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1、1.4电力线和电通量、高斯定律电力线和电通量、高斯定律1.5利用高斯定律求静电场的分布利用高斯定律求静电场的分布例一例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例三、均匀带电的球体内外的场强分布例三、均匀带电的球体内外的场强分布例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。目录目录
2、1.4电力线和电通量电力线和电通量 正确的选择正确的选择 可以使数密度等于场强。可以使数密度等于场强。1定义：定义：一、电力线一、电力线(electric line of force)电力线上各点的电力线上各点的切线方向切线方向表表示电场中示电场中该点场强的方向该点场强的方向，在垂直于电力线的单位面积在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数（上的电力线的条数（数密度数密度)等于该点的等于该点的场强的大小场强的大小。2 电力线的性质：电力线的性质：电力线不会中断。电力线不会中断。电力线不会相交。（单值）电力线不会相交。（单值）电力线不会形成闭合曲线，电力线不会形成闭合曲线，它起始于正电荷终止于负
3、电荷。它起始于正电荷终止于负电荷。1 定义定义二、电通量二、电通量通过任一面元的电力线通过任一面元的电力线的条数称为通过这一面的条数称为通过这一面元的元的电通量电通量。（类比于。（类比于流速场的定义）。流速场的定义）。面元在垂直于场强方向的投影是面元在垂直于场强方向的投影是 ，是面元是面元 的法线方向，的法线方向，是场强是场强 的方向与面元的方向与面元 法向法向 的夹角。所以的夹角。所以 定义：定义：矢量面元矢量面元大小等于面元的面积，方向取其法线方向。大小等于面元的面积，方向取其法线方向。因此电通量：因此电通量：所以通过它的电通量等于面元所以通过它的电通量等于面元 的电通量的电通量,又因又因
4、通过任一曲面通过任一曲面S的电通量：的电通量：2 方向的规定方向的规定：闭合曲面外法线方向闭合曲面外法线方向(自内向外自内向外)为正。为正。非闭合曲面的边界绕行非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则方向与法向成右手螺旋法则三、静电场的高斯定律三、静电场的高斯定律Gauss theorem表表述述：静电场中任何一闭合曲面静电场中任何一闭合曲面 S的电通量的电通量 ，等于，等于该曲面所包围的电荷的代数和的该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。分之一倍。数学表达式数学表达式证明：可用库仑定律和叠加原理证明。1 证明包围点电荷证明包围点电荷 的同心球面的同心球面 的电通量的电通量 等于等于 球
5、面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。此结果与球面的半径无关。换句话说，此结果与球面的半径无关。换句话说，通过各球面的电力线总条数相等。通过各球面的电力线总条数相等。从从 发出的电力线连续的延伸到无穷远。发出的电力线连续的延伸到无穷远。2 证明包围点电荷证明包围点电荷 的任一闭合曲面的任一闭合曲面 的的 电通量电通量 等于等于 立体角立体角solid angle 立体角立体角实际上因为电力线不会中断（连续性），所以实际上因为电力线不会中断（连续性），所以通过闭合曲面通过闭合曲面 和和 的电力线数目是相等的。的电力线数目是相等的。可以证明，略。由于由于电力线的连续性
6、电力线的连续性可知，可知，穿入与穿出任一闭合曲面穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电当闭合曲面无电荷时，电通量为零。通量为零。3 证明不包围点电荷的任一闭合曲面证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的的 电通量恒等于零。电通量恒等于零。4证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和。电通量的代数和。利用利用场强叠加原理场强叠加原理可证。可证。两两点点说说明明：高斯定律中的场强高斯定律中的场强 是由是由全部电荷全部电荷产生的。产生的。通过闭合曲面的通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电通量只
7、决定于它所包含的 电荷电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。高斯定律的用途高斯定律的用途：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。的电荷、电位分布。开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反
8、比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。客观规律。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效。而高斯定律仍然有效。1.5利用高斯定律求静电场的分布利用高斯定律求静电场的分布中的中的 能以标量能以标量当当场源电荷分布具有某种对称性时场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的应用高斯定律，选取适当的高斯面高斯面，使面积分使面积分形式提出来，即可求出场强。形式提出来，即可求出场强。均匀带电球壳均匀带
9、电球壳均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板均匀带电细棒均匀带电细棒S 例一例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律 由对称性可知场强的方向在径向。由对称性可知场强的方向在径向。若将另一点电荷若将另一点电荷 放在离放在离 为为 远的远的地方地方,则由场强定义可求出则由场强定义可求出 受到的力受到的力:点电荷的场具有一点电荷为中心的球对称性，固选以点点电荷的场具有一点电荷为中心的球对称性，固选以点电荷为球心，电荷为球心，任一长度任一长度 r为半径的球面为高斯面。则有：为半径的球面为高斯面。则有：例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例二、均匀带电的球
10、壳内外的场强分布。设球壳半径为设球壳半径为 R，所带总电量为所带总电量为 Q。解：解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。场源的对称性决定着场强分布的对称性。它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。当当 高斯面内电荷为高斯面内电荷为Q，所以所以当当 高斯面内电荷为高斯面内电荷为 0QK_1高斯面高斯面高斯面高斯面均匀带电球壳均匀带电球壳结果表明：结果表明：QK_1均匀带电球壳外的场强均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷分布正象球面上的电荷都
11、集中在球心时所形成都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的分布一样。在球面内的场强均为零。场强均为零。例三、均匀带电的球体内外的场强分布。例三、均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为设球体半径为R，所带总带电为所带总带电为Q解：它具有与场源同心的球对称性。解：它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高斯面。固选取同心的球面为高斯面。例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。设线电荷密度为设线电荷密度为该电场分布具有轴对称性。该电场分布具有轴对称性。距离导线距离导线 r 处一点处一点 p 点的场强方向点的场强方向
12、一定垂直于带电直导线沿径向，并一定垂直于带电直导线沿径向，并且和且和 P点在同一圆柱面（以带电直点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都导线为轴）上的各点场强大小也都相等，都沿径向。相等，都沿径向。以带电直导线为轴，作一个通过以带电直导线为轴，作一个通过P点，点，高为高为 的圆筒形封闭面为高斯面的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过通过S面的电通量为圆柱侧面和上下面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量。底面三部分的通量。S 因上、下底面的场强方向与面平行，因上、下底面的场强方向与面平行，其电通量为零。即式中后两项为零。其电通量为零。即式中后两项为零。此闭合面包含的电荷总量此闭合面包
13、含的电荷总量其方向沿求场点到直导线的垂线其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。方向。正负由电荷的符号决定。S 解：由于电荷分布对于求场点解：由于电荷分布对于求场点 p到平面的垂线到平面的垂线 op 是对称的，是对称的，所以所以 p 点的场强必然垂直于该点的场强必然垂直于该平面。平面。又因电荷均匀分布在无限大的平面上，又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，垂直于平面，当当 场强指离平面。场强指离平面。当当 场强方向指向平面。场强方向指向平面。例
14、五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷密度为设面电荷密度为选一其轴垂直于带电平面的选一其轴垂直于带电平面的圆筒圆筒式封闭面作为高斯面式封闭面作为高斯面 S，带电平带电平面平分此圆筒，场点面平分此圆筒，场点 p位于它的位于它的一个底面上。由于圆筒侧面上各一个底面上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。均为穿出。场强方向垂直于带电平面。场强方向垂直于带电平面。场强方向指离平面场强方向指离平面;场强方
15、向指向平面。场强方向指向平面。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设面电荷密度分别为设面电荷密度分别为 和和 解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，定律求出，然后再用叠加原理然后再用叠加原理求两个带电平面产生求两个带电平面产生的总场强。的总场强。需需注意方向注意方向。作业：作业：直流电路中的平行板电容器间的场强，直流电路中的平行板电容器间的场强，就是这种情况。就是这种情况。由图可知，在由图可知
16、，在A 区和区和B区场强均为零。区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。带负电的平板。场强大小为一个带电场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。平板产生的场强的两倍。1.4电力线和电通量、高斯定律电力线和电通量、高斯定律1.5利用高斯定律求静电场的分布利用高斯定律求静电场的分布例一例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例三、均匀带电的球体内外的场强分布例三、均匀带电的球体内外的场强分布例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。目录目录