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1、12机动 目录 上页 下页 返回 结束 精确值是V,近似值是|dV|.用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m,宽4m,高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值.解解:设体积为V(m3),长宽高各为x,y,z(m),第1页/共49页注意注意:正确使用各种记号正确使用各种记号.机动 目录 上页 下页 返回 结束 取值,1.求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些否则应用记号2.表示z对 的导数.就可以用dz等表示全微分.第2页/共49页 第八章 第五节第五节复合函数和隐函数微分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一.复合函数微分法二.隐函数微分法第3页/共49页本节的教学要求本节的
2、教学要求熟练掌握多元复合函数微分法多元复合函数微分法了解全微分形式不变性掌握多元隐函数微分法多元隐函数微分法重点机动 目录 上页 下页 返回 结束 难点第4页/共49页(一一)复合函数的微分复合函数的微分法法设是x,y的复合函数.则这是函数和中间变量均是二元函数的一般情况,它的结构图或变量关系图是:可看成是由机动 目录 上页 下页 返回 结束 如如函数复合而成.和注意注意:画出函数结构图对于多元复合函数求导很有帮助.因变量自变量第5页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数 且在对应于(x,y)的则复合函数 在点(x,y)对x及y的偏导数存在,函数定理定理8.3 的偏导数都存在,
3、点(u,v)处,可微,且多元复合函数求导法则也称为链式法则链式法则.第6页/共49页特别地,如果 这时,z对x 的导数称为全导数全导数,即 如果 的全导数为 则z就是x的一元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则函数第7页/共49页例例1 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:而第8页/共49页例例2 设的偏导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:求则可得第9页/共49页例例3 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:而第10页/共49页课堂练习课堂练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.解解:求第11页/共49页2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解解:第12页
4、/共49页例例4机动 目录 上页 下页 返回 结束 设其中具有二阶连续偏导数，求解:注意注意:认为抽象函数的偏导数的结构同原函数的结构.第13页/共49页例例5 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:而其中 都具有连续的偏导数,这里,表示复合后对x的偏导数;表示复合前(v为“常数”)对x的偏导数.第14页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：各阶偏导数时,在求多元函数的偏导数，特别是抽象函数的经常利用下面简便的记法：复合函数求导的链式法则“分段相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导”“理清结构,找齐链路”第15页/共49页例例6设机动 目录 上页 下页 返回 结束 为可微的
5、函数,证证:因所以求证：设第16页/共49页例例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中f 具有二阶连续偏解解:注意到 仍是u,x,y的函数，所以 设导数,求且第17页/共49页例例8 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:设其中f 具有二阶连续偏导数,令第18页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共49页.练习练习其中f 具有二阶连续偏导数,解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P364 13(3)(4);14(2);15(2)求第20页/共49页作业讲评作业讲评机动 目录 上页 下页 返回 结束 5(3)求解解:第21页/共49页（二）全微分形式的不
6、变性（二）全微分形式的不变性当u,v是x,y的可微函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的全微分为 当u,v为自变量时,其全微分 复合函数 由全微分定义和复合函数微分法可求得,所以设可微,时,而第22页/共49页这表明这表明,对于函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 还是自变量,致性,称为全微分形式不变性全微分形式不变性.无论u,v是中间变量这一形式上的一其全微分形式一样.利用全微分形式不变性可以通过求微分过程的细化先求出函数的全微分,后求出函数的偏导数.第23页/共49页例例9 设设 利用全微分形式不变性,解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得求第24页/共49页例例10
7、 设设 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求第25页/共49页（三）隐函数的微分（三）隐函数的微分法法1)在什么条件下才能确定隐函数 y=f(x).2)在能确定隐函数时,函数y=f(x)的连续性、可微性及求导方法如何.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用多元复合函数微分法研究方程 例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;第26页/共49页一个方程所确定的隐函数及其导数一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数存在定理隐函数存在定理1 1则方程单值连续函数 y=f(x),并有连(隐函数求导公式)(证明略)具有连续的偏导数;在点x0的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足条件机动
8、 目录 上页 下页 返回 结束 续导数满足第27页/共49页两边对 x 求导数在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导公式推导如下：第28页/共49页例例10 求方程求方程 确定的函数解解:则机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数.利用隐函数求导公式也可利用隐函数求导法直接用复合函数求导法方程两边对x求导得 设两种方法不同,前者F对x求偏导数时y是“常数”,后者对x求导时y是x的复合函数.注意:第29页/共49页隐函数存在定理隐函数存在定理2若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),(证明略)满足 在点满足:某一
9、邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共49页两边对 x 求偏导数同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导公式推导如下:在的某邻域内设是方程所确定的隐函数,第31页/共49页例例11 求方求方程程解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的偏导数.所确定的函数设则由可得注意注意:虽然此例中方程确定两个不同的函数 但在其可导区域内,导数相同.利用隐函数求导公式第32页/共49页例例12 设设解法解法1 利用隐函数求导法直接用复合函数求导法机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第33页/共49页解法解法2 利用隐函数求导公利用隐函数求导公式式设则两边对
10、x 求偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共49页例例13设F(x,y)具有连续偏导数,解解:确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故解法解法1 利用隐函数求导公式.第35页/共49页对方程两边求微分:解法2 利用微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共49页课堂练习课堂练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 求1.解解:设(一)利用隐函数求导公式(二)利用复合函数求导法(三)利用微分形式不变性第37页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解:设(一)利用隐函数求导公式(二)利用复合函数求导法第38页/共49页机动
11、目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解:(三)利用微分形式不变性第39页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.有连续偏导数,且解解:设函数由方程所确定,求du.用微分形式不变性第40页/共49页内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.复合函数求导的链式法则“分段相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,“理清结构,找齐链路”第41页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P365 16(1)(2)(5)(6);17(1);18(1)3.隐函数微分法隐函数求导方法方法1.利用复合函数求导法直接
12、直接计算;方法2.利用微分微分形式不变性;方法3.代隐函数求导公式公式隐函数存在定理第42页/共49页方程组所确定的隐函数组及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共49页隐函数存在定理隐函数存在定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共49页(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共49页例例14 设设解解:求类似可求机动 目录 上页 下页 返回 结束 由题设故第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页