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1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力目录第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施目录5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲回顾与比较回顾与比较内力内力应力应力目录5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲弯曲时，截面上的分布内力系可以合成为弯曲时，截面上的分布内力系可以合成为剪力剪力Fs、弯矩、弯矩M。RAP1纵向对纵向对称面称面FsMORAP1剪力剪力Fs切向内力系切向内力系弯矩弯矩M法向内力系法向内力系RAP1切向内力系切向内力系法向内力系法向
2、内力系平面对称弯曲：平面对称弯曲：梁有纵向对称面，外力作用在此面内，梁的梁有纵向对称面，外力作用在此面内，梁的变形对称于纵向对称面。变形对称于纵向对称面。纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲目录5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力一、变形几何关系一、变形几何关系5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力aabbmnnmmaabbmnn平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴横截面变形后保
3、持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。单向受力假设：单向受力假设：纵向纤维只承受单向拉、压，相互之间没有挤压。纵向纤维只承受单向拉、压，相互之间没有挤压。（b）必然有一层纤维既不伸长，也不缩必然有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为短，称为中性层中性层中性层中性层。内部变形内部变形将梁视为无数平行底面的纵向纤维层将梁视为无数平行底面的纵向纤维层（垂直纵向对称面）（垂直纵向对称面），则：，则：（a）每层上的各条纤维伸、缩量相等。每层上的各条纤维伸、缩量相等。（同层上的纤维条受力相同）（同层上的纤维条受力相同）纯弯曲变形的特点
4、：横截面绕中性轴产生相对转动。纯弯曲变形的特点：横截面绕中性轴产生相对转动。中性层与横截面的交线为中性层与横截面的交线为中性轴中性轴中性轴中性轴。中性轴中性轴中性轴中性轴 z z 垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。中性层中性层中性轴中性轴横截面横截面纵向对称面纵向对称面5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录建立坐标建立坐标(a)aabbmnnmooy横截面内正应力的分布横截面内正应力的分布横截面内正应力的分布横截面内正应力的分布yz此式不能用于求应此式不能用于求应力，力，未知。未
5、知。(b)胡克定理胡克定理二、物理关系二、物理关系zy 中性轴过形心中性轴过形心截面对截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩 yzdAM 横截面上法向分布力系可以简化为横截面上法向分布力系可以简化为 FN、My、MzdAy为对称轴为对称轴弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式EIz：截面抗弯刚度：截面抗弯刚度yz为形心主轴为形心主轴三、静力学关系三、静力学关系弯曲正应力公式弯曲正应力公式横截面上距中性横截面上距中性轴为轴为 y 的点的的点的应应力。力。M横截面上的弯矩。横截面上的弯矩。Iz横截面横截面对对中性中性轴轴 z 的的惯惯性矩。性矩。M、y 代绝对值，应力为拉应力或
6、压应力由弯矩方向确定。代绝对值，应力为拉应力或压应力由弯矩方向确定。与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力相等；uu 正应力大小与其到中正应力大小与其到中性轴距离成正比；性轴距离成正比；中性轴上中性轴上,正应力等于零正应力等于零应力分布图应力分布图yzMMMMMyzyzyz常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ Z圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横
7、截面高度 h 之之比比 l/h 5（细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。横力弯曲横力弯曲横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，
8、两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力利用强度条件，可以进行三方面强度计算。利用强度条件，可以进行三方面强度计算。（1）校核强度；）校核强度；（2）设计几何尺寸；）设计几何尺寸；（3）确定许可载荷；）确定许可载荷；解题思路：解题思路：（1）外力分析（一般要求反力）；）外力分析（一般要求反力）；（2）内力分析（）内力分析（要画内力图要画内力图）；）；（3）应力分析与强度计算。）应力分析与强度计算。确定许可载荷确定许可载荷应先设定单位应先设定单位例例已知：已知：l=1m，q=6kN/
9、m，梁由，梁由10号槽钢制成。截面尺寸如图，号槽钢制成。截面尺寸如图，Iz=25.6 104mm4。求梁的最大拉应力、最大压应力。求梁的最大拉应力、最大压应力。qABly1=15.2y2=32.8100z解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩。）作弯矩图，求最大弯矩。（2）最大应力。）最大应力。在固定端。在固定端。固定端截面弯矩为负，截面上半部受拉，下半部受压。固定端截面弯矩为负，截面上半部受拉，下半部受压。F FAYAYF FBYBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁
10、上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径FSx90kN90kN1.求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：例题5-1目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩C C 截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90k
11、N3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力120202080例例题题52、T字形截面字形截面铸铁铸铁梁受力及截面尺寸如梁受力及截面尺寸如图图所示，已知所示，已知材料材料的许用拉应力的许用拉应力 t=40MPa，许用压应力，许用压应力 C=80 MPa，该校核该，该校核该梁
12、的强度。梁的强度。解：解：（1）求反力）求反力,画弯矩图画弯矩图3.5kN13.5kN C Cy1=52y2=88zy3.5kNm5kNm 12kNBDAC5kN1m1m1m（2）确定截面几何性质）确定截面几何性质 求形心的位置求形心的位置求截面对形心轴求截面对形心轴z的惯性矩的惯性矩 F FA A F FBIz=7.64 106mm4MC截面截面MB截面截面y1=52y2=88zyIz=7.64 106mm4正弯矩段：正弯矩段：上压、下拉，最大拉压应力发生在上压、下拉，最大拉压应力发生在C截面（截面（M+max）负弯矩段：负弯矩段：上拉、下压，最大拉压应力发生在上拉、下压，最大拉压应力发生在
13、B截面（截面（M-max）梁上最大拉、梁上最大拉、梁上最大拉、梁上最大拉、压应力压应力压应力压应力例例7-2要求校核强度。要求校核强度。强度满足要求。强度满足要求。5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目
14、录 根据微段静力平衡方程和切应力互等定理可以推根据微段静力平衡方程和切应力互等定理可以推导出横截面上距离中性轴为导出横截面上距离中性轴为y的横线上的切应力为的横线上的切应力为m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1Sz*距中性轴为距中性轴为y的直线一侧的的直线一侧的 面积对中性轴的静矩。面积对中性轴的静矩。Fs 截面上的剪力；截面上的剪力；Iz 截面的对中性轴截面的对中性轴z的惯性矩；的惯性矩；b 截面上承受切应力的宽度；截面上承受切应力的宽度；y讨讨 论论1、沿高度方向呈抛物线分布；、沿高度方向呈抛物线分布；2、中性轴上中性轴上切应力最大；切应力最大；3、梁上下表面处切应力为零
15、。、梁上下表面处切应力为零。矩形截面上的最大切矩形截面上的最大切应应力力为为平均切平均切应应力力1.5倍；倍；bzy5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力二、圆形截面梁二、圆形截面梁FsyzyHhbd腹板腹板是一狭长矩形，关于矩形截面的切应力的假设仍然成立。是一狭长矩形，关于矩形截面的切应力的假设仍然成立。只讨论腹板上的切应力只讨论腹板上的切应力只讨论腹板上的切应力只讨论腹板上的切应力三、工字形截面三、工字形截面腹板上切应力近似均布，腹板上切应力近似均布，且承受了整个截面上且承受了整个截面上97%的剪力。的剪力。中性轴上中性轴上中性轴上中性轴上在整个截面上在整个截面上在整个截面上在整个截面上例题
16、：例题：比较矩形截面梁横截面内的最大切应力和最大正应力。比较矩形截面梁横截面内的最大切应力和最大正应力。Fyz bhl解：解：最大弯矩最大弯矩最大正应力最大正应力最大切应力最大切应力各个截面的剪力各个截面的剪力若若l5h，则，则 max0.05 max可见，可见，最大切应力远小于最大切应力远小于最大正应力。最大正应力。实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为对于直径为 d d 的圆截面的圆截面maxmax =6(l/d)5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为对于宽为b、高为
17、高为h的矩形截面的矩形截面maxmax =4(l/h)5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）对于细长梁，控制因素为正应力。一般满足了正应力强对于细长梁，控制因素为正应力。一般满足了正应力强度条件，就满足切应力强度条件。度条件，就满足切应力强度条件。l梁的跨度较短梁的跨度较短（l/h 5），弯矩小、剪力大的梁，例，弯矩小、剪力大的梁，例如在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；如在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；l铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时钢的相应比值时l各向异性材料（如木材
18、）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应要校核切应力强度。力强度。l薄壁截面梁薄壁截面梁qBACDElPPa有些情况必须考虑弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力弯曲切应力强度校核弯曲切应力强度校核 一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大截一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上，且面的中性轴上，且型钢可查表型钢可查表是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。切应力强度条件：切应力强度条件：梁上的最大切应力梁上的最大切应力 max ABqF=qaCa2aE(-)例题例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2
19、a=4 m、q=25 KN/m；材料许用应力=160 MPa，=100 MPa。试选择工字钢型号。(-)(+)(-)2、内力分析、内力分析确定确定Fsmax、Mmax解解：1、外力分析、外力分析支反力支反力ABqF=qaCa2a-qa(-)(-)(+)E(-)3、按正应力强度条件选型钢、按正应力强度条件选型钢查表选查表选32a工字钢工字钢4、校核切应力、校核切应力因此，设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件。因此，设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件。梁的合理设计可从以下几个方面考虑：梁的合理设计可从以下几个方面考虑：提高梁抗弯能力，也就是用尽可能少的材料，使梁承受尽可能大的提高梁抗弯能力，也就
20、是用尽可能少的材料，使梁承受尽可能大的载荷；或在载荷一定的情况下，减小最大应力，减小破坏的可能性。载荷；或在载荷一定的情况下，减小最大应力，减小破坏的可能性。1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）2、选用合理的截面、选用合理的截面(增大弯曲截面系数）增大弯曲截面系数）3、采用变截面梁、采用变截面梁理论和实验证明：理论和实验证明：的梁，剪力对梁强度和变形的影响很小，可以忽略不记。的梁，剪力对梁强度和变形的影响很小，可以忽略不记。对于对于5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施1 1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力（1）合理安排载荷）合理安排载荷（2）分散载荷
21、）分散载荷(从使用方案考虑从使用方案考虑)（3）调整支座位置（从设计角度）调整支座位置（从设计角度）(降低最大弯矩）降低最大弯矩）（1）合理安排载荷）合理安排载荷PPbal1 1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）（2）分散载荷）分散载荷(从使用方面考虑)1 1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）若：若：PPPlll0.2l0.2l（3）调整支座位置（从设计角度）调整支座位置（从设计角度）1 1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）合理的支座位置合理的支座位置应使最大正弯矩和应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相
22、等。最大负弯矩数值相等。合理布置支座位置，使合理布置支座位置，使 M max 尽可能小。尽可能小。移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。双杠双杠xxl当人在两支座中点时，当人在两支座中点时，当人在自由端点时，当人在自由端点时，合理的设计应使：合理的设计应使：龙门吊车龙门吊车（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大弯曲截面系）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大弯曲截面系数。数。2 2、选用合理的截面、选用合理的截面即用最少的材料获取最好的抗弯效果。即用最少的材料获取最好的抗弯效果。yzbhPP显然，显然，矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。矩形截面梁竖放
23、比平放抗弯效果好。（2）在满足所需弯曲截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减）在满足所需弯曲截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。d=137250000395020b号号h20025000010400b=72h=144250000yzh要求的要求的Wz（mm3）截面形状截面形状所需尺寸所需尺寸（mm）yzh14800截面面积截面面积（mm2）yzbh采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴不对称的截面采用关于中性轴不对称的截面塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料可调整各部分尺寸，使可调整各部分尺寸，使
24、（3）合理截面要符合材料的力学性能）合理截面要符合材料的力学性能yzyzyzyzy1y2zy理想情况：理想情况：3 3、采用变截面梁、采用变截面梁 以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁叫小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁叫变截面梁。变截面梁。若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，
25、这种梁叫若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁等强度梁。设截面宽度不变，高度随截面位置变化，设截面宽度不变，高度随截面位置变化，则：则：由由得得例例:设计等强度矩形截面悬臂梁。设计等强度矩形截面悬臂梁。xPx挑出阳台挑出阳台由由得得由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁。P摇臂钻床摇臂钻床P2P1齿轮轴齿轮轴汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧P鱼腹梁鱼腹梁目录小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施目录