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1、第二节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第十七章 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减
2、弱为偏导数存在偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设 求全导数解解:注意注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,应掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号！二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.例例 4.利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束