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1、考纲解读1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考向预测1本节内容的考查热点是通项公式，可以求指定项，或已知某项，求指数n等2本节内容的考查通常用选择题、填空题的方式进行知识梳理1二项式定理(ab)nCn0anCn1an1b1Cn2an2b2CnranrbrCnnbn(nN*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数Cnr(r0,1,2，n)叫做式中的Cnranrbr叫做二项展开式的，用Tr1表示，即展开式的第项；Tr1.二项式系数通项r1Cnranrbr2二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于
2、二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 .(3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从，Cn1，一直到Cnn1，.n1n降幂升幂Cn0Cnn3二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的相等(2)如果二项式的幂指数是偶数，的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，的二项式系数相等并且最大(3)二项式系数的和等于 ，即.(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和，即.二项式系数中间一项中间两项2nCn0Cn1Cn2Cnn2n等于Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2Cn42
3、n1答案A 答案B 3(2009江西文)若Cn1xCn2x2Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()Ax4，n3 Bx4，n4Cx5，n4 Dx6，n5答案C解析考查二项式定理因为Cn1xCn2x2CnnxnCn0 x0Cn1xCn2x2Cnnxn1(1x)n1能被7整除，代入选项检验易知选C.4(2010全国卷文)(1x)4(1)3的展开式中x2的系数是()A6 B3C0 D3答案A解析该题考查求展开式的特定项，用生成法(1 )3的有理项为1和3x，故要出现x2，需从(1x)4因式中找x2项和x项，即C42(x)2和C41x，x2项为C42(x)21C41x3x6x2，选A.答案6 6(
4、2010全国卷文)(x )9的展开式中的x3的系数是_答案847若(12x)6展开式中第2项大于它的相邻两项，试求x的取值范围点评求二项展开式中某些特殊项、常数项、有理项、无理项或它们的系数等问题利用通项公式写出其一般式，再令其中r取某些特定值是解决该类型问题常用方法答案B 答案B 例2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.解析所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，整体解决(1)令x0，则a01；令x1，则a7a6a1a027128a1a2a7129.(3)已知(x1)2009a0a1xa2x2a2009x20
5、09，则a0a1a2a1004()A22009 B22008C21005 D21004答案(1)491(2)A(3)B解析(1)在(13x)9展开式中奇数项为正，偶数项为负故|a1|a2|a9|a1a2a3a9.令x1，得a0a1a2a3a949.令x0，得a01.故|a1|a2|a9|491.例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数的最大项(2)求展开式中系数最大的项分析展开式中二项式系数的最大项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项；系数最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，若设第r1项为
6、展开式的系数最大项，则应满足第r1项的系数大于或等于第r项及第r2项的系数解析(1)令x1，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意，知4n2n992.(2n)22n9920.(2n31)(2n32)0.2n31(舍)或2n32.n5.由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是解析根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数的绝对值最大问题需要列不等式组求解由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.点评在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：
7、二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，本例中是求“系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项比较这两项的系数C10228与C10426大小即可.例4(1)求证：3n(n2)2n1(nN*，且n2)；(2)求SC271C272C2727除以9的余数分析(1)把3n化为(21)n展开后放缩证明；(2)求出系数和构造二项展开式求解解析(1)证明：nN*，且n2，3n(21)n展开后至少有四项，而(21)n2nCn12n1Cnn1212n
8、n2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1.(2)SC271C272C27272271891(91)91C9099C9198C989C9919(C9098C9197C98)2C9098C9197C98是正整数，S被9除的余数为7.点评幂指数含n的不等式(nN*)，用二项式定理证明，有时比用数学归纳法证明要简捷得多用二项式定理证明不等式时，要根据n的最小值确定展开后的最少项数，然后视具体情况确定应该保留多少项这实际上是一个放缩适量的问题利用二项式定理解决整除性问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的
9、各项均能被另一个式子整除即可因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理(1)22012除以9的余数是()A1 B2C5 D8(2)190C101902C102903C103(1)k90kC10k9010C1010除以88的余数是()A1 B1C87 D87答案(1)C(2)B解 析 (1)22012 422010 4(9 1)670 4(9670C67019669C670296681)，展开式中共671项，最后一项为4(1)4，故余数为945.答案选C.(2)190C101902C102903C103(1)k90kC10k
10、9010C1010(1 90)10 8910(88 1)10 8810C101889C102888C109881，前10项均可被88整除，故余数为1.答案选B.1运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Cnranrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指Cnr，而后者是指字母外的部分2求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1.有时还需求n，再求r，才能求出Tr1.3有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决，有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏4对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段5用二项式定理证明整除问题时，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决