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1、第2课时充 要 条 件2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.充要条件充要条件定定义义如果如果pq且且qp，则则称称p是是q的充分必要条件的充分必要条件(简简称称为为充要条件充要条件)记记法法pq读读法法“p与与q等价等价”“”“p当且当且仅仅当当q”集合集合观观点点如果如果A=x|p(x)，B=x|q(x)且且A=B，则则p(x)q(x)结论结论一个数学一个数学对对象的定象的定义实际义实际上上给给出了出了这这个个对对象象的一个充要条件的一个充要条件2021/8/8 星期日3【思考思考】符号符号“”的含义是什么？的含义是什么？提示：提示：“”表示表示“等价等价”，如，如“A A
2、与与B B等价等价”指的是指的是“如果如果A A，那么，那么B B”，同时有，同时有“如果如果B B，那么，那么A A”，或者，或者说说“从从A A推出推出B B”，同时可，同时可“从从B B推出推出A A”.2021/8/8 星期日42.充分性、必要性的其他情况充分性、必要性的其他情况推出关系推出关系充分性、必要性充分性、必要性pq且且q p p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件p q且且qp p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件p q且且q p p是是q的既不充分的既不充分也不必要条件也不必要条件2021/8/8 星期日5【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“
3、”，错的打，错的打“”)(1)当当p是是q的充要条件时，也可说成的充要条件时，也可说成q成立当且仅当成立当且仅当p成立成立.()(2)若若p q和和q p有一个成立，则有一个成立，则p一定不是一定不是q的的充要条件充要条件.()2021/8/8 星期日6(3)若若p是是q的充要条件，的充要条件，q是是r的充要条件，则的充要条件，则p是是r的充的充要条件要条件.()2021/8/8 星期日7提示：提示：(1).(1).当当p p是是q q的充要条件时，的充要条件时，p p q q，且，且q q p p，故说成故说成q q成立当且仅当成立当且仅当p p成立，这种说法正确成立，这种说法正确.(2).
4、(2).若若p qp q或或q pq p，则，则p p不是不是q q的充分条件，的充分条件，或或p p不是不是q q的必要条件，故此说法正确的必要条件，故此说法正确.(3).(3).因为因为p pq q，q qr r，所以，所以p pr r，所以，所以p p是是r r的充的充要条件要条件.2021/8/8 星期日82.“a+b0”是是“a0，b0”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件B.充要条件充要条件C.必要不充分条件必要不充分条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2021/8/8 星期日9【解析解析】选选C.C.当当a a与与b b异号且负数绝对值大时，也有异号且负数绝对值大
5、时，也有a+b0a+b0，所以，所以“a+b0a+b0”“a0a0，b0b0”，显然显然“a0a0，b0b0”“a+b0a+b0”，所以，所以“a+b0a+b0”是是“a0a0，b0b0”的必要不充分条件的必要不充分条件.2021/8/8 星期日103.点点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是是第二象限的点的充要条件是 ()A.x0，y0B.x0C.x0，y0D.x0，y0【解析解析】选选B.第二象限的点横坐标小于第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于，纵坐标大于0，所以点，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是是第二象限的点的充要条件是x0.2021/8/8 星期日11类型一充分条件和
6、必要条件的综合判断类型一充分条件和必要条件的综合判断【典例典例】1.“b2=ac”是是“=成立成立”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件B.充要条件充要条件C.必要不充分条件必要不充分条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2021/8/8 星期日122.下列各题中，下列各题中，p是是q的什么条件的什么条件(“充分不必要条件充分不必要条件”“”“必要不充分条件必要不充分条件”“”“充要条件充要条件”“”“既不充分也不必要既不充分也不必要条件条件”)？世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)p：x0，q：x+|x|0.(2)p：a0，q：关于：关于x的方程的方程ax+b=0(a，b R)有
7、唯一解有唯一解.2021/8/8 星期日13(3)p：ab0，a，b R，q：|a+b|=|a|+|b|.(4)p：c=0，q：y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点的图象经过原点.2021/8/8 星期日14【思维思维引引】1.1.依据等式两边同乘以非零实数，等式仍依据等式两边同乘以非零实数，等式仍成立判断成立判断.2.2.依据依据“充分不必要条件充分不必要条件”“”“必要不充分条件必要不充分条件”“”“充充要条件要条件”“”“既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件”的定义判断的定义判断.2021/8/8 星期日15【解析解析】1.1.选选C.bC.b2 2=ac =ac =，如，如b
8、=0b=0，c=0c=0时，时，b b2 2=ac=ac，而，而 ，无意义无意义.但但 =b b2 2=ac=ac，所以所以“b b2 2=ac=ac”是是“=”的必要不充分条件的必要不充分条件.2021/8/8 星期日162.(1)2.(1)因为由因为由x0 x0推不出推不出x+|x|0 x+|x|0，如，如x=-10 x=-10，但是但是x+|x|=0 x+|x|=0，所以，所以p qp q，由由x+|x|0 x+|x|0可得可得x0 x0，可推出，可推出x0 x0，所以，所以q q p p，所以所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.2021/8/8 星期日17(2)(2)
9、当当a0a0时，关于时，关于x x的方程的方程ax+b=0(aax+b=0(a，bR)bR)有唯一有唯一解解x=-x=-，所以，所以p p q q，若关于若关于x x的方程的方程ax+b=0(aax+b=0(a，bR)bR)有唯一解，则有唯一解，则a0a0，推不出推不出a0a0，所以，所以q pq p，所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.2021/8/8 星期日18(3)(3)当当ab0ab0时，时，|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b|成立，所以成立，所以p p q q，因为，因为a=0a=0时，也有时，也有|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b|
10、，所以所以q pq p，所以，所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.2021/8/8 星期日19(4)(4)当当c=0c=0时，函数时，函数y=axy=ax2 2+bx+bx的图象经过原点；的图象经过原点；当当y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象经过原点时，的图象经过原点时，0=a00=a02 2+b0+c+b0+c，所以，所以c=0c=0，所以所以p pq q，所以，所以p p是是q q的充要条件的充要条件.2021/8/8 星期日20【内化内化悟悟】根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个记忆口
11、诀吗？记忆口诀吗？提示：提示：顺向为充顺向为充(即若即若p p q q，则，则p p是是q q的充分条件的充分条件)，逆向，逆向为必为必(即若即若p p q q，则，则q q是是p p的必要条件的必要条件).).2021/8/8 星期日21【类题类题通通】从命题角度判断从命题角度判断p是是q的充分必要条件的充分必要条件(1)原理：原理：判断判断p是是q的充分必要条件，主要是判断的充分必要条件，主要是判断pq及及qp这这两个命题是否成立两个命题是否成立.2021/8/8 星期日22(2)方法：方法：若若pq成立，则成立，则p是是q的充分条件，同时的充分条件，同时q是是p的必要的必要条件；条件；若
12、若qp成立，则成立，则p是是q的必要条件，同时的必要条件，同时q是是p的充分的充分条件；条件；若二者都成立，则若二者都成立，则p与与q互为充要条件互为充要条件.2021/8/8 星期日23【习练习练破破】下列各题中，下列各题中，p是是q的什么条件的什么条件(“充分不必要条件充分不必要条件”“”“必要不充分条件必要不充分条件”“”“充要条件充要条件”“”“既不充分也不必要既不充分也不必要条件条件”)？2021/8/8 星期日24(1)p：x2=3x+4，q：x=.(2)p：a是自然数，是自然数，q：a是正数是正数.(3)p：a=1，q：a的倒数是其本身的倒数是其本身.(4)p：点：点P(2-a，
13、3a-2)到两坐标轴距离相等，到两坐标轴距离相等，q：a=1或或a=0.2021/8/8 星期日25【解析解析】(1)(1)当当x=-1x=-1时，时，x x2 2=3x+4=3x+4成立，但是成立，但是x=x=不成立，所以不成立，所以p qp q，由，由x=x=两边平方可得两边平方可得x x2 2=3x+4=3x+4，所以，所以q q p p，所以，所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(2)0(2)0是自然数，但是是自然数，但是0 0不是正数，不是正数，所以所以p qp q，1.51.5是正数，但是是正数，但是1.51.5不是自然数，不是自然数，所以所以q pq p，所以，
14、所以p p是是q q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.2021/8/8 星期日26(3)(3)倒数是其本身的数有倒数是其本身的数有11，所以，所以q pq p，且，且p p q q，所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.2021/8/8 星期日27(4)(4)当当a=1a=1，点，点P(1P(1，1)1)到两坐标轴距离相等；到两坐标轴距离相等；当当a=0a=0，点，点P(2P(2，-2)-2)到两坐标轴距离相等；到两坐标轴距离相等；当点当点P(2-aP(2-a，3a-2)3a-2)到两坐标轴距离相等时，到两坐标轴距离相等时，|2-a|=|3a-2|2-a|=|3
15、a-2|，解得，解得a=1a=1或或a=0.a=0.所以所以p pq q，所以，所以p p是是q q的充要条件的充要条件.2021/8/8 星期日28【加练加练固固】下列各题中，下列各题中，p是是q的什么条件的什么条件(“充分不必要条件充分不必要条件”“”“必要不充分条件必要不充分条件”“”“充要条件充要条件”“”“既不充分也不既不充分也不必要条件必要条件”)？2021/8/8 星期日29(1)p：x=y，q：(2)p：1=2，q：1与与2是对顶角是对顶角.(3)p：反比例函数：反比例函数y=的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，q：m1，q：a .2021/8/8 星期日30【解析解析
16、】(1)(1)当当a=0a=0时，时，x=y x=y x=yx=y，所以，所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(2)(2)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，所以所以p qp q，且，且q q p p，所以，所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.2021/8/8 星期日31(3)(3)反比例函数反比例函数y=y=的图象在第二、四象限的图象在第二、四象限m-50m-50m5m1a1时，时，所以所以a a ，所以，所以p p q q，当当a=-a=-时，时，a a ，所以，所以q pq p，所以所以p p是是q q的充分不必
17、要条件的充分不必要条件.2021/8/8 星期日32类型二充要条件的证明类型二充要条件的证明【典例典例】已知关于已知关于x的方程的方程ax2+bx+c=0()，判断，判断a+b+c=0是否是方程是否是方程()有一个根为有一个根为1的充要条件的充要条件.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】从充分性和必要性两个方面进行证明从充分性和必要性两个方面进行证明.2021/8/8 星期日33【证明证明】因为因为a+b+c=0a+b+c=0，所以所以c=-a-bc=-a-b，代入方程，代入方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0中，中，得得axax2 2+bx-a-b=0+bx-a-b=0，即
18、，即(x-1)(ax+a+b)=0.(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程所以方程()()有一个根为有一个根为1 1，所以所以a+b+c=0a+b+c=0 方程方程()()有一个根为有一个根为1 1，2021/8/8 星期日34因为方程因为方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一个根为有一个根为1 1，所以所以x=1x=1满足方程满足方程axax2 2+bx+c=0.+bx+c=0.所以有所以有a1a12 2+b1+c=0+b1+c=0，即，即a+b+c=0.a+b+c=0.所以方程所以方程()()有一个根为有一个根为1 1 a+b+c=0a+b+c=0，从而从而a+b+c=0a+
19、b+c=0方程方程()()有一个根为有一个根为1 1，因此因此a+b+c=0a+b+c=0是方程是方程()()有一个根为有一个根为1 1的充要条件的充要条件.2021/8/8 星期日35【素养素养探探】在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力.将本例的条件将本例的条件“有一个根为有一个根为1”改为改为“有一个正根和一有一个正根和一个负根个负根”，“a+b+c=0”改为改为“ac0”
20、，如何判断？，如何判断？2021/8/8 星期日36【证明证明】因为因为ac0ac0-4ac0，方程，方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0中有两个不等实根，由根与系数关系中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为可知这两个根的积为 00，所以方程所以方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一个正根和一个负根，有一个正根和一个负根，所以所以ac0ac0 方程方程()()有一个正根和一个负根，有一个正根和一个负根，2021/8/8 星期日37因为方程因为方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一个正根和一个负根，有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积
21、为由根与系数关系可知这两个根的积为 00，所以所以ac0.ac0.所以方程所以方程()()有一个正根和一个负根有一个正根和一个负根 ac0ac0，从而，从而ac0ac0方程方程()()有一个正根和一个负有一个正根和一个负根，因此根，因此ac0acy，判断，判断xy0是否是是否是 的充要条件的充要条件.2021/8/8 星期日41【证明证明】由由xy0 xy0及及xyxy，得，得 所以所以xy0 xy0 即即 0yxy，得，得y-x0y-x0.xy0.所以所以 xy0 xy0，从而，从而xy0 xy0 ，所以所以xy0 xy0是是 的充要条件的充要条件.2021/8/8 星期日42【加练加练固固
22、】求关于求关于x的方程的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件至少有一个负实根的充要条件.2021/8/8 星期日43【解析解析】当当a=0a=0时，解得时，解得x=-1x=-1，满足条件；，满足条件；当当a0a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则根，则a0a0；2021/8/8 星期日44若方程有两个负的实根，若方程有两个负的实根，则必须满足则必须满足 2021/8/8 星期日45综上，若方程至少有一个负的实根，则综上，若方程至少有一个负的实根，则a .a .反之，若反之，若a a ，则方程至少有一个负的实根，则方程至少有一个负的实根
23、.因此，关于因此，关于x x的方程的方程axax2 2+x+1=0+x+1=0至少有一个负实根的充至少有一个负实根的充要条件是要条件是a .a .2021/8/8 星期日46类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题【典例典例】1.已知已知p：点：点M(1-a，2a+6)在第四象限，在第四象限，q：a0)，若，若p是是q的必的必要不充分条件，求实数要不充分条件，求实数m的取值范围的取值范围.世纪金榜导世纪金榜导学号学号2021/8/8 星期日48【思维思维引引】1.1.第四象限内的点横坐标大于第四象限内的点横坐标大于0 0，纵坐标，纵坐标小于小于0.0.依
24、据依据“小范围小范围”推推“大范围大范围”，“大范围大范围”推推不出不出“小范围小范围”判断；判断；2.2.先把先把p p，q q等价转化，利用充分条件、必要条件、充等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于要条件与集合间的包含关系，建立关于m m的不等式的不等式(组组)进行求解进行求解.2021/8/8 星期日49【解析解析】1.1.选选A.A.因为点因为点M(1-aM(1-a，2a+6)2a+6)在第四象限，在第四象限，所以所以 解得解得a-3.a0).1-mx1+m(m0).因为因为p p是是q q的必要不充分条件，的必要不充分条件，所以所以q q是是p p的
25、充分不必要条件，的充分不必要条件，即即1-m1-m，1+m -21+m -2，1010，故有故有 2021/8/8 星期日51解得解得m3.m3.又又m0m0，所以实数，所以实数m m的取值范围为的取值范围为(0(0，3.3.2021/8/8 星期日52【素养素养探探】在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力.将本例将本例2的的“p是是q的必要不充分条件的必要不充分
26、条件”改为改为“p是是q的充的充分不必要条件分不必要条件”，其他条件不变，求实数，其他条件不变，求实数m的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日53【解析解析】p p：-2x10-2x10，q q：1-mx1+m(m0).1-mx1+m(m0).因为因为p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件，设设p p代表的集合为代表的集合为A A，q q代表的集合为代表的集合为B B，所以所以A B.A B.所以所以 2021/8/8 星期日54解不等式组得解不等式组得m9m9或或m9m9，所以所以m9m9，即实数即实数m m的取值范围是的取值范围是99，+).+).2021/8/8 星期
27、日55【类题类题通通】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若若A B，则则p是是q的充分条的充分条件，若件，若A B，则则p是是q的充的充分不必要条件分不必要条件 2021/8/8 星期日56若若B A，则则p是是q的必要条件，的必要条件，若若B A，则则p是是q的必要不充分的必要不充分条件条件 若若A=B，则则p，q互互为为充要条件充要条件 2021/8/8 星期日57若若A B且且B A，则则p既不是既不是q的充的充分条件，也不是分条件，也不是q的必要条件的必要条件 其中其中p：A=x|p(x)成立成立，q：B=x|q(x)成立成立.20
28、21/8/8 星期日58【习练【习练破】破】设设p：实数：实数x满足满足ax0)，q：实数：实数x满足满足2x5.若若q是是p的充分不必要条件，求实数的充分不必要条件，求实数a的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日59【解析解析】因为因为q q是是p p的充分不必要条件，的充分不必要条件，所以所以q q对应的集合是对应的集合是p p对应集合的真子集，对应集合的真子集，所以所以(2(2，5 (a5 (a，4a)4a)则则 得得 得得 a2a2，即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是 2021/8/8 星期日60【加练加练固固】已知已知p：-1x3，q：k-2xk+5，若，若p是是q的充分不必要的充分不必要条件，求实数条件，求实数k的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日61【解析解析】因为因为p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件，所以所以p p对应的集合是对应的集合是q q对应集合的真子集，对应集合的真子集，所以所以(-1(-1，3)k-23)k-2，k+5k+5，所以所以 -2k1.-2k1.所以实数所以实数k k的取值范围是的取值范围是-2-2，1.1.2021/8/8 星期日622021/8/8 星期日632021/8/8 星期日64