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1、第三节第三节 可测函数的收敛性（续）可测函数的收敛性（续）第四章 可测函数主讲：胡努春各种收敛定义各种收敛定义依测度收敛依测度收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛几乎一致收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎处处收敛几乎处处收敛:几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）引理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（LebesgueLebesgue定理）定理）设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理的证明叶果洛夫定理的证明 引理：mE+对引理、叶果洛夫对引理、叶果洛夫定理及定理及Leb
2、esgueLebesgue定理的证明的说明定理的证明的说明Lebesgue定理的证明的证明 叶果洛夫定理的证明叶果洛夫定理的证明Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理叶果洛夫定理的证明引理：mE+下证明 由(3)推出(2)对引理、叶果洛夫对引理、叶果洛夫定理及定理及LebesgueLebesgue定定理的证明的说明理的证明的说明Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理叶果洛夫定理的证明引理：mE+下证明 由(4)推出(3)对引理、叶果洛夫定理及对引理、叶果洛夫定理及LebesgueLebesgue定理的证明的说明定理的证明的说明注：叶果洛夫定理注：叶果洛夫定理的逆定理成立注：注：a.a.叶果
3、洛夫定理的逆定理成立，无论叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mEmE+或或mEmE=+=+，几乎一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛几乎处处收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛另外显然 fn(x)在 上点点收敛于f(x)所以 fn(x)在E上a.e.收敛于f(x)证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x)在 En上一致收敛于f(x)，当然fn(x)在En 上点点收敛于f(x)叶果洛夫定理的逆定理叶果洛夫定理的逆定理注注:b.b.叶果洛夫定理中条件叶果洛夫定理中条件mEmE+不可少不可少不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下
4、的集合上任不一致收敛几乎一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛n例 在R+上处处收敛于 f(x)=1,但fn不几乎一致收敛于f于R+注：注：c.c.叶果洛夫定理中的结论me不能加强到me=01-去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；注：注：c.c.叶果洛夫定理中结论me不能加强到me=0 设设f fn n(x)=x(x)=x n n,x,x(0,1(0,1）,则则f fn n(x)(x)处处收敛于f(x)=0
5、f(x)=0，但但f fn n(x)(x)不一致收敛于f(x)f(x)，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上f fn n(x)(x)仍不一致收敛于f(x)f(x)。说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列xn,使得 收敛到1，故：从而E-e 上f fn n(x)(x)不一致收敛于f(x)f(x)叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 收敛间的关系收敛间的关系依测度收敛依测度收敛但处处不收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4
6、3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1依测度收敛依测度收敛与点点收敛与点点收敛0 10 10 1/4 3/4 10 1/8 1/4 1叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 RieszRiesz定理定理若 于E,则必有fn的子列 fnk，使得子列 引理：mE+Lebesgue定理的证明的证明 叶果洛夫定理的证明叶果洛夫定理的证明收敛间的关系收敛间的关系RieszRiesz定理（定理（(6)(6)到到(1)(1)的关系的关系）我们只需证我们只需证(5)(5)到到(3)(3)的关系的关
7、系RieszRiesz定理的证明定理的证明证明：对对RieszRiesz定理证明定理证明的说明：其实从的说明：其实从证明中的证明中的(*)(*)式我式我们可看出们可看出从而可取得n1 n2 n3 nk0，,有依测度收敛的等价描述依测度收敛的等价描述令mE+，则 对fn 的任意子列fnk,存在fnk的子列 fnki，使得证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk，由于 当然有由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki，使得充分性充分性反之：假设 不成立，则显然 fnk的任何子列 fnki都不依测度收敛与f，再由Lebesgue定理(mE+)的逆否命题知，显然fnk的任何子列 fnki都不几乎
8、处处收敛与f，这与条件矛盾，故存在 fn的子列 fnk，使得依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.定理：令mE+，则 (1)若又有 ,则f(x)=h(x)a.e.于E。设设 f fn n 与与 g gn n 是是E E上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可测函数列,于于E E，于于E,E,则则 于于E E 注:(1),(4)的证明类似，只要利用证明：由于故这与（*）式矛盾，所以证明：假设 不成立，则条件mE+对(3)来说不可少注：令 ，则 gn不依测度收敛于g注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述依测度收敛的等价描述证明证明任取任取 fn gn 的子列的子列fnk gnk ，找找 fnk gnk 的子列的子列 fnki gnki使得使得例例 设设但但 不依测度收敛于f 2于R