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1、1/16学科网（北京）股份有限公司20222022 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题专题 4 二次函数与特殊图形的存在性问题二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】【真题再现】1（2021江苏淮安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y14x2bxc 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B（5，0），顶点为点 D，动点 M、Q 在 x 轴上（点 M 在点 Q 的左侧），在 x 轴下方作矩形 MNPQ，其中 MQ3，MN2矩形 MNPQ 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点 M
2、的坐标为（6，0），当点 M 与点 B 重合时停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0）（1）b，c（2）连接 BD，求直线 BD 的函数表达式（3）在矩形 MNPQ 运动的过程中，MN 所在直线与该二次函数的图象交于点 G，PQ 所在直线与直线 BD 交于点 H，是否存在某一时刻，使得以 G、M、H、Q 为顶点的四边形是面积小于 10 的平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（4）连接 PD，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R，直接写出在矩形 MNPQ 整个运动过程中点 R 运动的路径长2（2021江苏宿迁中考真题）如图，抛物线21y2xbxc 与x轴交于 A(-1
3、，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C连接 AC，BC，点 P 在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点 P 在第四象限，点 Q 在 PA 的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点 P的坐标；(3)如图，若点 P 在第一象限，直线 AP 交 BC 于点 F，过点 P 作x轴的垂线交 BC 于点 H，当PFH 为等腰三角形时，求线段 PH 的长2/16学科网（北京）股份有限公司3（2020 年盐城第 25 题）若二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 M（x1，0），N（x2，0）（0 x1x2），且经过点 A（0，2）过点 A 的直线 l 与 x 轴交于点 C，
4、与该函数的图象交于点 B（异于点 A）满足ACN 是等腰直角三角形，记AMN 的面积为 S1，BMN 的面积为 S2，且 S2?S1（1）抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；（2）求直线 l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式4（2020 年徐州第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，函数 yax2+2ax+3a（a0）的图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，它的对称轴交 x 轴于点 E过点 C 作 CDx 轴交抛物线于点 D，连接 DE 并延长交 y 轴于点 F，交抛物线于点 G直线 AF 交 CD 于点 H，交抛物线于点 K，连接 HE、GK（1）点 E 的坐标为：；
5、3/16学科网（北京）股份有限公司（2）当HEF 是直角三角形时，求 a 的值；（3）HE 与 GK 有怎样的位置关系？请说明理由5（2020 年苏州第 25 题）如图，二次函数 yx2+bx 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于x 轴的直线 l 与该抛物线交于 B、C 两点（点 B 位于点 C 左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，3）（1）求 b 的值；（2）设 P、Q 是 x 轴上的点（点 P 位于点 Q 左侧），四边形 PBCQ 为平行四边形过点P、Q 分别作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P（x1，y1）、Q（x2，y2）若|y1y2|2，求x1、x2的值6（2020 年无锡第 2
6、8 题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 OA 交二次函数 y?x2的图象于点 A，AOB90，点 B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中 m4/16学科网（北京）股份有限公司0）且平行于 x 轴的直线交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于点 N，以线段 OM、ON 为邻边作矩形 OMPN（1）若点 A 的横坐标为 8用含 m 的代数式表示 M 的坐标；点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由（2）当 m2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 OA 的函数表达式【专项突破】【专项突破】1（2020灌
7、南县一模）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A 的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），作直线 BC动点 P 在 x 轴上运动，过点 P 作 PMx 轴，交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N，设点 P 的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，求线段 MN 的最大值；（3）当点 P 在线段 OB 上运动时，若CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，求 m的值；（4）当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 m 的值2（2021常州模拟）如图
8、，抛物线 ymx2+nx3（m0）与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点（1）求点 C 坐标及抛物线的解析式（2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PHEF 于点 H，求 PH 的最大值（3）以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 D，使得BCD 是以 CD 为直角5/16学科网（北京）股份有限公司边的直角三角形？若存在，直接写出 D 点坐标；若不存在，请说明理由3（2021江苏锡山二模）如图，抛物线21yxmxm 与直线ykxk交于点 A、B，其中 A 点在 x 轴上，它们与 y 轴交点分别为 C
9、 和 D，P 为抛物线的顶点，且点纵坐标为 4，抛物线的对称轴交直线于点 Q（1）求点 A 的坐标，并用含 k 的代数式表示点 B 的坐标；（2）如图，当四边形 CDOP 为平行四边形时，求 k 的值；设 E、F 为线段 DB 上的点（含端点），横坐标分别为 a，an（n 为正整数），/EG y轴交抛物线于点 G问是否存在正整数 n，使满足1tan2EGF的点 E 有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由4（2021江苏靖江市靖城中学一模）如图，抛物线 ymx24mxn（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，抛物线与 y 轴正半轴交于点 C，连接 CA、CB，已知
10、tanCAO3，sinCBO22（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 的外接圆的圆心在BCD 的边上时，求点 D 的坐标；若BCD 是锐角三角形，直接写出点 D 的纵坐标 n 的取值范围6/16学科网（北京）股份有限公司5（2021江苏无锡市天一实验学校一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 M；（1）已知10A-，4 0B，两点，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记BD
11、E 的面积为 S1，ABE 的面积为 S2，求12SS的最大值；（3）如图 2，过点 C 的直线 PQ 与抛物线交于另一 点 P（点 P 在对称轴右侧），点 Q 在 PC的延长线上，连结 OP，OQ，MP 和 MQ若 b2，PC=3QC，是否存在这样的点 P，使四边形 POQM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6（2021江苏连云港市新海实验中学二模）如图，抛物线2:-Lyxbxc经过点 A(0，2)，与它的对称轴直线 x=2 交于点 B（1）求抛物线 L 的解析式；（2）在平面内是否存在点 D，使得以 A、B、O、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有
12、满足条件的点 D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）过定点的直线-28ykxk(k0)与抛物线 L 交于点 M、N若BMN 的面积等于 2，求 k 的值7/16学科网（北京）股份有限公司7（2021江苏泰州中学附属初中三模）如图，已知抛物线2yxmxn 和直线yx，抛物线顶点为 A，与 y 轴交点为 B，直线yx与抛物线对称轴交于点 C8/16学科网（北京）股份有限公司（1）抛物线顶点坐标为（用 m，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21yx上时，求 n 的最大值（3）若四边形 ABOC 为平行四边形求 m 的值若直线yx与抛物线在对称轴右侧部分的交点为 D，当BOD为直角三角形时，求
13、n 的值过 C 点作线段CEAC，设 CE=a，是否存在实数 a 值使ACE的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出 a 和 n 的关系式，若不存在，请说明理由8（2021江苏吴江二模）定义：如果二次函数2111ya xb xc（10a，1a，1b，1c是常数）与2222ya xb xc（20a，2a，2b，2c是常数）满足120aa，12bb，120cc，则这两个函数互为“N”函数（1）写出21yxx 的“N”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数(0)ykx k的图像只有两个交点，求 k 的值；（3）如图，二次函数 y1与 y2互为“N”函数，A、B 分别是“N”函数
14、y1与 y2图象的顶点，C 是“N”函数2y与 y 轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点(2,1)A 且ABC为直角三9/16学科网（北京）股份有限公司角形，求点 C 的坐标9（2021江苏盐都三模）如图，直线 y2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、E，点 E 的坐标是（5，3），抛物线交 x 轴于另一点 C（6，0）（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为 D，连接 BD，AD，CD，动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在线段 CA 上以每秒 3 个单位长度的速度由点
15、C 向点 A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，PQ 交线段 AD 于点 H当DPHCAD 时，求 t 的值；过点 H 作 HMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 于点 N在点 P、Q 的运动过程中，是否存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由10（2021江苏吴中一模）如图，二次函数24yaxbx的图像与 x 轴交于点1,0A，4,0B，与 y 轴交于点 C，P 为线段AB上一动点，将射线PB绕 P 逆时针方向旋转45后与函数图像交于点 Q（1）求二次函数24yaxbx的
16、表达式；10/16学科网（北京）股份有限公司（2）当 P 在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；（3）求线段PQ的最大值；（4）抛物线对称轴上是否存在 D，使 P、Q、B、D 四点能构成平行四边形，若存在，请求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由11（2021江苏溧阳一模）如图所示，抛物线150ya xxa的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）当25a 时，求点 A、B、C 的坐标；如果点 P 是抛物线上一点，点 M 是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点 P 的坐标；（2）点 D 是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆
17、的内接四边形时，求 a的值12（2021江苏徐州一模）如图，已知二次函数 yax2bx3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）、B（4，0），与 y 轴交于点 C（1）二次函数的表达式为；（2）点 M 在直线 BC 上，当ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标；（3）若点 E 在二次函数的图象上，以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 F，且 EF65，请直接写出点 E 的坐标11/16学科网（北京）股份有限公司13（2021江苏东台一模）如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C 分别是一次函数3yx 的图象与 y 轴，x 轴的交点，点 B 在二次函数2yxbxc的图象上，且该二次函
18、数图象上存在一点 D 使四边形ABCD能构成平行四边形（1）求该二次函数的表达式；（2）动点 P 在线段AD上从点 A 至点 D 运动，同时动点 Q 在线段AC上从点 C 到点 A 运动，两点都是以每秒 1 个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止当APQ是直角三角形时，求 P 的坐标；四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点 P 的坐标；若没有，请说明理由14（2021江苏泰州一模）已知抛物线2yxaxb（a、b 为常数）的顶点为 C，与直线ykxkh（k、h 为常数）相交于 A、B 两点当 k=3、h=6 时，点 A、B 恰好分别在 x轴、y 轴
19、上（1）求 a、b 的值；（2）作 y 轴的平行线，与线段 AB 和抛物线的交点纵坐标分别为1y、2y试比较1y与2y的大小，并说明理由；（3）是否存在实数 h，使ABC 为直角三角形？若存在，求出 h 的值；若不存在，请说明理由15（2020江苏沭阳县怀文中学模拟预测）已知抛物线2yaxbxc经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且,OCOB其中B点坐标为3,0，对称轴为直线12x 12/16学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方有一点(,)P m n，连接PA后满足PABCAB，记PBC面积为,S求S与m的函数关系；（3）在（2）的条件下，当点恰好落在抛物上时，
20、将直线BC上下平移，平移后的直线yxt与抛物线交于,C B两点（C在B的左侧)，若以点,C B P为顶点三角形是直角三角形，求t的值16（2020徐州模拟）如图，二次函数 yx2+3x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 B（4，0），另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点（1）m 的值为4，C 点坐标是（0，4）；（2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标；点 P 的横坐标为 t
21、（0t4），当 t 为何值时，四边形 PBQC 的面积最大，请说明理由17（2020江都区二模）如图，抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）经过原点 O和?，?6?两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A（0，2）（1）a?，b0，c0；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M、N 两点，M 在 N 的左边当AMN 为等腰三角形时，直13/16学科网（北京）股份有限公司接写出圆心 P 的横坐标18（2020灌云县一模）如图，以 D 为顶点的抛物线 y?t?x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，
22、交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 yx+6（1）求抛物线的表达式；（2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由19.（2020邗江区校级一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形 OAPB 的周长与面积相等，则 P 为“美好点”（1）在点 M（2，2），N（4，4），Q（6，3）中，
23、是“美好点”的有N、Q（2）若“美好点”P（a，3）在直线 yx+b（b 为常数）上，求 a 和 b 的值；（3）若“美好点”P 恰好在抛物线 y?x2第一象限的图象上，在 x 轴上是否存在一点Q 使得POQ 为等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由14/16学科网（北京）股份有限公司20（2020建湖县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 B 关于 x 轴的对称点是 C，二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A 和点 C（1）求二次函数的表达式；（2）如图 1，平移线段 AC，点 A 的对应点 D
24、落在二次函数在第四象限的图象上，点 C的对应点 E 落在直线 AB 上，求此时点 D 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，连接 CD，交 x 轴于点 M，点 P 为直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PFAC，垂足为点 F，连接 PC，是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的三角形与COM 相似？若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由21（2020梁溪区一模）如图，二次函数 yax2+bx+4 的图象与坐标轴分别交于 A、B、C三点，其中 A（3，0），点 B 在 x 轴正半轴上，连接 AC、BC点 D 从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动；同时点 E 从点
25、O 出发，沿 x 轴向点 B 移动，它们移动的速度都是每秒1 个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接 DE，设移动时间为t 秒（1）若 t3 时，ADE 与ABC 相似，求这个二次函数的表达式；（2）若ADE 可以为直角三角形，求 a 的取值范围15/16学科网（北京）股份有限公司22（2020天宁区校级模拟）如图，已知二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A，点 B（3，0），交 y 轴于点 C，点 M（m，0）是线段 OB 上一点（与点 O、B 不重合），过点 M 作 MPx 轴，交 BC 于点 P，交抛物线于点 Q，连接 OP，CQ（1）求二次函数的表达
26、式；（2）若COPQCP，求 QP 的长；（3）若CPQ 是以 CP 为底边的等腰三角形，点 N 是线段 OC 上一点，连接 MN，求MN?CN 的最小值23（2020宝应县一模）已知抛物线 yax2+bx+4 经过点 A（2，0），B（4，0）与 y 轴交于点 C（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由1
27、6/16学科网（北京）股份有限公司24（2020昆山市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 D（2，4），与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，4），连接 AC，CD，BC，其且 AC5（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l，l 分别交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 M设点 P 的横坐标为 m当 0m2 时，过点 M 作 MGBC，MG 交x 轴于点 G，连接 GC，则 m 为何值时，GMC 的面积取得最大值，并求出这个最大值；（3）当1m2 时，是否存在实数 m，使得以 P，C，M 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出相应 m 的值；若不存在，请说明理由