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1、微积分关于微积分第1页，此课件共86页哦微积分第一章第一章 函数函数集合集合函数概念函数概念函数的几种特性函数的几种特性反函数反函数复合函数复合函数初等函数初等函数 第2页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合集集合合是是指指具具有有特特定定性性质质的的一一些些事事物物的的总总体体.组组成这个集合的事物称为该集合的元素成这个集合的事物称为该集合的元素.通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作aM(读作a不属于M).集集合合定定义义第3页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合例子例子1.19901.1990年年1010月月
2、1 1日在南宁市出生的人。日在南宁市出生的人。2.2.彩电、电冰箱、彩电、电冰箱、VCDVCD。3.x3.x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根。的根。集集合合具具有有确确定定性性，即即对对某某一一个个元元素素是是否否属属于于某某个个集集合合是确定的，是或不是二者必居其一。是确定的，是或不是二者必居其一。由有限个元素构成的集合由有限个元素构成的集合，称为有限集合。，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；，称为无限集合；4.4.全体偶数。全体偶数。第4页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合集合的表示法集合的表示法1.列列举举法法：按任意顺序列出集合的所
3、有元素,并用括起来。例例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A=2,3注注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。第5页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合2.描描述述法法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A=a|P(a)例例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：A=x|x2-5x+6=0例例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R=x|x为实数第6页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)如果A
4、 B且或AB，则称A与B相等。1.AA即集合A是其自己的子集。2.传递性 AB、B C 则A C。3.A，即空集是任何集合A的子集。第7页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合全集与空集全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为记为:U U。不含任何元素的集合称为空集，记为：不含任何元素的集合称为空集，记为：。例例1 1：x x2 2+1=0+1=0实数根集合为空集。实数根集合为空集。例例2 2：平面上两条平行线的交点集合为空集。：平面上两条平行线的交点集合为空集。注注：0 0 及及 都都不不是是空空集集，前前者者有有元元素素0 0，后后者者有有元元素
5、素。第8页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合集合的运算集合的运算集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A-B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 第9页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合区区间间 在在一一条条直直线线上上指指定定了了一一点点作作为为原原点点OO，再再指指定定了了正正向向，此此外外又又规规定定了了单单位位长长度度，这这条条直直线线就就称称为数轴。为数轴。数数轴轴上上的的点点与与实实数数之之间间可可以以建建立立一一一一对
6、对应应的的关关系系。有有时时为为了了形形象象化化起起见见，把把数数x x称称为为点点x x，就就是是指数轴上与数指数轴上与数x x对应的那个点。对应的那个点。1 1-1-10 0OOx x第10页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合闭区间：a,b=x|axba,b=x|axb开区间：(a,b)=x|axb(a,b)=x|axb左闭右开区间：a,b)=x|axba,b)=x|axb左开右闭区间：(a,b=x|axb(a,b=x|axb有有限限区区间间OOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab b第11页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合a,+a,+
7、)=x|ax)=x|ax(-(-,b=x|xb,b=x|xb(-(-,b)=x|xb,b)=x|xb无无限限区区间间实数集实数集(-(-,+,+)=x|-)=x|-x+x+OOx xa aOOx xb b(a,+(a,+)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a第12页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合邻邻域域(a,)=x|x-a|=x|a-xa+=(a-,a+)称为点a的邻邻域域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。xaa-a+例例：(2,1)=x|x-2|1=x|1x3=(1,3)x213=1=1第13页，此课件共86页哦微积分函数函数-集合空空心心邻邻域域(a,)=x|0
8、|x-a|=x|a-xa 或或 axa+=(a-,a)U(a,a+)称为点a的空心邻域空心邻域。xaa-a+例例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x03x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1)(1,+)例例2：确定函数y=arcsin 的定义域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6|x-1|525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x (k ,k +)解：解：xk +2 2x(k +,k +)42x (k +,k +),k=0,1,2,3,为所求的定义域4 2第25页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质1函数的有界
9、性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界存在存在任意任意第26页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质例例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界的。因为|sinx|1。例例2:f(x)=1/x在(0,1)内是无界的。在1,+)内有界。例例3:第27页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质2函数的单调性函数的单调性:xyo第28页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质xyo第29页，此课件共86页哦微积分例如例如,函数函数 y=x 3 在在(-,+)内单调增加。内单调增加。第30页，此课件共86页哦微积分 而而函函数数 y=x 2 在在区区间
10、间(-,0)内内单单调调减减少少；在在区区间间(0,+)内单调增加。内单调增加。第31页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质例例1:1:判断函数y=y=x x3 3的单调性。解：解：对于任意的xl、x2，设xlx2x23-x130,所以x23 x13，故 y=x3在(-,+)是单调增加的。当 x1 x2 0 时 x12+x1 x2+x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23-x1 3=(x2-x1)(x12+x1 x2+x22)当 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0第32页，此课件共86页哦微积分函数函数-函数的性质例例2:2:判断函数y=2y=2x
11、 x2 2+1的单调性。解：解：xl、x2 R，设xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调减少单调减少(x1+x2)0当当 xl、x2 0,+)f(x1)-f(x2)0f(x1)1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时,函数单调增加；函数单调增加；当当 0a0,a1)对数函数对数函数 y=logax(a是常数,a0,a1)三角函数三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;反三角函数反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.0,过(0,0),(1,1),在(0,+)递增
12、 1递增,0a1递增,0a1递减由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫初等初等函数函数。第79页，此课件共86页哦微积分函数函数-初等函数三角函数三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;函数定义域值域周期奇偶单调y=sinx(-,+)-1,12奇(-/2+2k,/2+2k)递增(/2+2k,3/2+2k)递减y=cosx(-,+)-1,12偶(+2k,2+2k)递增(2k,+2k)递减y=tgxx/2+k(
13、-,+)奇(-/2+k,/2+k)递增y=ctgxxk(-,+)奇(k,+k)递减y=secxx/2+k(-,-1U1,+)2偶(2k,/2+2k),(/2+2k,+2k)递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscxxk(-,-1U1,+)2奇(-/2+2k,2k),(2k,/2+2k)递增(/2+2k,+2k),(+2k,3/2+2k)递减第80页，此课件共86页哦微积分函数函数-初等函数y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx第81页，此课件共86页哦微积分函数函数-初等函数y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=ar
14、ctgx第82页，此课件共86页哦微积分 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为合运算得到的一切函数统称为初等函数初等函数.二、初等函数二、初等函数例如，例如，等等。等等。本本课课程程讨论讨论的函数的函数绝绝大多数都是初等函数大多数都是初等函数.第83页，此课件共86页哦微积分例例1 1是初等函数吗？是初等函数吗？利用对数恒等式利用对数恒等式解解是初等函数。是初等函数。一般地，一般地，幂指函数幂指函数也是初等函数：也是初等函数：第84页，此课件共86页哦微积分例例2 2分段函数是初等函数吗？分段函数是初等函数吗？解解不是初等函数；不是初等函数；符号函数符号函数是初等函数，因为是初等函数，因为 分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一种形式，不是函数的新类型。是一种形式，不是函数的新类型。第85页，此课件共86页哦微积分感感谢谢大大家家观观看看第86页，此课件共86页哦