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1、任意角的三角函数2021/8/9 星期一1一、背景知识一、背景知识 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；知识作了较系统的阐说；
2、1416世纪，三角世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。建立和推导等等。1631年，三角学输入中年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。“八线八线”是指在单是指在单位圆上的八种三角函数线：位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢
3、线。随着科学的发展，三角正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。工程和无线电学中有着广泛的应用。2021/8/9 星期一2温故而知新温故而知新ACB对边邻边斜边在直角三角形在直角三角形ABCABC中，角中，角A A的取值范围是？的取值范围是？（0 0o o，9090O O）sin120sin120o o=?=?cos150cos150o o=?=?tan315tan315o o=?=?问题问题:2021/8/9 星期一3任意
4、角的三角函数定义任意角的三角函数定义xyo的终边的终边P（x，y）r思考：思考：1 1、对于确定的角、对于确定的角，比值，比值(如果有的话如果有的话)与与P P点点在在终边上的位置终边上的位置有无关系？有无关系？2 2、可以看作一个函数？、可以看作一个函数？怎么对应？怎么对应？3 3、对于、对于正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的定义，任意的角的定义，任意的角都是有意义的吗？都是有意义的吗？4 4、不同角限上的、不同角限上的符号符号如何？如何？2021/8/9 星期一4例题导练例题导练2021/8/9 星期一5练习练习2021/8/9 星期一6分析：分析：此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任
5、一点的坐标，因此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。XYO解：解：根据三角函数的定义得：根据三角函数的定义得：P（1，-1）2021/8/9 星期一7 三角函数三角函数定义域定义域 由于角的集合以实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域定义域如下：2021/8/9 星期一8任意角三角函数值在各象限的符号2021/8/
6、9 星期一9几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2021/8/9 星期一10课堂练习课堂练习1 1、已知角、已知角 终边上的一点终边上的一点P P的坐标如下，求的坐标如下，求 角角的各个三角函数值。的各个三角函数值。（1 1）P P（1 1，-7-7）;（2 2）P P（-5-5，2 2）;（3 3）P P（1 1，0 0）.2 2、已知角、已知角 的值如下，求角的值如下，求角的各个三角的各个三角函数值。函数值。2021/8/9 星期一11例例2 2 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的
7、符号：2021/8/9 星期一12 探索探索 三种三角函数能否找到一种三种三角函数能否找到一种几何表示几何表示呢？呢？三角函数线三角函数线2021/8/9 星期一13xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()2021/8/9 星期一14小结：小结：任意角的三角函数任意角的三角函数sinsincoscostantan定义定义域符号一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦2021/8/9 星期一15例例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1）；（；（2）2021/8/9 星期一16例例2 求证：当为锐角时，求证：当为锐角时，2021/8/9 星期一172021/8/9 星期一182021/8/9 星期一192021/8/9 星期一20