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1、第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法第1课时集合的概念 2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.元素与集合的概念元素与集合的概念(1)集合：集合：定定义义把一些能把一些能够够确定的、不同的确定的、不同的对对象象汇汇集在一起，集在一起，就就说说由由这这些些对对象象组组成一个集合成一个集合(有有时简时简称称为为集集).表示表示方法方法通常用英文大写字母通常用英文大写字母A，B，C，表示表示.2021/8/8 星期日3(2)元素：元素：定定义义组组成集合的每个成集合的每个对对象都是象都是这这个集合个集合的元素的元素.表示方法表示方法通常用英文小写字母通常用英文
2、小写字母a，b，c，表示表示.2021/8/8 星期日4(3)集合的元素具有的三个特点：集合的元素具有的三个特点：确定性确定性集合的元素必集合的元素必须须是确定的是确定的互异性互异性对对于一个于一个给给定的集合，集合中的元素一定定的集合，集合中的元素一定是不同的是不同的无序性无序性集合中的元素可以任意排列集合中的元素可以任意排列2021/8/8 星期日5【思考思考】(1)集合中的集合中的“对象对象”所指的就是数学中的数、点、代所指的就是数学中的数、点、代数式吗？数式吗？提示：提示：集合中的集合中的“对象对象”所指的范围非常广泛，可以所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实
3、生活中的是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等各种各样的事物或人等.2021/8/8 星期日6(2)根据集合的元素的根据集合的元素的“确定性确定性”判断，判断，“很瘦的人很瘦的人”能构成集合吗？为什么？能构成集合吗？为什么？提示：提示：“很瘦的人很瘦的人”不能构成集合不能构成集合.因为它没有确定的因为它没有确定的标准标准.如果给定一个集合如果给定一个集合A，一个研究对象，一个研究对象a是不是这个是不是这个集合中的元素就确定了集合中的元素就确定了.2021/8/8 星期日72.元素与集合的关系元素与集合的关系关系关系记记法法读读法法a是集合是集合A的元素的元素a Aa
4、属于集合属于集合Aa不是集合不是集合A的元素的元素a Aa不属于集合不属于集合A2021/8/8 星期日8【思考思考】元素与集合之间有第三种关系吗？元素与集合之间有第三种关系吗？提示：提示：对于一个元素对于一个元素a与一个集合与一个集合A而言，只有而言，只有“a A”与与“a A”这两种关系这两种关系.2021/8/8 星期日93.空集空集定定义义不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称为为空集空集表示方法表示方法记记作作 2021/8/8 星期日10【思考思考】对于任意元素对于任意元素a，a与空集与空集 的关系是什么？的关系是什么？提示：提示：由空集的定义可知，由空集的定义可知，a.2021
5、/8/8 星期日114.两个集合相等两个集合相等定定义义给给定两个集合定两个集合A和和B，如果，如果组组成它成它们们的元素的元素完全相同，就称完全相同，就称这这两个集合相等两个集合相等表示方法表示方法 记记作作A=B2021/8/8 星期日125.集合的分类集合的分类2021/8/8 星期日13(2)空集可以看成包含空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限个元素的集合，所以空集是有限集集.2021/8/8 星期日146.常见的数集及表示符号常见的数集及表示符号数集数集非非负负整数集整数集(自然数集自然数集)正整正整数集数集整数整数集集有理有理数集数集实实数集数集符号符号NN*或或N+ZQ
6、R2021/8/8 星期日15【思考思考】N与与N+(或或N*)有何区别？有何区别？提示：提示：N+是所有正整数组成的集合，而是所有正整数组成的集合，而N是由是由0和所有和所有的正整数组成的集合，所以的正整数组成的集合，所以N比比N+(或或N*)多一个元素多一个元素0.2021/8/8 星期日16【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素在一个集合中可以找到两个相同的元素.()(2)好听的歌能组成一个集合好听的歌能组成一个集合.()(3)高一高一(1)班所有姓氏构成的集合班所有姓氏构成的集合.()2021/8/8
7、 星期日17(4)把把1，2，3三个数排列，共有三个数排列，共有6种情况，因此由这三种情况，因此由这三个数组成集合有个数组成集合有6个个.()2021/8/8 星期日18提示：提示：(1).集合中的元素是互不相同的集合中的元素是互不相同的.(2).好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合个集合.(3).高一高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合班的姓氏是确定的，所以能构成集合.(4).因为集合中的元素满足无序性，故由因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个三个元素只能组成一个集合元素只能组成一个集合.2021/8/8 星期日192.已
8、知已知a R，且，且a Q，则，则a可以为可以为()A.B.C.-2D.-2021/8/8 星期日20【解析解析】选选A.是无理数，所以是无理数，所以 Q，R.2021/8/8 星期日213.已知集合已知集合A含有三个元素含有三个元素0，1，x-2，则实数，则实数x不能取不能取的值是的值是_.2021/8/8 星期日22【解析解析】根据集合中元素的互异性可知：根据集合中元素的互异性可知：x-20且且x-21，所以实数，所以实数x不能取的值是不能取的值是2，3.答案：答案：2，32021/8/8 星期日23类型一元素与集合的相关概念类型一元素与集合的相关概念【典例典例】1.以下元素的全体不能够构
9、成集合的是以下元素的全体不能够构成集合的是()A.中国古代四大发明中国古代四大发明B.周长为周长为10cm的三角形的三角形2021/8/8 星期日24C.方程方程x2-1=0的实数解的实数解D.地球上的小河流地球上的小河流2021/8/8 星期日252.集合集合P中含有两个元素分别为中含有两个元素分别为1和和4，集合，集合Q中含有两中含有两个元素个元素1和和a2，若，若P与与Q相等，则相等，则a=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日26【思维思维引引】1.若一组元素是确定的，则这组元素可以构成集合若一组元素是确定的，则这组元素可以构成集合.2.根据相等集合的元素相同，列方程
10、求根据相等集合的元素相同，列方程求a的值的值.2021/8/8 星期日27【解析解析】1.选选D.在在A中，中国古代四大发明具有确定中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故性，能构成集合，故A能构成集合；在能构成集合；在B中，周长为中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，故的三角形具有确定性，能构成集合，故B能构成能构成集合；在集合；在C中，方程中，方程x2-1=0的实数解为的实数解为1，能构成集，能构成集2021/8/8 星期日28合，故合，故C能构成集合；在能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合，故因此不能构成集合，故D不能构成
11、集合不能构成集合.2021/8/8 星期日292.由题意，得由题意，得a2=4，a=2.答案：答案：22021/8/8 星期日30【内化内化悟悟】1.判断一组对象能否组成集合的关键是什么？判断一组对象能否组成集合的关键是什么？提示：提示：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合组成集合；否则，不能组成集合.2021/8/8 星期日312.两个相等集合的元素有什么特点？两个相等集合的元素有什么特点？提示：提示：其中一个集合的任意一个元素，
12、在另一个集合其中一个集合的任意一个元素，在另一个集合中都可以找到相同的元素中都可以找到相同的元素.2021/8/8 星期日32【类题类题通通】1.一组对象能构成集合的两个条件一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素都能确定它是不是给定集合的元素.(2)任何两个对象都是不同的任何两个对象都是不同的.2021/8/8 星期日332.集合相等的注意点集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等
13、注意其中的元素不一定按顺序对应相等.2021/8/8 星期日34【习练习练破破】1.下列判断正确的个数为下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合所有的等腰三角形构成一个集合.(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合倒数等于它自身的实数构成一个集合.(3)质数的全体构成一个集合质数的全体构成一个集合.2021/8/8 星期日35(4)由由2，3，4，3，6，2构成含有构成含有6个元素的集合个元素的集合.A.1B.2C.3D.42021/8/8 星期日36【解析解析】选选C.(1)正确正确.(2)正确，若正确，若 =a，则，则a2=1，所以所以a=1，构成的集合为，构成的集合为1，
14、-1.(3)正确，任何一正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在个质数都在此集合中，不是质数的都不在.(4)不正不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为2，3，4，6，含有，含有4个元素个元素.2021/8/8 星期日37【解析解析】选选A.由题意知由题意知a+b=0，所以，所以 =-1，所以所以a=-1，b=1，所以，所以a+2b=1.2021/8/8 星期日38【加练加练固固】1.对于以下说法：对于以下说法：绝对值非常小的全体实数构成一绝对值非常小的全体实数构成一个集合；个集合；长方体的全体构成一个集合；长方体的全体构成一个集合；全体无实
15、数根的一全体无实数根的一元二次方程构成一个集合；元二次方程构成一个集合；0，0.5，组成组成的集合含有的集合含有4个元素个元素.其中正确的是其中正确的是()2021/8/8 星期日39A.B.C.D.2021/8/8 星期日40【解析解析】选选B.中的元素不能确定，中的元素不能确定，中的集合含有中的集合含有3个元素，个元素，中的元素是确定的，所以中的元素是确定的，所以能构成集能构成集合合.2021/8/8 星期日412.下列所给的对象能构成集合的是下列所给的对象能构成集合的是_.(1)2018年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌.(2)无限接近零的数
16、无限接近零的数.(3)方程方程x2-2x-3=0的所有解的所有解.(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点平面直角坐标系中，第一象限内的所有点.2021/8/8 星期日42【解析解析】(1)能能.因为中国队获得的金牌是确定的因为中国队获得的金牌是确定的.(2)不能不能.因为因为“无限接近无限接近”标准不明确，不具有确定性，标准不明确，不具有确定性，不能构成集合不能构成集合.2021/8/8 星期日43(3)能能.因为方程因为方程x2-2x-3=0的解为的解为x=3或或x=-1，是确定的数，是确定的数，所以可以组成集合，集合中有两个元素所以可以组成集合，集合中有两个元素-1和和3.(4)能能.
17、因为第一象限内的点是确定的点因为第一象限内的点是确定的点.综上，能构成集合的是综上，能构成集合的是(1)(3)(4).答案：答案：(1)(3)(4)2021/8/8 星期日44类型二元素与集合的关系类型二元素与集合的关系【典例典例】1.下列结论中，不正确的是下列结论中，不正确的是()A.若若a N，则，则-a NB.若若a Z，则，则a2 ZC.若若a Q，则，则|a|QD.若若a R，则，则a3 R2021/8/8 星期日452.由不超过由不超过5的实数组成集合的实数组成集合A，a=+，则，则()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.a AB.a2 AC.AD.a+1 A2021/8/8 星期日4
18、6【思维思维引引】1.根据常见数集的表示方法和根据常见数集的表示方法和-a，a2，|a|，a3的意义的意义逐个判断逐个判断.2.a，a2，a+1与与5比较大小，即可确定答案比较大小，即可确定答案.2021/8/8 星期日47【解析解析】1.选选A.A中中a=0时，显然不成立时，显然不成立.2021/8/8 星期日482.2.选选A.a=+=45A.a=+=45，所以所以aA.aA.a+1 +1=5a+15，所以所以a2 A，所以所以 A.2021/8/8 星期日50【内化内化悟悟】研究元素与集合的关系的关键是什么？研究元素与集合的关系的关键是什么？提示：提示：(1)明确集合是由怎样的元素组成明
19、确集合是由怎样的元素组成.(2)对于各种数对于各种数集要熟练掌握集要熟练掌握.(3)构成集合的元素特征较为隐蔽时，要构成集合的元素特征较为隐蔽时，要注意利用相关知识进行分析注意利用相关知识进行分析.2021/8/8 星期日51【类题类题通通】判断元素和集合关系的两种方法判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法直接法.使用前提：集合中的元素是直接给出的；使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可再判断该元素在已知集合中是否出现即可.2021/8/8 星期日52(2)推理法推理法.
20、使用前提：对于某些不便直接表示的集合；使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可可.2021/8/8 星期日53【习练习练破破】1.给出下列关系：给出下列关系：R；Q；|-3|N；|-|Q；0 N.其中正确的个数为其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42021/8/8 星期日54【解析解析】选选B.是实数；是实数；是无理数；是无理数；|-3|=3是自是自然数；然数；|-|=是无理数；是无理数；0是自然数是自然
21、数.故故正正确，确，不正确不正确.2021/8/8 星期日552.已知集合已知集合A是由形如是由形如m+n(其中其中m，n Z)的数组的数组成的，判断成的，判断 是不是集合是不是集合A中的元素？中的元素？2021/8/8 星期日56【解析解析】是是.因为因为 =2+，此时，此时m=2，n=1，满足集合满足集合A中数的构成形式中数的构成形式.所以所以 是集合是集合A中的元中的元素素.2021/8/8 星期日57【加练加练固固】1.已知已知A中元素中元素x满足满足x=3k-1，k Z，则下列表示正确的，则下列表示正确的是是()A.-1 AB.-11 AC.3k2-1 AD.-34 A2021/8/
22、8 星期日58【解析解析】选选C.k=0时，时，x=-1，所以，所以-1 A，所以，所以A错误；错误；令令-11=3k-1，k=-Z，所以，所以-11 A，所以，所以B错误；错误；令令-34=3k-1，k=-11，所以，所以-34 A，所以，所以D错误错误.因为因为k Z，所以，所以k2 Z，则，则3k2-1 A，所以，所以C正确正确.2021/8/8 星期日592.集合集合A中的元素中的元素x满足满足 N，x N，则集合，则集合A中的中的元素为元素为_.2021/8/8 星期日60【解析解析】由由 N，x N知知x0，0，且且x3，故，故0 x3.又又x N，故，故x=0，1，2.当当x=0
23、时，时，=2 N，当，当x=1时，时，=3 N，2021/8/8 星期日61当当x=2时，时，=6 N.故集合故集合A中的元素为中的元素为0，1，2.答案：答案：0，1，22021/8/8 星期日62类型三集合中元素的特点类型三集合中元素的特点【典例典例】已知集合已知集合A含有两个元素含有两个元素a-3和和2a-1，世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)若若-3 A，试求实数，试求实数a的值的值.(2)若若a A，试求实数，试求实数a的值的值.2021/8/8 星期日63【思维思维引引】(1)先根据先根据-3 A列方程求列方程求a，然后检验集合中元素的互，然后检验集合中元素的互异性异性.(2)先根
24、据先根据a A列方程求列方程求a，然后检验集合中元素的互异，然后检验集合中元素的互异性性.2021/8/8 星期日64【解析解析】(1)因为因为-3 A，所以所以a-3=-3或或2a-1=-3.若若a-3=-3，则，则a=0.此时集合此时集合A含有两个元素含有两个元素-3，-1，符合题意，符合题意.若若2a-1=-3，则，则a=-1.此时集合此时集合A含有两个元素含有两个元素-4，-3，符合题意，符合题意.综上所述，满足题意的实数综上所述，满足题意的实数a的值为的值为0或或-1.2021/8/8 星期日65(2)因为因为a A，所以，所以a-3=a或或2a-1=a.当当a-3=a时，有时，有-
25、3=0，不成立，不成立.当当2a-1=a时，有时，有a=1，此时，此时A中有两个元素中有两个元素-2，1，符合，符合题意题意.综上知综上知a=1.2021/8/8 星期日66【素养素养探探】在与集合中元素的特点有关的问题中，经常利用核心在与集合中元素的特点有关的问题中，经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理，通过研究集合中元素素养中的数学抽象和逻辑推理，通过研究集合中元素的特点以及元素与集合的关系，抽象出集合中元素满的特点以及元素与集合的关系，抽象出集合中元素满足的条件，进而求出有关未知数的值足的条件，进而求出有关未知数的值.2021/8/8 星期日67将本例的条件改为将本例的条件改为“集合集
26、合A中含有三个元素中含有三个元素x-2，2x2+5x，12，且，且-3 A”，求，求x的值的值.2021/8/8 星期日68【解析解析】因为因为-3 A，所以，所以x-2=-3或或2x2+5x=-3，所以所以x=-1或或x=-.2021/8/8 星期日69当当x=-1时，时，x-2=-3，2x2+5x=-3，集合，集合A不满足元素的不满足元素的互异性，所以互异性，所以x=-1舍去舍去.当当x=-时，经检验，符合题意时，经检验，符合题意.综上知综上知x=-.2021/8/8 星期日70【类题类题通通】根据集合中元素的特点求值的三个步骤根据集合中元素的特点求值的三个步骤 2021/8/8 星期日7
27、1【发散发散拓拓】集合中元素的特点的主要作用是什么？集合中元素的特点的主要作用是什么？2021/8/8 星期日72提示：提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这种对象具有确定性时才能构成集合集合，只有这种对象具有确定性时才能构成集合.(2)无序性的主要作用是与集合相等相映证无序性的主要作用是与集合相等相映证.当两个集合当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，只要元素完全相等时，其元素不一定依次对应相等，只要元素完全一致即可一致即可.2021/8/8 星期日73(3)互异性的主要作用是做题后进行检验互异性的主要作用是做题后进行检验.
28、特别是题中含特别是题中含有参数有参数(字母字母)，求出参数的值后一定要检验求出的参数，求出参数的值后一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性是否满足集合中元素的互异性.2021/8/8 星期日74【延伸延伸练练】数集数集A满足条件：若满足条件：若a A，则，则 A(a1).若若 A，求集合中的其他元素，求集合中的其他元素.2021/8/8 星期日75【解析解析】因为因为 A，所以，所以 =2 A，所以所以 =-3 A，所以，所以 =-A，所以所以 A.故当故当 A时，时，集合中的其他元素为集合中的其他元素为2，-3，-.2021/8/8 星期日76【习练习练破破】集合集合P由由1，m，m
29、2-3m-1三个元素组成，若三个元素组成，若3 P且且-1 P，则实数，则实数m=_.2021/8/8 星期日77【解析解析】由题意，分两种情况：由题意，分两种情况：(1)若若m=3，则，则m2-3m-1=-1，不满足题意，不满足题意.(2)若若m2-3m-1=3，则，则m=4或或m=-1，m=-1不满足题意，应舍去不满足题意，应舍去.故故m=4.答案：答案：42021/8/8 星期日78【加练加练固固】设集合设集合M中含有三个元素中含有三个元素3，x，x2-2x.(1)求实数求实数x应满足的条件应满足的条件.(2)若若-2 M，求实数，求实数x的值的值.2021/8/8 星期日79【解析解析】(1)由集合中元素的互异性可知，由集合中元素的互异性可知，x3，且，且xx2-2x，x2-2x3.解得解得x-1，x0且且x3.2021/8/8 星期日80(2)因为因为-2 M，所以，所以x=-2或或x2-2x=-2.若若x2-2x=-2，则，则x2-2x+2=0.因为因为=(-2)2-412=-40.方程无解方程无解.所以所以x=-2.2021/8/8 星期日812021/8/8 星期日822021/8/8 星期日83