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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.二、复合函数的全微分 返回返回返回返回一、复合函数的求导法则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、复合函数的求导法则 设设函数函数(1)定定义义在在 平面的区域平面的区域 D 上上,函数函数 (2)定定义义在在 xy 平面的区域平面的区域 上上.若若则则可构成可构成复合函数复合函数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (3)其中其中(1)为为内函数内函数,(2
2、)为为外函数外函数,(x,y)为为中中间变间变量量,(s,t)为为自自变变量量.下面将讨论复合函数下面将讨论复合函数 F 的可微性的可微性,并导出并导出 F 的偏导的偏导 数与全微分的复合运算法则数与全微分的复合运算法则.定理定理17.5 若若在点在点可可微，微，在点在点可微可微,则则 关于关于 s 与与 t 的偏导数分别为的偏导数分别为 复合函数复合函数在点在点可微，且可微，且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(4)是是(6)证证 由假设由假设 在点在点 可微可微,于于(5)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (7)现把现把(5),(6)两式代入两式代入(7)式
3、，得到式，得到 其中其中 时时又由又由在点在点可微可微,故有故有 其中其中 时，时，并可补充并可补充 定义定义:当当时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页整理后又得整理后又得 其中其中(8)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式(4)从而也有从而也有 以及以及 于是在于是在(9),(10)两式中两式中,当当 时时,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页公式公式(4)也称为也称为链式法则链式法则 能轻易省略的能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成否则上述复合求导公式就不一定成 立例如
4、立例如 注注 如果只是求复合函数如果只是求复合函数关于关于 s 或或 t 的偏导数的偏导数,则上述定理中则上述定理中 只只须具有关于须具有关于 s 或或 t 的偏导数就够了的偏导数就够了.因为以因为以 或或除除(7)式两边式两边,然后让然后让或或也能得也能得 到相应的结果到相应的结果.但是对外函数但是对外函数 的可微性假设是不的可微性假设是不 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为内函数，则得到以为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 由由 1 习题习题 6 已知已知 但但 在点在点(0,0)不可微不可微.若以若以为外函数为外函数,返回返回返回返回后页后页后页
5、后页前页前页前页前页这说这说明：在使用明：在使用链链式法式法则时则时，必，必须须注意外函数可微注意外函数可微 这个条件这个条件.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 所所讨论讨论的复合函数以的复合函数以(u,v)为为中中间变间变量量,(x,y)为为 自变量自变量,并满足定理并满足定理 17.5 的条件的条件.故由故由 关于自变量关于自变量 的偏导数为的偏导数为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据公式根据公式(4)得到得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 因此有因此有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是 返回返回返回
6、返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 复合后仅是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数于是的一元函数于是例例3 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数(这种导数又称为这种导数又称为“全导数全导数”);求偏导数二者所用的符号必须有所区别求偏导数二者所用的符号必须有所区别 例例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:注注 上面第一个等式中，左边的上面第一个等式中，左边的 是作为一元函数是作为一元函数右边的右边的 是外函数是外函数(作为作为 u,v,t 的三元函数的三元函数)对对 t 返回返回返回返回后
7、页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可见，以前用由此可见，以前用“对数求导法对数求导法”求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算如今可用多元复合函数的链式法则来计算.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 令令由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页而实用的写法而实用的写法(省去了引入中间变量省去了引入中间变量):说说明明 上面的解法是通上面的解法是通过过引引进进中中间变间变量量 后后,借借 助链式法则而求得的助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁上述过程还有一
8、种比较简洁 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证明证明:在极坐标系里在极坐标系里 只是只是的函数的函数为此设为此设证证 本题即是要证明本题即是要证明:经经极坐标变换后，极坐标变换后，满足满足 例例6 设在设在 上的可微函数上的可微函数 满足方程满足方程 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是是 的函数的函数 从而从而 在在上的上的极坐标系里与极坐标系里与无关无关,于是于是 只只 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、复合函数的全微分 分为分为(11)如果如果 作为中间变量作为中间变量,又是自变量又是自变量 的可微函数的可微函数 则由定理则由定理17.5
9、知道知道,复合函数复合函数 是是 可微的可微的,其全微分为其全微分为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将将(13)式代入式代入(12)式式,得到与得到与(11)式完全相同的结式完全相同的结 果果,这就是多元函数的这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数能更有条理地计算复合函数 的全微分的全微分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此 并由此得到并由此得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一 个结果个结果:数与指数函数求导数而得到的数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然有人认为这是偶然 的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一 种看法是正确的？请说出依据种看法是正确的？请说出依据 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的复合函数的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法写法:试问这个写法有何不妥？怎样纠正？试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的设由可微的 得得