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1、2.4.1 抛物线及其抛物线及其 标准方程标准方程高二数学高二数学 选修选修 2-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 3 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。喷泉的纵截面都是抛物线。我们在哪些地方见过或研究过抛物线？我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的
2、运动轨迹；知识回顾知识回顾赵州桥赵州桥抛物线的抛物线的抛物线的抛物线的画法画法画法画法数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）平面内与一个定点平面内与一个定点平面内与一个定点平面内与一个定点F F F F和一条定直线和一条定直线和一条定直线和一条定直线l l l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线抛物线抛物线.定点定点定点定点F F F F 叫做抛物线的叫做抛物线的叫做
3、抛物线的叫做抛物线的焦点焦点焦点焦点,定直线定直线定直线定直线l l l l 叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线准线准线.1.1.抛物线的定义抛物线的定义FMlN 几何关系式几何关系式代数关系式代数关系式解析法解析法解析法解析法求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤是怎样的？是怎样的？2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程lFMN建系建系列式列式化简化简证明证明设点设点 设一个定点设一个定点F F到一条定直线到一条定直线l l的距离为常数的距离为常数p p(p p0)0)，如何建立直角坐标系如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢求出抛物线的方程呢？2-1.抛物线的标准方程
4、的推导抛物线的标准方程的推导FMlNKyoFMNx解法一：以解法一：以l l为为y y轴，过点且垂直于轴，过点且垂直于l l的直线为的直线为x x轴轴建立直角坐标系，则点（建立直角坐标系，则点（p p,）设动点（设动点（x x,y y),),由抛物线定义得由抛物线定义得解法二：以定点为原点，过点且垂直于解法二：以定点为原点，过点且垂直于l l的直的直线为线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.yKFMNx设动点（设动点（x x,y y),),由抛物线定义得由抛物线定义得则点（则点（0,0,）,l l 的方程为的方程为x=-px=-p l设动点（设动点（x,yx,y),),由抛物线定义得由抛
5、物线定义得则点（则点（,），），l l的方程为的方程为 yKFMNoxl 解法三：取过点且垂直于解法三：取过点且垂直于l l 的直线为的直线为x x轴，轴，x x轴轴与与l l交于，以线段的垂直平分线为交于，以线段的垂直平分线为y y轴建立直角轴建立直角坐标系，坐标系，方程方程 y y2 2=2=2pxpx（p p0 0）叫做叫做抛物线的抛物线的标准方程标准方程.其中其中p p为正常数，它的几何为正常数，它的几何意义是意义是:焦点到准线的距离焦点到准线的距离。2-2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程KFMNoyx 一般地，我们把一般地，我们把一般地，我们把一般地，我们把顶点在原点、焦点顶点在原
6、点、焦点顶点在原点、焦点顶点在原点、焦点F F F F在在在在坐标轴上坐标轴上坐标轴上坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的标标标标准准准准方程方程方程方程.对“标准”的理解yKFMNoxFMlNy2=2px（p0）2-3.抛物线标准方程的其他形式抛物线标准方程的其他形式KFMNoyxFMlNFMlNFMlNy yx xo o图象图象图象图象开口方向开口方向开口方向开口方向标准方程标准方程标准方程标准方程焦点焦点焦点焦点准线准线准线准线向右向右向左向左向上向上向下向下yxoyxoyxoyxo 1.(1)已知抛物已知抛物线
7、线的的标标准方程是准方程是 ，则则 它的焦点坐标为它的焦点坐标为 ；准线方程为；准线方程为 ；(2)已知抛物线的方程是已知抛物线的方程是，则它的焦点，则它的焦点 坐标坐标 ；准线方程为；准线方程为 ；尝试尝试1:2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程是）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2=12xy2=xy2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y尝试尝试2:变式变式:求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。的抛物线的标准方程。抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。AOyxM是抛物线是抛物线y2=2px（P0）上）上一点，若点一点，若点M 的横坐的横坐标为标为X0，则点则点M到焦点的距离是到焦点的距离是。思维拓展思维拓展:OyxFM小结小结:1 1、抛物线的定义和标准方程的推导；、抛物线的定义和标准方程的推导；2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准线方程；线方程；3、数形结合的思想。、数形结合的思想。形（曲线位置特征）形（曲线位置特征）数（方程形式特征）数（方程形式特征）定位分析定位分析定量分析定量分析