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1、第四节第四节 依测度收敛依测度收敛第四章第四章 可测函数可测函数1.1.依测度收敛的定义及例子依测度收敛的定义及例子依测度收敛的定义及例子依测度收敛的定义及例子例例例例1 1：依测度收敛但处处不收敛的函数列：依测度收敛但处处不收敛的函数列：依测度收敛但处处不收敛的函数列：依测度收敛但处处不收敛的函数列例例例例2 2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列RieszRiesz定理定理定理定理 若若 ,则必有则必有fn的子列的子列 fnk，使得使得2.Riesz2.Riesz定理定理定理定理 及
2、勒贝格定理及勒贝格定理叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 子列3.3.收敛间的关系收敛间的关系收敛间的关系收敛间的关系依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.定理：令mE+，则 (1)若又有 ,则f(x)=h(x)a.e.于E。（2 2）的证明：）的证明：设设设设 f fn n 与与与与 ggn n 是是是是E E E E上
3、几乎处处有限的可测函数上几乎处处有限的可测函数上几乎处处有限的可测函数上几乎处处有限的可测函数列列列列,于于于于E E，于于于于E,E,则则则则 于于于于E E 注:(1),(4)的证明类似，只要利用证明：由于故这与（*）式矛盾，所以证明：假设 不成立，则（3）证明）证明条件mE+对(3)来说不可少注：令 ，则 gn不依测度收敛于g注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述依测度收敛的等价描述证明证明任取任取 fn gn 的子列的子列fnk gnk ，找，找 fnk gnk 的子列的子列 fnki gnki使得使得例例 设设但但 不依测度收敛于f 2于R 依测度收敛的等价描述依测度收敛的等
4、价描述依测度收敛的等价描述依测度收敛的等价描述令mE+，则 对fn 的任意子列fnk,存在fnk的子列 fnki，使得证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk，由于 当然有由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki，使得充分性充分性充分性充分性反之：假设 不成立，则显然 fnk的任何子列 fnki都不依测度收敛与f，再由Lebesgue定理(mE+)的逆否命题知，显然fnk的任何子列 fnki都不几乎处处收敛与f，这与条件矛盾，故存在 fn的子列 fnk，使得例例例例 对对对对 E=R E=R E=R E=R1 1 1 1 上的上的上的上的a.e.a.e.有限的可测函数有限的可测函数有限的可测函数有限的可测函数f(x)f(x)f(x)f(x)，一定存在，一定存在，一定存在，一定存在E E上的连续函数列上的连续函数列上的连续函数列上的连续函数列ffffi i i i(x)(x)(x)(x)使使使使f f f fi i i i(x)f(x)(x)f(x)(x)f(x)(x)f(x)a.e.a.e.于于于于E E从而 令 ，即得我们所要的结果。证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(x)的子列 gni(x)使gni(x)f(x)a.e.于E，