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1、考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值;或以最值为载体求参数的范围,并能解决实际生活中的一些优化问题.第4讲函数的单调性与最值1函数的单调性的定义设函数 yf(x)的定义域为 A,区间 IA,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2,当 x1x2 时,都有_,那么就说 yf(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 yf(x)的_;如果对于区间 I 内的任意两个值x1,x2,当x1f(x2)单调减区间 f(x1)0f(x)1函数 yx26x 的减区间是()DA(,2C3,)B2,)D(,
2、32函数 y(2k1)xb 在实数集上是增函数,则()A12Bk0Db03已知函数 f(x)的值域是2,3,则函数 f(x2)的值域为()DA4,1C4,10,5B0,5D2,3解析:f(x2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位因此f(x2)的值域不变单调减区间是_0,)64若函数f(x)(m1)x2mx3(xR)是偶函数,则f(x)的 5(2012年安徽)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3,),则a_.例1:已知函数f(x)x2(x0,aR)考点1 利用定义判断函数的单调性ax(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)若 f(x)在区间2,)是增函数,求实数 a 的取值范围当
3、a0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数解:(1)当a0时,f(x)x2为偶函数【互动探究】2xx1在区间(0,1)上1试用函数单调性的定义判断函数 f(x)的单调性考点2 利用导数判断函数的单调性函数,在区间(6,)上为增函数,试求实数 a 的取值范围解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解解析:函数f(x)的导数为f(x)x2axa1.令f(x)0,解得x1或xa1.当a11即a2时,函数f(x)在(1,)上为增函数,不合题意当a11,即a2时,函数f(x)在(,1)上为增函数,在(1,a1)内为
4、减函数,在(a1,)上为增函数依题意应有:当x(1,4)时,f(x)0.当x(6,)时,f(x)0.所以4a16,解得5a7,所以a的取值范围是5,7【互动探究】mf(x)0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_.m0 得 0 x4,又由 u4xx2(x2)24知函数 u 在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数 f(x)log2(4xx2)的单调递减区间是(2,4)故选 C.答案:C【失误与防范】易忽略 x 需满足4xx20 这个条件求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域1在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确如函有的函数既无最大值也无最小值,如y.2并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最小值,如 yx2;有的函数只有最小值而无最大值,如 yx2;1x