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1、7.6函数的幂级数展开函数的幂级数展开n n一、泰勒级数一、泰勒级数n n二、泰勒公式二、泰勒公式n三、函数的泰勒级数展开三、函数的泰勒级数展开1问问 题题存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题(2)展开式是否唯一展开式是否唯一?(3)在什么条件下才能展开成幂级在什么条件下才能展开成幂级数数?(1)如果能展开如果能展开,是什么是什么?2一、泰勒级数一、泰勒级数3定理证明定理证明证证逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,4泰勒级数与麦克劳林级数泰勒级数与麦克劳林级数定义定义5例例 题题例：验证函数例：验证函数
2、例：验证函数例：验证函数1/(1-x)1/(1-x)的幂级数展开式为其麦克劳林级数的幂级数展开式为其麦克劳林级数的幂级数展开式为其麦克劳林级数的幂级数展开式为其麦克劳林级数6二、泰勒公式二、泰勒公式n n设函数设函数设函数设函数f(xf(x)的泰勒级数的和函数为的泰勒级数的和函数为的泰勒级数的和函数为的泰勒级数的和函数为S(xS(x),),即即即即7定理定理8泰勒公式与拉格朗日公式关系泰勒公式与拉格朗日公式关系9麦克劳林公式麦克劳林公式10例题例题(求麦克劳林公式求麦克劳林公式)11e的近似值的近似值12例题例题(求麦克劳林公式求麦克劳林公式)13用麦克劳林公式求极限用麦克劳林公式求极限14三、函数的泰勒级数展开三、函数的泰勒级数展开证证充分性充分性必要性必要性15例例 题题16间接法间接法根据唯一性根据唯一性根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式利用常见展开式利用常见展开式,通过变量代换通过变量代换通过变量代换通过变量代换,四则四则四则四则运算运算运算运算,恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导,逐项积分等方法逐项积分等方法逐项积分等方法逐项积分等方法,求展求展求展求展开式开式开式开式.例如例如17例例 题题18常用公式常用公式119常用公式常用公式220课堂练习课堂练习21练习解答练习解答1解解22练习解答练习解答2解解23