定积分的性质.ppt

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1、4 4 定积分的性质定积分的性质 一、定积分的基本性质一、定积分的基本性质 性质性质1 1 若若f在在 a,b 上可积，上可积，k为常数，则为常数，则kf在在 a,b 上也可积，且上也可积，且证证 当当k=0=0时结论显然成立时结论显然成立.（1 1）当当 时时,由于由于首页首页 由由定义定义,即即kf在在a,b上可积，且上可积，且从而从而 其中其中 因此当因此当f在在 a,b 上可积时上可积时,任给任给 首页首页 合合起来即为起来即为 若若fg都在都在a,b可积，可积，则则f在在 a,b 上上也可积，且也可积，且 证明与性质类同证明与性质类同.注注1 1 性质与性质是定积分的线性性质，性质与

2、性质是定积分的线性性质，其中其中 、为常数为常数.性质性质 首页首页 则另外一个在则另外一个在 a,b 上可积上可积.注注2 2 在在f，g，h=f+g(或或f-g)三个函数中，三个函数中，只要有任意两个在只要有任意两个在 a,b 上可积，上可积，在在f，g，h=f+g(或或f-g)三个函数中，三个函数中，只要有只要有一一个个在在 a,b 上可积，一个在上可积，一个在 a,b 上不可积，上不可积，则另则另外外一一个在个在 a,b 上必不可积上必不可积.性质性质 若若f g都在都在a,b上可积，上可积，则则f g在在a,b上也可积上也可积.首页首页 对于对于 a,b 上上T 所属的每一所属的每一

3、个个 令令 （表示把（表示把 的所有分割点合并的所有分割点合并而成的一个新的分割而成的一个新的分割T）.有有 且且，（否则（否则f、g中至少有一个恒为零值中至少有一个恒为零值函数，函数，由由f、g都在都在a,b上可积，从而都有界，上可积，从而都有界，于是于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）亦为零值函数，结论显然成立）.设设任给由任给由f、g可积，必分别存在分割可积，必分别存在分割 、，使，使得得证证 首页首页利用利用3 3习题第习题第1 1题，可知题，可知 这就证得这就证得f g在在 a,b 上可积上可积.首页首页思考思考 有没有相除后可积的性质？有没有相除后可积的性质？若若f g都在都在a

4、,b上可积，上可积，|f(x)|)|m0,0,x a,b,f在在 a,c 与与 c,b 上都可积上都可积，此时又有等式此时又有等式 注注 在一般情形下在一般情形下则则 在在 a,b 上可积上可积.事实上，由条件可证事实上，由条件可证 在在 a,b 上可积上可积(本节习本节习 题第题第7 7题题).).再由性质再由性质3 3知知 在在 a,b 上可积上可积.性质性质4 4 f在在 a,b 上可积的充要条件是：任给上可积的充要条件是：任给 ，（3 3）首页首页给给 分别存在对分别存在对 a,c 与与 c,b 的分的分割割 ，充分性充分性 由于由于f在在 a,c 与与 c,b 上都可积，故任上都可积

5、，故任 使得使得 由此证得由此证得f在在 a,b 上可积上可积.现令现令 它是它是 a,b 的一个分割的一个分割,且有且有证证 首页首页 存在对存在对 a,b 的某分割的某分割T,使得使得 在在T上再增加一个分点上再增加一个分点C,和和 c,b 的分割的分割,记为记为 和和 ,则有则有得到一个新的分割得到一个新的分割 由由3 3习题第习题第1 1题题,又有又有这就证得这就证得f在在 a,b 和和 b,c 上都可积上都可积.已知已知f在在 a,b 上可积上可积,故任给故任给分割分割 在在 a,c 和和 c,b 上的部分上的部分,分别构成对分别构成对 a,c 必要性必要性 首页首页因此当因此当 （

6、同时有（同时有 ）时）时,在证得上面结果的基础上最后来证明等式在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).(3).为此对为此对 a,b 作分割作分割T,恒使点恒使点C为其中的一个分点为其中的一个分点,这时这时T在在 a,c 与与 c,b 上的部分各自构成对上的部分各自构成对 a,c 与与 对上式取极限对上式取极限,就得到就得到(3)(3)式成立式成立.c,b 的分割的分割,分别记为分别记为 由于由于首页首页当当 时时,(3),(3)式的几何意义就是曲边梯形式的几何意义就是曲边梯形面面积的可加性积的可加性.注注 性质性质4 4及公式及公式(3)(3)称为称为关于积分区间的可加性关于积分区间的可加

7、性.如图如图9-109-10所示所示,曲边梯形曲边梯形AabB的面积的面积等于曲边梯形等于曲边梯形AacC的面积与的面积与CcbB的面积之和的面积之和.首页首页大小顺序都能成立大小顺序都能成立.例如，当例如，当 abc时，只要时，只要f在在 时才有意义时才有意义,而当而当a=b或或 ab时本来是没有意义的时本来是没有意义的.但为了运用上的方便但为了运用上的方便,对它作如下规定对它作如下规定:有了这个规定之后，等式（有了这个规定之后，等式（3 3）对于）对于a、b、c的任何的任何 a，c 上可积，则有上可积，则有 按定积分的定义按定积分的定义,记号记号 只有当只有当ab 规定规定1 1 当当a=

8、b时，令时，令 规定规定2 2 当当ab时时,令令首页首页和都为非负和都为非负.由由f 在在 a,b 上可积，则有上可积，则有 则则性质性质5 5 设设f为为 a,b 上的可积函数上的可积函数.若若（4 4）证证 由于在由于在 a,b 上上 ，因此，因此f 的任一积分的任一积分 首页首页推论推论（积分不等式性）若（积分不等式性）若f与与g为为 a，b 上的两上的两 知道知道F在在 a,b 上可积，且由性质上可积，且由性质5 5推得推得不等式（不等式（5 5）得证）得证.个可积函数，且个可积函数，且 ，则有，则有（5 5）证证 令令 ，由性质，由性质2 2首页首页从而证得在从而证得在 a,b 可

9、积可积.（推论），即证得不等式（推论），即证得不等式（6 6）成立）成立.性质性质6 6 若若f在在 a，b 上可积，则上可积，则 在在 a，b 上上 也可积，且也可积，且（6 6）某分割某分割T，使得，使得 由绝对值不等式由绝对值不等式 可得知可得知 于是有于是有再由不等式再由不等式 应用性质应用性质5 5 证证 由于由于f在在 a,b 上可积，故任给上可积，故任给 ，存在，存在 首页首页注注 这个性质的逆命题一般不成立，例如这个性质的逆命题一般不成立，例如在在0,10,1上不可积（类似于狄利克雷函数）；但上不可积（类似于狄利克雷函数）；但它在它在00，11上可积上可积.首页首页 例例1 1

10、 求求 其中其中 解解 对于分段函数的定积分，通常利用积分对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，区间可加性来计算，首页首页改为由改为由3 3习题第习题第3 3题知道这一改动并不影响题知道这一改动并不影响f在在-1-1，00上的可积性和定积分的值上的可积性和定积分的值.注注2 2 如果要求直接在如果要求直接在-1-1，11上使用牛顿一菜布上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算尼茨公式来计算这时这时F(x)应取怎样的函数？应取怎样的函数？注注1 1 上述解法中取上述解法中取 其中其中被积函数在被积函数在x=0处的值已由原来的处的值已由原来的 读者可对照读者可对照2 2习题第习题第3 3题题来

11、回答来回答.首页首页 则为则为右邻域或左邻域），右邻域或左邻域），例例2 2 证明证明:若若f在在 a,b 上连续，且上连续，且则由连续函数的局部保号性，存在则由连续函数的局部保号性，存在x0的某邻域的某邻域使在其中由性质使在其中由性质4 4和性质和性质5 5推知推知 证证 用反证法用反证法.倘若有某倘若有某x0 0a,b 使使或或 时，时，（当（当首页首页注注 从此例证明中看到，即使从此例证明中看到，即使f 为一非负可积函数，为一非负可积函数，个较难证明的命题，读者可参阅个较难证明的命题，读者可参阅6 6习题第习题第7 7题题.）这与假设这与假设 相矛盾相矛盾.所以所以（至于可积函数必有连续

12、点，这是一（至于可积函数必有连续点，这是一 只要它在某一点只要它在某一点 处连续，且处连续，且 则必有则必有首页首页一、积分中值定理一、积分中值定理 定理定理9.79.7 （积分第一中值定理积分第一中值定理）证证 由于由于f在在 a,b 上连续，因此存在最大值上连续，因此存在最大值M和和则至少存在一点则至少存在一点 ，使得，使得（7 7）最小值最小值m.由由 ,使用积分不使用积分不等式性质得到等式性质得到 或或若若f在在 a,b 上连续，上连续，首页首页使得使得这就证得（这就证得（7 7）式成立）式成立.积分第一中值定理的几何意义积分第一中值定理的几何意义 若若f在在 a,b 上非负连续，则上

13、非负连续，则y=f(x)在在 a,b 上的上的 再由连续函数的介值性，至少存在一点再由连续函数的介值性，至少存在一点如图如图9 9 1111所示，所示，曲边梯形面积等于以（曲边梯形面积等于以（）所示的）所示的 为高，为高，a,b 曲边梯形面积等于以（曲边梯形面积等于以（）所示的）所示的 为高，为高，a,b 首页首页注注 把定理中把定理中f在在 a,b 上连续，减弱为上连续，减弱为f在在 a,b 定理结论为：定理结论为：若若f在在 a,b 上可积，上可积，则存在则存在 使使个数的算术平均值的推广个数的算术平均值的推广.在区间在区间 a,b 上所有函数值的平均值上所有函数值的平均值.为底的矩形面积

14、为底的矩形面积.而而 则可理解为则可理解为这是通常有限这是通常有限 上可积上可积.首页首页性质性质7 7中的中的f()()与这里的与这里的 都可看作函数都可看作函数从而有从而有事实上，由事实上，由 ，有，有令令 ，则，则且且 .在区间在区间 a,b 上所有函数值的平均值上所有函数值的平均值.首页首页解解 所求平均值为所求平均值为定理定理9.89.8（推广的积分第一中值定理）若（推广的积分第一中值定理）若f与与g都在都在 a,b 上连续，且上连续，且g(x)在在 a,b 上不变号，则至少存在上不变号，则至少存在一点一点a,b，使得，使得（当（当g(x)=1)=1时，即为定理时，即为定理9.7.9

15、.7.）例例3 3 试求试求 在在 0，上的平均值上的平均值.（8 8）首页首页证证 不妨设不妨设g(x)0)0，xa,b，这时有，这时有其中其中M、m分别为分别为f在在 a,b 上的最大、最小值上的最大、最小值.由定由定积分的不等式性质，得到积分的不等式性质，得到对任何对任何a,b，（，（8 8）式都成立）式都成立.由连续函数的介值性，必至少有一点由连续函数的介值性，必至少有一点a,b，使，使若若 则由上式知则由上式知 从而从而若若 则得则得得得 这就证得（这就证得（8 8）式成立）式成立.首页首页注注1 1 类似于定理类似于定理9.79.7的注，本定理的结论亦可推广的注，本定理的结论亦可推广.注注2 2 事实上，定理事实上，定理9.79.7和定理和定理9.89.8中的中值点中的中值点但这并不排除中值点同时能在端点但这并不排除中值点同时能在端点a或或b取得，取得，因为中因为中值点可以是不唯一的值点可以是不唯一的.积分第二中值定理将积分第二中值定理将在下一节里在下一节里给出给出.其结论见其结论见 第第9 9题题.必能在开区间必能在开区间(a,b)内取得内取得(证明留作习题证明留作习题 第第8 8题题),),首页首页