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1、同角三角函数的关系2021/8/7 星期六1一、任意角的三角函数的定义的终边 观察这四个比值，它们之间有什么关系呢？在任意角 的终边上任取一点 ，如图，设点 到原点的距离 ，则：2021/8/7 星期六2一、任意角的三角函数的定义的终边认真观察后可得：这样一来我们就得到了同角三角函数之间的三个基本关系。2021/8/7 星期六3 满足什么条件时也成立？(作为思考题)二、同角三角函数之间的三个基本关系（平方关系）（商数关系）(倒数关系)成立吗？成立吗？同样的，对于关系2、3是否也是这样的？综上知：这些关系只对同一个角（或终边相同的角）成立。思考下列问题：2021/8/7 星期六4思考下列问题：二
2、、同角三角函数之间的三个基本关系（平方关系）（商数关系）(倒数关系)2、在商数关系中，如果角的终边在 轴上，商数关系成立吗？倒数关系成立吗？如果角的终边在坐标轴上时，事实上，这个时候 并且点P横坐标等于0，和 都没有意义。事实上，角的终边在x轴上时，cot没有意义，当角的终边在y轴上时，tan没有意义。所以此时倒数关系不成立。综上知：这些关系只对使关系式两端有意义的角成立。2021/8/7 星期六5三、基本关系成立的条件 1、这些关系对同一个角（或终边相同的角）成立。2、这些关系只对使关系式两端有意义的角成立。这三个关系可记为：平方关系、商数关系、倒数关系。问题：这三个关系有什么用处呢？202
3、1/8/7 星期六6四、应用例1：已知 ，且是第二象限的角，求 ，的值。解：又角是第二象限的角，因为知道sin，根据方程思想，利用平方关系能够解出cos。这里涉及到cos2，求cos要开方，就要讨论cos的符号。已知所在的象限，根据“符号看象限”就能确定cos的符号。再根据其它关系，能够求出tan和cot。2021/8/7 星期六7分析：这道题和例1一样是求值问题。已知cos的值，根据平方关系能够求出sin的值。但这里不知道的象限，就不能直接开方求sin的值。所以要根据cos 的值确定的象限，分别讨论求值。例2：已知求sin，tan 的值。解：四、应用例1：已知 ，且是第二象限的角，求 ，的值
4、。解：又角是第二象限的角，角是第二或第三象限的角。，若是第二象限的角，若是第三象限的角，则则2021/8/7 星期六8 注意：1、在利用平方关系求三角函数的值时要先判断角所在的象限。2、正确选用公式以及公式的变用及活用。例1、例2的总结：这两道例题都是基本关系的应用之一求值。就是已知一个角的某个三角函数值，利用这些基本关系求这个角的其他三角函数值。请同学们思考：我们在解答例1和例2时，思路有什么不同？例1告诉了角的象限，其三角函数的符号是确定的。例2不知道角所在的象限，需要先判断角可能的象限，然后分情况讨论。更一般地，我们在求解例1和例2的过程中，都是用已知某角的某三角函数值来表示所求的三角函
5、数值。因此我们有下面更为一般的问题：2021/8/7 星期六9解：分析：这道题是要求把tan当作已知数来表示sin和cos。由关系式：根据方程组的思想，能够解出sin和cos。这里要用到平方关系，而又不知道角所在的象限，sin和cos的符号就不确定。因此这里要分情况讨论。例3：已知tan是非零的实数，用tan表示sin，cos。由关系式：解得：因为tan是非零实数，所以角的终边不在坐标轴上。（为什么？）2021/8/7 星期六10 例3说明若一个角的某个三角函数不是一个具体的值（或说是一个字母）时，就要分这个字母表示的数是正数、负数和零三种情况讨论。例3的总结：归纳这三个例题后知，求值的问题一
6、般有两种类型：1、已知某角的某一个三角函数值，求其它的三角函数值。有时候知道角的象限，如例1；有时候不知道角的象限，如例2；2、已知某角的某一个三角函数值为字母，但不知道这个角所在的象限。如例3。事实上，例3是例1和例2的一个推广。2021/8/7 星期六11五、思考 1、我们在前边的学习中还定义了sec，csc，根据左边的图像有：的终边 你能不能根据这六个三角函数，得出这六个三角函数之间的关系？平方关系：商数关系：倒数关系：2021/8/7 星期六12 2、我们在正六边形的六个顶点上如左图标上六个三角函数，你能不能找出记忆同角三角函数之间的12个关系的规律，帮助记忆？正六边形每个定点上的函数
7、等于相邻两个定点上的函数的乘积。我们认为图中三个阴影等腰三角形的底边水平，则每个底角上的两个函数的平方和等于顶角上的函数的平方。、平方关系：、商数关系：规律：1 正六边形每条对角线上的两个函数互为倒数。、倒数关系：2021/8/7 星期六13 因为tan是非零实数，所以角的终边不在坐标轴上。3、有了这些更多的关系后，你能不能给出例3的其他解法呢？提示：给出其他的解法就是要选用不同的关系，使解法更简单，思路更清晰。分析：已知tan，可选用平方关系 ，先求出sec，在求其他三角函数值。解：由 解得：2021/8/7 星期六14五、课时小结：1、同角三角函数的基本关系。2、同角三角函数的基本关系成立的条件。3、同角三角函数的基本关系的应用之一求值。4、了解求值题目的两种类型，在解各种题时要注意判断函数符号和选用适当的关系。2021/8/7 星期六15作业：一、课本P27习题4.1 1、2、3、4二、预习1、预习内容：课本P27例4、例52、预习提示：（1）、化简的结果要求是什么？（2）、证明代数恒等式的常用方法有哪些？（3）、例5采用是怎样的证明方法？2021/8/7 星期六162021/8/7 星期六17182021/8/7 星期六