设直线l2存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），分别代入得，两式相减得，即由题意，得x1+x2=2，y1+y2=1，即kMN=1直
28、线l2的方程为由得6x212x+5=0点B在椭圆L内，直线l2的方程为，它与轨迹L存在两个交点，解方程6x212x+5=0得当时，；当时，所以，两交点坐标分别为和点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力21（14分）（2013肇庆一模）若f（x）=其中aR（1）当a=2时，求函数y（x）在区间e，e2上的最大值；（2）当a0，时，若x1，+），恒成立，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应
29、用 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）当a=2，xe，e2时，f（x）=x22lnx+2，求其导数可判函数在在e，e2上单调递增，进而可得其最大值；（2）分类讨论可得函数y=f（x）在1，+）上的最小值为，分段令其，解之可得a的取值范围解答：解：（1）当a=2，xe，e2时，f（x）=x22lnx+2，（1分），当xe，e2时，f（x）0，（2分）函数f（x）=x22lnx+2在e，e2上单调递增，（3分）故+2=e42（4分）（2）当xe时，f（x）=x2+alnxa，a0，f（x）0，f（x）在e，+）上单调递增，（5分）故当x=e时，； （6分）当1xe时，f（x）=x2alnx+
30、a，f（x）=2x=（x+）（x），（7分）（i）当1，即0a2时，f（x）在区间1，e）上为增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1+a，且此时f（1）f（e）=e2； （8分）（ii）当，即2a2e2时，f（x）在区间上为减函数，在区间上为增函数，（9分）故当x=时，且此时f（）f（e）=e2；（10分）（iii）当，即a2e2时，f（x）=x2alnx+a在区间1，e上为减函数，故当x=e时，（11分）综上所述，函数y=f（x）在1，+）上的最小值为（12分）由得0a2；由得无解；由得无解； （13分）故所求a的取值范围是（0，2 （14分）点评：本题考查利用导数求闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，属难题16