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1、液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中的具体表现，现采用一元流动分析法讨论如下的具体表现，现采用一元流动分析法讨论如下第三节第三节 恒定流连续性方程恒定流连续性方程第九讲在恒定总流中任取一元流流段，在恒定总流中任取一元流流段，如图如图 设其进出口断面面积分别为设其进出口断面面积分别为dA1和和dA2，相应的流速分别为，相应的流速分别为u1和和u u2 2,因为液体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度因为液体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度 为常数；为常数；化简得化简得 恒定流中，元流的形状和位置不随时间而改变；在元流
2、的侧壁恒定流中，元流的形状和位置不随时间而改变；在元流的侧壁上不会有液体的流入和流出。所以，根据质量守恒原理，在上不会有液体的流入和流出。所以，根据质量守恒原理，在dtdt时段内，流入时段内，流入dAdA1 1和流出和流出dAdA2 2的质量应相等，即的质量应相等，即1 或或上式为恒定元流的连续性方程。将其对相应的总流过水断面积分上式为恒定元流的连续性方程。将其对相应的总流过水断面积分即即 或或 式中的式中的v1 1与与v2 2分别为总流过水断面的断面平均流速。因为两个积分别为总流过水断面的断面平均流速。因为两个积分断面是任取的，故上式亦可表示为更一般的形式分断面是任取的，故上式亦可表示为更一
3、般的形式上述三个公式，就是恒定总流连续性方程的三种形式上述三个公式，就是恒定总流连续性方程的三种形式 它们表明：它们表明：在不可压缩恒定总流的同一流股中，任意过水断面上在不可压缩恒定总流的同一流股中，任意过水断面上的流量都相等，或断面平均流速与过水断面面积成反比。的流量都相等，或断面平均流速与过水断面面积成反比。2恒定流连续性方程的形式尽管很简单，但它在分析液体运动时却恒定流连续性方程的形式尽管很简单，但它在分析液体运动时却极为重要，它是不涉及任何作用力的反映液体运动规律的基本方极为重要，它是不涉及任何作用力的反映液体运动规律的基本方程，对于理想液体和实际液体都适用。程，对于理想液体和实际液体
4、都适用。若流量在两断面间有流入或分出，则连续性方程应作相应的变化若流量在两断面间有流入或分出，则连续性方程应作相应的变化.图（图（b b）有流量分出时，其连续性方程为）有流量分出时，其连续性方程为图（图（a a）有流量汇入时，其连续性方程为）有流量汇入时，其连续性方程为3【例例3-23-2】P.42 P.42第四节第四节 恒定流能量方程恒定流能量方程 恒定流能量方程从动力学的角度给出了运动液体的动能、压恒定流能量方程从动力学的角度给出了运动液体的动能、压能和位能之间的相互关系，是物质能量转化与守恒原理在恒定液能和位能之间的相互关系，是物质能量转化与守恒原理在恒定液体恒定流动中的具体表现。它在水
5、力学中有着极其重要的意义。体恒定流动中的具体表现。它在水力学中有着极其重要的意义。一、恒定元流能量方程一、恒定元流能量方程1.1.液体静与动的现象对比液体静与动的现象对比如图，当管端阀门如图，当管端阀门E E关闭时关闭时,水箱和管水箱和管道系统中的水处于道系统中的水处于静止状态静止状态,管中各管中各点的测压管水面与点的测压管水面与水箱水面同高水箱水面同高(如如图中虚线图中虚线)4这反映了水静力学的规律，即这反映了水静力学的规律，即 当阀门当阀门E E打开时，各打开时，各测压管水面都出现测压管水面都出现了相应的下降。若了相应的下降。若阀门阀门E E开度一定，并开度一定，并维持水箱水位不变，维持水
6、箱水位不变，水作恒定流动水作恒定流动时，各测压管水面均在一定的高度上稳定下来。时，各测压管水面均在一定的高度上稳定下来。通过观察可以发现，各测压管水面稳定后，与水静止时相比通过观察可以发现，各测压管水面稳定后，与水静止时相比较，流速大处，测压管水面下降幅度也大（如图中较，流速大处，测压管水面下降幅度也大（如图中C C点、点、D D点处的点处的测压管水面较测压管水面较A A点、点、B B点处的下降幅度要大一些）；同时在流速相点处的下降幅度要大一些）；同时在流速相同处，下游的测压管水面也比上游的测压管水面稍低一些（如图同处，下游的测压管水面也比上游的测压管水面稍低一些（如图中中A A点与点与B B
7、点处和点处和C C点与点与D D点处测压管水面的情况）。点处测压管水面的情况）。5上述现象表明，液体有了流动，其势能就要减小，而且流速愈大上述现象表明，液体有了流动，其势能就要减小，而且流速愈大势能减小就愈多；在流速相同的情况下，势能的减小幅度还沿流势能减小就愈多；在流速相同的情况下，势能的减小幅度还沿流程而增加。这里涉及到了液体机械能的转化与损失问题。程而增加。这里涉及到了液体机械能的转化与损失问题。2.2.恒定元流能量方程恒定元流能量方程上式即为恒定元流能量方程，又称元流的伯努利方程。下面分析上式即为恒定元流能量方程，又称元流的伯努利方程。下面分析方程中各项的能量意义和几何意义。方程中各项
8、的能量意义和几何意义。z z 代表了液体在元流计算断面上的单位位能；几何上称为位代表了液体在元流计算断面上的单位位能；几何上称为位置水头，单位为置水头，单位为m m。代表了液体在元流计算断面上的单位压能；几何上称为代表了液体在元流计算断面上的单位压能；几何上称为压强水头，当压强水头，当p p为相对压强时，又称为测压管高度，单位为为相对压强时，又称为测压管高度，单位为m m。6 代表了液体在元流计算断面上的单位势能；当代表了液体在元流计算断面上的单位势能；当p p为相为相对压强时，在几何上称为测压管水头，单位为对压强时，在几何上称为测压管水头，单位为m m。代表了单位重量液体在元流计算断面上所具
9、有的动能，代表了单位重量液体在元流计算断面上所具有的动能，简称单位动能几何上称为流速水头，单位为简称单位动能几何上称为流速水头，单位为m m。代表了单位重量液体在元流计算断面上所具有的代表了单位重量液体在元流计算断面上所具有的势能与动能之和，即为单位重量液体所具有的机械能，简称单势能与动能之和，即为单位重量液体所具有的机械能，简称单位机械能；几何上称为总水头，单位为位机械能；几何上称为总水头，单位为m m。代表了单位重量液体从断面代表了单位重量液体从断面1-11-1流动到断面流动到断面2-22-2的机械能的机械能损失，简称单位机械能损失；几何上称为水头损失，单位为损失，简称单位机械能损失；几何
10、上称为水头损失，单位为m m。7元流能量方程：元流能量方程：在不可压缩的恒定流中，在不可压缩的恒定流中，元流过水断面上机械能的三种形式是可以相互转化的，但上游断元流过水断面上机械能的三种形式是可以相互转化的，但上游断面的单位机械能（总水头）应等于下游断面的单位机械能（总水面的单位机械能（总水头）应等于下游断面的单位机械能（总水头）与两断面之间的单位机械能损失（水头损失）之和。头）与两断面之间的单位机械能损失（水头损失）之和。对于理想液流，不存在内摩擦阻力，所以，元流能量方程变为对于理想液流，不存在内摩擦阻力，所以，元流能量方程变为 上式即为理想液体恒定元流能量方程。该方程表明，理想液体在上式即
11、为理想液体恒定元流能量方程。该方程表明，理想液体在流动过程中单位机械能量守恒。流动过程中单位机械能量守恒。这也表明，液流的单位机械能（总水头）沿流程总是逐渐减小的这也表明，液流的单位机械能（总水头）沿流程总是逐渐减小的,但在整个流动过程中总单位能量保持守恒。但在整个流动过程中总单位能量保持守恒。或或 对于静止液体，对于静止液体，u=0u=0，且液体中不出现内摩擦阻力，且液体中不出现内摩擦阻力，8 则元流能量方程变为则元流能量方程变为可见，水静力学基本方程是恒定流能量方程的一个特例。可见，水静力学基本方程是恒定流能量方程的一个特例。三、恒定总流能量方程三、恒定总流能量方程将元流能量方程两端同乘以
12、将元流能量方程两端同乘以，得到液体在单位时间内，得到液体在单位时间内通过元流两过水断面的能量关系式通过元流两过水断面的能量关系式注意到注意到 可以得到液体在单位时间内，通过总流两过水断面能量的关系式可以得到液体在单位时间内，通过总流两过水断面能量的关系式 将上式在相应的总流过水断面上积分，将上式在相应的总流过水断面上积分，9按能量性质按能量性质,可将上式中的积分划分为三种类型可将上式中的积分划分为三种类型,现分别讨论如下：现分别讨论如下：1 1势能项积分势能项积分表示了液体在单位时间通过总流过水断面的势表示了液体在单位时间通过总流过水断面的势 能总和。能总和。若将其选取在总流的渐变流（或均匀流
13、）过水断面上，则若将其选取在总流的渐变流（或均匀流）过水断面上，则 10于是可得于是可得根据数学知识可知，多个数平均值的立方总是小于多个数立方根据数学知识可知，多个数平均值的立方总是小于多个数立方的平均值。根据平均流速的平均值。根据平均流速v 的概念可得的概念可得2 2动能项积分动能项积分表示了液体在单位时间通过总流表示了液体在单位时间通过总流过水过水断面的动能总和。断面的动能总和。采用一元流动分析法，用断面平均流速采用一元流动分析法，用断面平均流速v 代替断面上的代替断面上的u u。即即引入一大于引入一大于1 1的修正系数的修正系数，使，使 11则动能项积分可写成则动能项积分可写成对于实际液
14、体，对于实际液体，是一个大于是一个大于1 1的数，其大小决定于过水断面的流的数，其大小决定于过水断面的流速分布。流速分布愈均匀，速分布。流速分布愈均匀，值愈接近于值愈接近于1 1。因此，除流速分布很不均匀的特殊情况外，在工程实际中因此，除流速分布很不均匀的特殊情况外，在工程实际中为计算方便，通常取为计算方便，通常取1.01.0。精确的精确的 值一般不值一般不式中的式中的 称为动能修正系数，其表示式为称为动能修正系数，其表示式为容易得到，在一般的渐变流中。容易得到，在一般的渐变流中。3 3损失项积分损失项积分表示单位时间内，上下游两总流过水断面间的液体表示单位时间内，上下游两总流过水断面间的液体
15、在运动过程中机械能损失的总和在运动过程中机械能损失的总和,设设h hw w为总流在这一运动过程为总流在这一运动过程12中的平均单位机械能损失，中的平均单位机械能损失，动能项积分动能项积分将势能项积分将势能项积分损失项积分损失项积分代入能量方程代入能量方程的积分式的积分式并将等式两端同除并将等式两端同除g以可得以可得则则13这就是实用中极为重要的恒定总流能量方程，又称为总流伯努这就是实用中极为重要的恒定总流能量方程，又称为总流伯努利方程。利方程。恒定总流能量方程中各项的意义与恒定元流能量方程基本相同。恒定总流能量方程中各项的意义与恒定元流能量方程基本相同。z z和和 分别代表了液体在总流计算断面
16、上某一点的单位分别代表了液体在总流计算断面上某一点的单位位能和单位压能；几何上分别称为液体在总流计算断面上相应点位能和单位压能；几何上分别称为液体在总流计算断面上相应点的位置水头和压强水头，它们的单位都是的位置水头和压强水头，它们的单位都是m m。虽然液体在总流计算断面上各点的虽然液体在总流计算断面上各点的z z和和 但恒定总流能量方程的计算断面应取在渐变流的过水断面上，但恒定总流能量方程的计算断面应取在渐变流的过水断面上，断面上任一点的断面上任一点的所以所以 断面上的平均单位势能断面上的平均单位势能;为液体在相应断面上的测压管水头，单位为为液体在相应断面上的测压管水头，单位为m m。代表了液
17、体在总流计算代表了液体在总流计算都不相同，都不相同，当当p p为相对压强时，在几何上称为相对压强时，在几何上称14 代表了液体在总流计算断面上的平均单位动能；几何代表了液体在总流计算断面上的平均单位动能；几何上称为液体在相应断面上的平均流速水头，单位为上称为液体在相应断面上的平均流速水头，单位为m m。代表了液体在总流计算断面上的平均单位机械能；代表了液体在总流计算断面上的平均单位机械能；几何上称为液体在相应断面上的总水头，单位为几何上称为液体在相应断面上的总水头，单位为m m。常用。常用E E或或H H表示。表示。代表了液体从总流的上游计算断面流动到下游计算断面代表了液体从总流的上游计算断面
18、流动到下游计算断面的平均单位机械能损失；几何上称为水头损失，单位为的平均单位机械能损失；几何上称为水头损失，单位为m m。与元流能量方程类似，总流能量方程同样反映了在不可压缩与元流能量方程类似，总流能量方程同样反映了在不可压缩的恒定流中，各断面上三种形式机械能的转化与损失规律。不同的恒定流中，各断面上三种形式机械能的转化与损失规律。不同的是方程中的的是方程中的具有平均含义具有平均含义 。和和，15四、能量方程的几何表示四、能量方程的几何表示水头线水头线 如果将沿流程各过水断面相应的水头都用图形（即水头线）表示如果将沿流程各过水断面相应的水头都用图形（即水头线）表示出来，就可使液体沿流程能量的转
19、化与损失情况直观、形象地反出来，就可使液体沿流程能量的转化与损失情况直观、形象地反映出来。映出来。实用中常有以下三种水头线，如下图。实用中常有以下三种水头线，如下图。（1 1）位置水头）位置水头线：线：在图中，选在图中，选定了基准面后，定了基准面后，沿流程个断面位沿流程个断面位置水头置水头z z的连线的连线（即管流的轴线）（即管流的轴线）称为该管流的位称为该管流的位置水头线。它反映了液体的断面平均单位位能沿流程的变化情况。置水头线。它反映了液体的断面平均单位位能沿流程的变化情况。16(2)(2)测压管水头线测压管水头线沿流程各断面测沿流程各断面测压管水头压管水头 的连线的连线反映了液体断面反映
20、了液体断面平均单位势能沿平均单位势能沿流程的变化流程的变化情况。情况。测压管水头线与位置水头线（即管流的轴线）之间的铅直距离，测压管水头线与位置水头线（即管流的轴线）之间的铅直距离，反映了液体的断面平均相对压强（即断面的平均单位压能）沿流反映了液体的断面平均相对压强（即断面的平均单位压能）沿流程的变化情况。程的变化情况。测压管水头线在管流轴线之上的区域，管内的测压管水头线在管流轴线之上的区域，管内的液体为正压，形成正压区；测压管水头线在管流轴线之下的区域。液体为正压，形成正压区；测压管水头线在管流轴线之下的区域。管内的液体为负压，形成负压区。如图中的管内的液体为负压，形成负压区。如图中的aba
21、b区间即为负压区。区间即为负压区。17（3 3）总水头线：）总水头线：沿流程各过水断面总水头沿流程各过水断面总水头 的连线。的连线。它反映了液体的平均单位机械能沿流程的变化情况。它反映了液体的平均单位机械能沿流程的变化情况。任意两个过水断面间总水头线的下降高度，就是这两个过水断任意两个过水断面间总水头线的下降高度，就是这两个过水断面间液流的水头损失面间液流的水头损失hw实际液流总是有实际液流总是有水头损失的，所水头损失的，所以总水头线总是以总水头线总是沿流程下降的沿流程下降的（除非有外加能（除非有外加能量）量）总水头线沿流程下降的快慢程度，可以用水力坡度总水头线沿流程下降的快慢程度，可以用水力
22、坡度J J来表示。来表示。18式中的式中的dHdH为总水头在为总水头在dldl流程上的增量，由于流程上的增量，由于dHdH总为负值，为使总为负值，为使水力坡度水力坡度J J为正值，上式中要加一负号。为正值，上式中要加一负号。水力坡度是液体在单位流程上的水头损失（即总水头线坡度），即水力坡度是液体在单位流程上的水头损失（即总水头线坡度），即 因为势能和动能沿流程可以相互转化，所以测压管水头线沿流程因为势能和动能沿流程可以相互转化，所以测压管水头线沿流程可以下降、也可以升高或是水平的。可以下降、也可以升高或是水平的。它沿流程的变化情况，可以用测压管水头线坡度它沿流程的变化情况，可以用测压管水头线坡
23、度J Jp p表示表示.是液体是液体在单位流程上的测压管水头降低值，即在单位流程上的测压管水头降低值，即 式中的式中的 是测压管水头在是测压管水头在dl流程上的增量。流程上的增量。按上述定义，测压管水头线下降时按上述定义，测压管水头线下降时J Jp p为正，上升时为正，上升时J Jp p为负，所以为负，所以式中要加一负号。式中要加一负号。19 测压管水头线与总水线平行时，表明液流的断面平均流速沿测压管水头线与总水线平行时，表明液流的断面平均流速沿流程不变；若两条水头线间距减小，表明液流断面平均流速沿流流程不变；若两条水头线间距减小，表明液流断面平均流速沿流程减小，反之，则表明断面平均流速沿流程增加。程减小，反之，则表明断面平均流速沿流程增加。能量方程的这种几何表示法，使液流各项单位能量沿流程的能量方程的这种几何表示法，使液流各项单位能量沿流程的变化与损失情况一目了然。它是工程实际中分析液流现象和进行变化与损失情况一目了然。它是工程实际中分析液流现象和进行有关水力计算的有利工具。有关水力计算的有利工具。小结：小结：作业作业6 6（1 1）3-93-9，（，（2 2）3-11 3-11 1.恒定流连续性方程恒定流连续性方程2.2.恒定流能量方程恒定流能量方程3.3.水头线水头线20