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1、数与式数与式 标题2021/8/9 星期一1目录讲讲 座座 内内 容容一、乘法公式一、乘法公式二、因式分解二、因式分解三、三、多多项式的基本理式的基本理论2021/8/9 星期一2一、一、乘法公式乘法公式1.平方差公式：平方差公式：2.完全平方公式：完全平方公式：4.立方差公式：立方差公式：5.三数和平方公式：三数和平方公式：3.立方和公式：立方和公式：(a+b)(a-b)=a2-b2(ab)2=a22ab+b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)乘法公式2021/8/9 星期一3乘法公式
2、应用举例乘法公式应用举例乘法公式乘法公式应用用举例例一、填空一、填空题训练二、解答二、解答题剖析剖析2021/8/9 星期一4一、填空一、填空题1.若若则代数式代数式的的值为.2.计算算:.0216-1式子前添一项（式子前添一项（2-1），然后），然后依次用平方差公式运算依次用平方差公式运算.逆用完全平方公式逆用完全平方公式2021/8/9 星期一5二、解答二、解答题例例1.已知已知求求的的值.【思路思路】观察已知式与所求式的次数关系察已知式与所求式的次数关系,很容易想很容易想到把已知式子两到把已知式子两边同同时平方平方.【解析解析】两两边同同时平方得平方得:所以所以再两再两边同同时平方得平方
3、得:所以所以2021/8/9 星期一6各乘法公式的使用条件各乘法公式的使用条件,不可混淆不可混淆;注意公式的注意公式的正用正用、逆用、灵活运用逆用、灵活运用.公式中的公式中的a,b可以是可以是数数，也可以是数学，也可以是数学式子式子;【点点评】对于乘法公式于乘法公式2021/8/9 星期一7二、二、因式分解因式分解 因因式式分分解解是是代代数数式式的的一一种种重重要要恒恒等等变变形形，它它与与整整式式乘乘法法是是相相反反方方向向的的变变形形在在分分式式运运算算、解解方方程程及及各各种种恒恒等等变变形形中中起起着着重重要要的的作作用用,是是一一项项基基本本技技能能 因因式式分分解解的的方方法法较
4、较多多，除除了了初初中中课课本本涉涉及及到到的的提提公公因因式式法法和和公公式式法法外外，还还有有十十字字相相乘乘法法、分分组组分分解法、求根公式法解法、求根公式法等等等等因式分解2021/8/9 星期一8 公因式的确定方法公因式的确定方法:取各取各项系数的最大公系数的最大公约数数;字母取各字母取各项的相同字母的相同字母;各字母的指数取次数最低的各字母的指数取次数最低的.提公因式法提公因式法一般地，如果多一般地，如果多项式的各式的各项有公因式，有公因式，可以把可以把这个公因式提到括号外面，将多个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘式写成因式乘积的形式，的形式，这种因式分解的种因式分解的方法叫
5、做提公因式法方法叫做提公因式法.提公因式法2021/8/9 星期一9分组分解法分组分解法 对于于四四项或或四四项以以上上的的多多项式式，如如果果既既没没有有公公式式可可用用，也也没没有有公公因因式式可可以以提提取取,则可可以以先先将将多多项式式分分组处理理,这种种利利用用分分组来来因因式式分解的方法叫做分分解的方法叫做分组分解法分解法分组分解的关键是适当分组分组分解的关键是适当分组分组分解法 用用分分组分分解解法法，一一定定要要想想想想分分组后后能能否否继续完完成成因因式式分分解解，由由此此合合理理选择分分组的方法的方法2021/8/9 星期一10十字相乘法十字相乘法正确的十字相乘必须满足以下
6、条件：正确的十字相乘必须满足以下条件：a2c2a1c1(1)在式子在式子 中，中，竖向的两个数必向的两个数必须满足关系足关系a1a2=a，c1c2=c,斜向的两个数必斜向的两个数必须满足关系足关系a1c2+a2c1=b.利用十字交叉利用十字交叉线来分解系数，把某些二来分解系数，把某些二次三次三项式式ax2+bx+c分解因式的方法叫做十字分解因式的方法叫做十字相乘法相乘法.十字相乘法2021/8/9 星期一11（2）由十字相乘）由十字相乘图中的四个数写出分解后中的四个数写出分解后的两个一次因式的两个一次因式时，图的上一行两个数中，的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次是第一个因式中的一次项系
7、数，系数，c1是常数是常数项;在下一行的两个数中，在下一行的两个数中，a2是第二个因式中是第二个因式中的一次的一次项的系数，的系数，c2是常数是常数项.即即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(3)二次二次项系数系数a一般都把它看作是正数一般都把它看作是正数(如如果是果是负数，数，则应提出提出负号，利用恒等号，利用恒等变形把形把它它转化化为正数正数).2021/8/9 星期一12要把二次三要把二次三项式式ax2+bx+c在在实数范数范围内内分解因式，可先用求根公式求出相分解因式，可先用求根公式求出相应的一元的一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根x1和和x2，
8、然后，然后分解成分解成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这种因式分种因式分解的方法叫做求根公式法解的方法叫做求根公式法.注意：系数注意：系数a不能不能丢掉掉.求根公式法求根公式法求根公式法2021/8/9 星期一13于是：于是：0时，ax2+bx+c 可分解成两个不同的可分解成两个不同的一次因式的乘一次因式的乘积；=0时，ax2+bx+c 是关于是关于x的完全平方式，的完全平方式，即分解即分解为两个相同的一次因式乘两个相同的一次因式乘积;0时，ax2+bx+c 不能分解不能分解为两个一次两个一次因式的乘因式的乘积.一个二次三项式一个二次三项式axax2 2+bx+c+bx+c能不能
9、分解成两能不能分解成两个一次因式的乘积，取决于方程个一次因式的乘积，取决于方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0是否存在实数根是否存在实数根.2021/8/9 星期一14一个二次三一个二次三项式式ax2+bx+c如果能如果能够因式分因式分解，一般有两种方法供解，一般有两种方法供选择：十字相乘法与求根公式法的关系遇遇见二次三二次三项式因式分解式因式分解:首先首先考考虑能否提取公因式能否提取公因式;其次其次考考虑能否能否选用十字相乘法用十字相乘法;最后最后考考虑求根公式法求根公式法十字相乘法只能将部分二次三十字相乘法只能将部分二次三项式因式分式因式分解，而求根公式法具有一般性解，而求根公式
10、法具有一般性.所以所以（1）十字相乘法（）十字相乘法（2）求根公式法）求根公式法2021/8/9 星期一15因式分解应用举例因式分解应用举例因式分解因式分解应用用举例例一、填空一、填空题训练二、解答二、解答题剖析剖析2021/8/9 星期一16一、填空一、填空题1.分解因式分解因式.2.分解因式分解因式.提取公因式提取公因式2（x-y）2，注意符号，注意符号-8y2看成常数项，看成常数项，6y看成一看成一次项系数次项系数2021/8/9 星期一17一、填空一、填空题3.分解因式分解因式.展开后分组分解展开后分组分解2021/8/9 星期一18二、解答二、解答题例例1.分解因式分解因式【思路】【
11、思路】我我们可以把可以把(x2+2x)看成一个整体，看成一个整体，展开后展开后可以利用十字相乘法可以利用十字相乘法进行分解，而分解以后，是两行分解，而分解以后，是两个二次三个二次三项式式积的形式，并且可以的形式，并且可以继续分解分解.【解析解析】2021/8/9 星期一19 用用十十字字相相乘乘法法分分解解因因式式也也要要注注意意分分解解彻底底，有有时可可能能会会多多次次使使用用十十字字相相乘乘法法，并并且且对于于项数数较多多的的多多项式式，应合合理理使使用用分分组分分解解法法，找找公公因因式式，如如五五项可可以以三三、二二组合合.【点点评】2021/8/9 星期一20求求的的值.二、解答二、
12、解答题例例2.已知已知,【思路思路】如果把如果把a,b,c直接代直接代进去去,计算量很大算量很大,所以所以先先对所求的式子所求的式子进行因式分解行因式分解,再代再代进去去.【解析解析】还有其他方法分组还有其他方法分组分解吗分解吗?2021/8/9 星期一21分解因式有分解因式有时并不是并不是单一方法的一方法的应用，用，而是多种方法的而是多种方法的综合合应用，一般来用，一般来讲，我，我们可以用下面的口可以用下面的口诀来来记忆：首先提取公因式，然后考首先提取公因式，然后考虑用公式用公式;十字相乘十字相乘试一一试，分，分组分得要合适分得要合适;四种方法反复四种方法反复试，结果必是果必是连乘式乘式.（
13、简称称“提公十分提公十分”）【点点评】2021/8/9 星期一22三、三、多多项式的基本理式的基本理论关于关于x的一元的一元n次多次多项式式:(,n为正整数正整数)多项式的基本理论2021/8/9 星期一23多项式恒等多项式恒等次数相同次数相同,同次同次幂系数相等系数相等.特特别地地:2021/8/9 星期一24多项式的赋值多项式的赋值在展开式在展开式令令x=0,则令令x=1,则令令x=-1,则2021/8/9 星期一25多项式的应用举例多项式的应用举例多多项式式应用用举例例一、填空一、填空题训练二、解答二、解答题剖析剖析2021/8/9 星期一26一、填空一、填空题1.已知多已知多项式式有一
14、个因式有一个因式为,则另一个因式另一个因式为.2.已知已知先用平方差公式哟先用平方差公式哟!待定系数法或用待定系数法或用多项式除法多项式除法则.12021/8/9 星期一27二、解答二、解答题例例1.将多将多项式式表示成表示成的的多多项式式,其中其中.因因为有一个因式有一个因式为,则设另一个因式另一个因式为所以所以所以所以所以所以所以另一个因式所以另一个因式为我们还可采用我们还可采用多项式除法做多项式除法做此题此题【思路思路】由由题目可知目可知,多多项式有一个因式式有一个因式为x+2,只要求出另一个因式即可只要求出另一个因式即可,所以所以我我们可采用待定系数法可采用待定系数法.【解析解析】所以
15、所以2021/8/9 星期一28二、解答二、解答题例例2.已知已知求求(1);(2);(3).(1)令令,则(2)令令,则(3)令令,则【解析解析】【思路思路】对于求多于求多项式的系数式的系数问题常采用常采用赋值法法.2021/8/9 星期一29【点点评】多多项式有关内容的式有关内容的处理上常用理上常用待定系数待定系数法法,而且而且这种方法在以后的高中学种方法在以后的高中学习中也常会中也常会遇到遇到,同学同学们应牢固掌握牢固掌握.另外另外对于于赋值法法,也也应有所了解有所了解.2021/8/9 星期一30在在寻求真理的求真理的长征中，征中，唯有学唯有学习，不断地学，不断地学习，勤勤奋地学地学习，有，有创造地学造地学习,才能越重山，跨峻岭。才能越重山，跨峻岭。华罗庚庚结束语2021/8/9 星期一31