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1、 第第8章章 重积分重积分 一、内容提要一、内容提要 （一）主要定义（一）主要定义 1.f(x,y)是定义在是定义在 xOy面上有界闭区域面上有界闭区域D上的有界上的有界函数，如果极限函数，如果极限极限式中极限式中 i 为将为将D任意分成任意分成n个小区域中第个小区域中第i个小区域个小区域的面积，点的面积，点(i,i)为第为第i个小区域上任取的一点，个小区域上任取的一点，为为n个小区域个小区域 i(i=1,2,3,)中的最大直径中的最大直径.存在，称此极限为存在，称此极限为 f(x,y)在在D上的二重积分，记作上的二重积分，记作 （二）主要结论（二）主要结论 2.f(x,y,z)是定义在空间有
2、界闭区域是定义在空间有界闭区域 上的有界函上的有界函数，如果极限数，如果极限存在，称此极限为存在，称此极限为f(x,y,z)在在 上的三重积分，记作上的三重积分，记作 1.f，g在在D上可积，则二重积分有如下性质：上可积，则二重积分有如下性质：其中其中M,m分别是分别是 f(x,y)在在D上的最大与最小值上的最大与最小值,A是是D的面积的面积注注：三重积分有与之完全平行的性质：三重积分有与之完全平行的性质 2.化重积分为累次积分计算公式：化重积分为累次积分计算公式：（1）二重积分）二重积分 当当 f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续时，有上连续时，有 (7)(二重积分中值定理二重积分中
3、值定理)设设 f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上上连续连续,则至少存在一点则至少存在一点(,)D,使使（2）三重积分）三重积分 当当 f(x,y,z)在有界闭区域在有界闭区域 上连续时上连续时 D为为 在在xOy面上的投影区域，以面上的投影区域，以D的边界为准线的边界为准线作母线平行于作母线平行于z轴的柱面，将轴的柱面，将 的边界曲面分成上、下的边界曲面分成上、下两部分两部分 3.重积分的应用重积分的应用(1)空间立体的体积空间立体的体积:其中其中是该立体所占有的空间区域是该立体所占有的空间区域 设设V是以连续曲面是以连续曲面z=f(x,y)(f(x,y)0)为顶为顶,以以xOy面上区域
4、面上区域D为底的曲顶柱体的体积，则有为底的曲顶柱体的体积，则有(2)曲面面积曲面面积设光滑曲面设光滑曲面的方程为的方程为z=z(x,y)，则，则的面积的面积A为为其中其中Dxy,Dyz,Dzx分别是分别是在在xOy,yOz,zOx平面上的平面上的投影区域投影区域若曲面若曲面的方程为的方程为x=x(y,z)，则，则若曲面若曲面的方程为的方程为y=y(z,x)，则，则(3)质量质量(4)重心重心平面薄板和空间立体的重心坐标平面薄板和空间立体的重心坐标 平面薄板的重心坐标为平面薄板的重心坐标为:设平面薄板和空间立体所占有的区域分别为设平面薄板和空间立体所占有的区域分别为D和和,其密度分别为其密度分别
5、为 =(x,y)和和 =(x,y,z),则它们的质则它们的质量分别为量分别为 空间立体的重心坐标为空间立体的重心坐标为:(5)转动惯量：转动惯量：平面薄板的转动惯量：平面薄板的转动惯量：空间立体的转动惯量：空间立体的转动惯量：(6)引力：引力：(以三重积分为例以三重积分为例)质量为质量为m的质点位于的质点位于P0(x0,y0,z0)处，物体占有空间处，物体占有空间,其密度为其密度为 (x,y,z)，设物体对质点的引力为，设物体对质点的引力为k为引力常数为引力常数（三）结论补充（三）结论补充 1.连续函数连续函数z=f(x,y)关于关于y为奇函数为奇函数,积分域积分域D关关于于x轴对称，则有轴对
6、称，则有 2.连续函数连续函数z=f(x,y)关于关于y为偶函数为偶函数,积分域积分域D关关于于x轴对称轴对称,D1 表示表示D的位于的位于x 轴上方的部分轴上方的部分,则有则有 3.连续函数连续函数u=f(x,y,z)关于关于z为奇函数为奇函数,积分域积分域关关于于xOy面对称面对称,则有则有 4.连续函数连续函数u=f(x,y,z)关于关于z为偶函数为偶函数,积分域积分域 关于关于xOy面对称面对称,1 表示表示的位于的位于xOy面上方部分面上方部分,则有则有 5.二重积分一般坐标替换公式：二重积分一般坐标替换公式：6.三重积分一般坐标替换公式：三重积分一般坐标替换公式：8.设设z=f(x
7、,y)在平面有界闭区域在平面有界闭区域D上连续，上连续，D关关于直线于直线 y=x 对称，则对称，则二、归类解析二、归类解析（一）二重积分（一）二重积分 1.直角坐标直角坐标例例8-1例例8-2例例8-3例例8-4例例8-5例例8-6例例8-7例例8-8例例8-9例例8-10例例8-112.2.极坐标极坐标:例例8-12例例8-13例例8-14例例8-15例例8-16（二）三重积分（二）三重积分 1.直角坐标直角坐标例例8-17例例8-18例例8-19例例8-20例例8-2-21例例8-22例例8-232.柱坐标柱坐标例例8-24例例8-25例例8-263.球坐标球坐标例例8-27例例8-28
8、例例8-29例例8-30例例8-31例例8-321.二重积分二重积分（三）重积分应用（三）重积分应用 例例8-33例例8-34例例8-352.三重积分三重积分（四）综合问题（四）综合问题 例例8-36例例8-37例例8-38例例8-39例例8-40例例8-41三、同步测试三、同步测试 测试测试8-1 (一一)、填空题（、填空题（3分分4=12分）分）(二二)、选择题（、选择题（4分分3=12分）分）答案：答案：C答案：答案：A答案：答案：B(三三)、计算题（、计算题（7分分5=35分）分）(四四)、综合题（、综合题（9分分4=36分）分）(五五)、证明题（、证明题（5分）分）测试测试8-2 (一一)、填空题（、填空题（3分分4=12分）分）(二二)、选择题（、选择题（4分分3=12分）分）答案：答案：B答案：答案：C答案：答案：A(三三)、计算题（、计算题（7分分5=35分）分）(四四)、综合题（、综合题（9分分4=36分）分）五、证明题（五、证明题（5分）分）4828y=8y=xx=2y=x2oxyoxyy=xy2=xoxyy=x42112