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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 本章主要内容：本章主要内容：n控制系统的模型控制系统的模型n建立系统的微分方程模型建立系统的微分方程模型n建立系统的传递函数模型建立系统的传递函数模型n建立系统的动态结构图并化简建立系统的动态结构图并化简n自动控制系统的传递函数定义自动控制系统的传递函数定义一一、控制系统的模型、控制系统的模型1 1、模型、模型：经原系统简化了的系统，并能反映系统所经原系统简化了的系统，并能反映系统所 代表的全部重要特征。代表的全部重要特征。l 物理模型：模拟器模拟物理模型：模拟器模拟 缩尺模拟缩尺模拟l 数学模型：描述系统输入、输出变量以及各部分数学模型：描
2、述系统输入、输出变量以及各部分 变量之间关系的数学表达式变量之间关系的数学表达式l动态模型：描述各变量动态关系的数学表达式。动态模型：描述各变量动态关系的数学表达式。常用的有常用的有微分方程、传递函数、动态结构图、状态方微分方程、传递函数、动态结构图、状态方程程等等n建模的意义：定量地反映系统的特征，并在数学上或物理上易建模的意义：定量地反映系统的特征，并在数学上或物理上易 于分析和处理。于分析和处理。n复杂系统的建模：复杂系统的建模：将物理模型将物理模型 数学化。数学化。n简单系统的建模：简单系统的建模：输入至输出列写数学模型。输入至输出列写数学模型。n分析法和实验法分析法和实验法 分析法：
3、从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建模分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建模 并验证并验证;实验法：实验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统输对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统输 出响应，从而建模出响应，从而建模 。2 2、建模、建模二、控制系统的微分方程模型二、控制系统的微分方程模型1 1、列写微分方程的一般方法、列写微分方程的一般方法 例例：RC无源网络 解：Uc是被控量，Ur是给定量 列出方程组如下：Ur=UC+RII=CRCUcUri例例：列写直流调速系统的微分方程列写直流调速系统的微分方程解：解：输入：输入：Ur Ur 输出：输出：w w列出方程
4、如下：列出方程如下：T Tm m：电动机的时间常数：电动机的时间常数K Kf f：测速机输出电压斜率测速机输出电压斜率K Km m：电动机增益时间常数（电压转速传递函数）：电动机增益时间常数（电压转速传递函数）消去中间变量得消去中间变量得建立系统微分方程模型的一般步骤：建立系统微分方程模型的一般步骤：n根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入，输根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入，输出变量；出变量；n从输入端开始，按照信号的传递顺序，依照各变量从输入端开始，按照信号的传递顺序，依照各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写处在变化（运所遵循的物理（或化学）定律，列写处在变化（运动）过程中的动
5、态方程（一般为微分方程）；动）过程中的动态方程（一般为微分方程）；n消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；n标准化：与输入有关的各项放在等号右侧，与输出标准化：与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数回代为具有一定物理意义的形式。系数回代为具有一定物理意义的形式。nLaplace变换变换 Lf(t)=F(s)从时域从时域复域复域定义：定义：举例：举例：三、控制系统的传递函数模型三、控制系统的传递函数模型拉普拉斯变换基本定理：拉普拉斯变换基本定理：微分定理微分
6、定理：1 1、传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义定义：定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量线性定常系统在零初始条件下，输出量 的拉氏变的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。换与输入量的拉氏变换之比。设初始值uc(0)=02 2零初始条件的含义：零初始条件的含义：输入作用是在输入作用是在t=0 t=0 以后才作用于系统，以后才作用于系统，系统在输入作用前相对静止，系统在输入作用前相对静止，3 3、传递函数的性质：、传递函数的性质：G(S)G(S)取决于系统的结构与参数，与输入量的形式和取决于系统的结构与参数，与输入量的形式和 大小无关大小无关.传递函数分子的阶次一般都小于分母的阶次传递函
7、数分子的阶次一般都小于分母的阶次。传递函数的零、极点传递函数的零、极点 传递函数分子多项式传递函数分子多项式=0=0 的根的根零点零点传递函数分母多项式传递函数分母多项式=0=0 的根的根极点极点 例：系统的闭环传递函数为例：系统的闭环传递函数为 S+2 G（S）=-（S+3）（）（S+1+j）(S+1-j)零点：零点：-2 极点：极点：-3，-1-j,-1+j 3 3、典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数n比例环节比例环节（无惯性环节）（无惯性环节）微分方程：微分方程：XcXc（t t）=k Xr=k Xr（t t）传递函数：传递函数：G G（s s）=k=k 具体对象：比例放大器、具体
8、对象：比例放大器、电位器电位器 积分环节积分环节微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：具体对象：具体对象：a.a.电容电容c c比例积分比例积分(PI(PI调节器调节器 proportionintegral)b b运算放大器电路运算放大器电路微分环节微分环节具体对象：具体对象：a a 电感电感 b.b.理想微分理想微分微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：l一阶惯性环节一阶惯性环节微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：具体对象：具有一个储能元件的电路具体对象：具有一个储能元件的电路一阶微分环节一阶微分环节微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：PDPD调节器调节器(ProportionD
9、ifferential)二阶振荡环节二阶振荡环节微分方程微分方程传递函数传递函数具体对象：具体对象：RLCRLC无源网络无源网络二阶微分环节二阶微分环节微分方程微分方程传递函数传递函数时滞环节时滞环节 微分方程：微分方程：XcXc（t t）=Xr=Xr（t-t-）传递函数：传递函数：G G（s s）=e=e ss 具体对象具体对象:延时环节延时环节建立系统的传递函数：建立系统的传递函数：由系统的微分方程建立由系统的微分方程建立由复阻抗建立由复阻抗建立动态结构图化简动态结构图化简例：列写直流调速系统的传递函数例：列写直流调速系统的传递函数得得有出水口水箱的建模有出水口水箱的建模有出水口水箱的建模
10、有出水口水箱的建模一个实际的例子一个实际的例子无出水口水箱的建模无出水口水箱的建模无出水口水箱的建模无出水口水箱的建模作业作业作业作业1:1:4646页页页页 2-3,2-4(b):2-3,2-4(b):作业作业作业作业2:2:补充题：系统在输入信号补充题：系统在输入信号补充题：系统在输入信号补充题：系统在输入信号作用下作用下作用下作用下,测得响应为测得响应为测得响应为测得响应为,又知系统的初始状态均为零状态又知系统的初始状态均为零状态又知系统的初始状态均为零状态又知系统的初始状态均为零状态,试求系统的试求系统的试求系统的试求系统的传递函数传递函数传递函数传递函数.四、动态结构图四、动态结构图
11、1 1、组成组成 信号线（有方向性）信号线（有方向性）分支点（各处相等）分支点（各处相等）相加点（有加减号）相加点（有加减号）方框方框 （传递函数）（传递函数）例：建立直流调速系统的结构图例：建立直流调速系统的结构图2 2、建立、建立1 1 建立各元部建立各元部 件的微分方程件的微分方程3 3、化简、化简n 串联串联方框的等效方框的等效 证：证：U(S)=G1(S)R(S)C(S)=G2(S)U(S)消去消去U(S)得得C(S)=G1(S)G2(S)R(S)=G(S)R(S)G(S)=G1(S)G2(S)并联并联方框的等效方框的等效证：证：C1(S)=G1(S)R(S)C2(S)=G2(S)R
12、(S)C(S)=C1(S)+C2(S)=G1(S)+G2(S)R(S)=G(S)R(S)G(S)=G1(S)+G2(S)方框方框反馈反馈连接的等效连接的等效证：证：C(S)=G(S)E(S)B(S)=H(S)C(S)E(S)=R(S)-B(S)消去中间变量消去中间变量E(S)和和B(S)，得：，得：C(S)=G(S)R(S)-H(S)C(S)G(s)：主通道的主通道的传递传递函数函数H(s)H(s)：反馈通道的传递函数反馈通道的传递函数整理后得整理后得：G(S)C(S)=R(S)=(S)R(S)1+G(S)H(S)G(S)(S)=1+G(S)H(S)例例1：化简方框：化简方框图图例例2：化简方
13、框图：化简方框图化简复杂图的一般规律化简复杂图的一般规律先化简串、并联及反馈，再移动分支点和相加点先化简串、并联及反馈，再移动分支点和相加点进行合并进行合并（1）（2）化简的原则：不改变系统的传递函数化简的原则：不改变系统的传递函数相加点移动相加点移动规则规则后移后移前移前移相加后输出点信号大小保持不变。相加后输出点信号大小保持不变。分支点移动规则分支点移动规则前向通道传递函数的乘积保持不变。前向通道传递函数的乘积保持不变。前移前移后移后移注意：相临的信号相加点位置可以互换；见下例 同一信号的分支点位置可以互换：见下例 相加点和分支点在一般情况下，不能互换。所以，相加点向相加点移动，分支点向分
14、支点移动。相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。结构图等效变换方法结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2 相邻相加可互换位置相邻相加可互换位置3 相邻分支点可互换位置相邻分支点可互换位置注意事项：注意事项：1 不是典型结构不可直接用公式不是典型结构不可直接用公式2 相加点分支点相邻时相加点分支点相邻时，不可互换位置不可互换位置4 化简的原则：不改变系统的传递函数化简的原则：不改变系统的传递函数例：化简方框图例：化简方框图4 4框框图变换图变换此例此例说说明交叉点左右移明交叉点左右移动对传递动对传递函数的影响，函数的影响，跨越求和点要注意。跨越求和点要注意。交
15、叉交叉反馈反馈2 21 1顺馈顺馈的例子：的例子：变换框图：变换框图：+也可把它看成是也可把它看成是双双输输入入系系统统五、自动控制系统的传递函数五、自动控制系统的传递函数(掌握）掌握）闭环控制系统的典型结构闭环控制系统的典型结构1 1、系统的开环传递函数、系统的开环传递函数GK(S)=G1(S)G2(S)H(S)系统的开环传递函数系统的开环传递函数 开环系统的传递函数开环系统的传递函数。2 2、r(t)r(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数令令n(t)=0CR(S)G1(S)G2(S)(S)=R(S)1+G1(S)G2(S)H(S)3 3、n(t)n(t)作用下系统的闭环传
16、递函数作用下系统的闭环传递函数令令r(t)=0CN(S)G2(S)N(S)=N(S)1+G1(S)G2(S)H(S)系统的总输出系统的总输出C(S)=CR(S)+CN(S)G1(S)G2(S)R(S)G2(S)N(S)=+1+G1(S)G2(S)H(S)1+G1(S)G2(S)H(S)例例:有有扰动输扰动输入的情况入的情况c)为为使使y不受不受扰动扰动f的影响的影响应应如何如何选选？a)求求（f=0）b)求求（r=0）a)求求（f=0）b)求求（r=0）当当 即即y不受不受f影响影响c)为为使使y不受不受扰动扰动f的影响的影响应应如何如何选选？闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 系统
17、的误差系统的误差：e(t)=r(t)b(t)E(S)=R(S)B(S)4 4、r(t)r(t)作用下系统的误差传递函数作用下系统的误差传递函数令令n(t)=0Er(s)1 er(S)=R(s)1+G1(S)G2(S)H(S)5 5、n n（t t）作用下系统的误差传递函数）作用下系统的误差传递函数令令r（t）=0En(s)G2(S)H(S)en(S)=N(s)1+G1(S)G2(S)H(S)系统的总误差系统的总误差E(S)=r(S)R(S)+n(S)N(S)R(S)G2(S)H(S)N(S)=1+G1(S)G2(S)H(S)特点：传递函数的特点：传递函数的分母均相同分母均相同（D(s)=1+G
18、D(s)=1+Gk k(s)(s)特征多项式，特征方程，特征根）特征多项式，特征方程，特征根）Matlab中系统数学模型的表示、转换中系统数学模型的表示、转换1、传递函数模型、传递函数模型num=2536（多项式分子）（多项式分子）numeratornum=2536den=16116;（多项式分母）（多项式分母）denominatorsys=tf(num,den);sysTransferfunction:2s3+5s2+3s+6-s3+6s2+11s+62、零极点模型、零极点模型z=-1,-2；（零点）（零点）zero p=-1+i,-1-i,-3;（极点）（极点）polek=2;sys=zp
19、k(z,p,k)Zero/pole/gain:2(s+1)(s+2)-(s+3)(s2+2s+2)3.传递函数到零极点传递函数到零极点r,p,k=tf2zp(num,den)num=2,5,3,6;num=2,5,3,6;den=1,6,11,6den=1,6,11,6z,p,k=tf2zp(num,den)z,p,k=tf2zp(num,den)z=z=-2.3965-2.3965-0.0518+1.1177i-0.0518+1.1177i-0.0518-1.1177i-0.0518-1.1177ip=p=-3.0000-3.0000-2.0000-2.0000-1.0000-1.0000k
20、=k=22num,den=zp2tf(z,p,k);printsys(num,den)num/den=4s2+16s+12-s4+12s3+44s2+48s4.由零极点到传递函数由零极点到传递函数z=-1,-2；p=-1+i,-1-i,-3;k=2;num=2536（多项式分子）（多项式分子）numeratornum=2536den=16116;（多项式分母）（多项式分母）denominatorr,p,k=residue(num,den)（残余，残数）（残余，残数）r=-6.0000-4.00003.0000p=-3.0000-2.0000-1.0000k=25用用Matlab进行部分分式展开
21、进行部分分式展开留数留数极点极点余项余项6由部分分式返回到多项式由部分分式返回到多项式num,den=residue(r,p,k);printsys(num,den)num/den=2s3+5s2+3s+6-s3+6s2+11s+67.系统的串联、并联及反馈系统的串联、并联及反馈sys=series(sys1,sys2);sys=parallel(sys1,sys2);sys=feedback(sys1,sys2,sign)sign反馈的符号，负反馈时可缺省，正反馈时为反馈的符号，负反馈时可缺省，正反馈时为+1num1=1,2;den1=1,2,3;sys1=tf(num1,den1);num
22、1=1,2;den1=1,2,3;sys1=tf(num1,den1);num2=2,3;den2=1,3,4;sys2=tf(num2,den2);num2=2,3;den2=1,3,4;sys2=tf(num2,den2);num3=1,4;den3=4,5,6;sys3=tf(num3,den3);num3=1,4;den3=4,5,6;sys3=tf(num3,den3);sys=series(sys1,sys2,sys3)sys=series(sys1,sys2,sys3)?Errorusing=lti/series?Errorusing=lti/seriesWrongnumbero
23、farguments(mustbe2or4).Wrongnumberofarguments(mustbe2or4).sys4=series(sys1,sys2);sys4=series(sys1,sys2);sys=series(sys3,sys4)sys=series(sys3,sys4)Transferfunction:Transferfunction:2s3+15s2+34s+242s3+15s2+34s+24-4s6+25s5+83s4+163s3+211s2+162s+4s6+25s5+83s4+163s3+211s2+162s+7272sys=feedback(sys1,sys2)
24、sys=feedback(sys1,sys2)Transferfunction:Transferfunction:s3+5s2+10s+8s3+5s2+10s+8-s4+5s3+15s2+24s+18s4+5s3+15s2+24s+18sys=feedback(sys1,sys2,+1)sys=feedback(sys1,sys2,+1)Transferfunction:Transferfunction:s3+5s2+10s+8s3+5s2+10s+8-s4+5s3+11s2+10s+6s4+5s3+11s2+10s+6作业作业作业作业:2-5,2-6,2-13(b,c)2-5,2-6,2-13(b,c)