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1、1 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题可控性和可观测性问题。如果系统。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是初态达到原点，则称系统是可控的可控的，或者更确切地是状态可，或者
2、更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态由输出完全反映，则称系统是状态可观测的可观测的，简称为系统可，简称为系统可观测。观测。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（1）2例：例：给定系统的动态方程为给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的形式，有将其表示为标量方程组的形式，有 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（2）3这表明状态变
3、量这表明状态变量 和和 都可通过选择控制量都可通过选择控制量 而由始点达到而由始点达到原点，原点，因而系统完全可控因而系统完全可控。但是，输出。但是，输出 只能反映状态变量只能反映状态变量 ，而与状态变量，而与状态变量 既无直接关系也无间接关系，所以既无直接关系也无间接关系，所以系系统是不完全可观测的统是不完全可观测的。例：例：下下图所示网络，设图所示网络，设 ，输出，输出 。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（3）4当当 且初始状态且初始状态 时，则不论将时，则不论将输入输入 取为何种形式，对于所有取为何种形式，对于所有 ，只能是，只能是 ，不可能做到不可能做到 。
4、也就是说，输入。也就是说，输入 能够做到使能够做到使和和 同时转移到任意相同的目标值，但不能将同时转移到任意相同的目标值，但不能将 和和 分别分别转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于不可控。由于 ，故系统可观测。，故系统可观测。1、可控性可控性 考虑线性时变系统的状态方程考虑线性时变系统的状态方程 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（4）5其中其中 为为 维状态向量；维状态向量；为为 维输入向量；维输入向量；为时间定义为时间定义区间；区间；和和 分别为分别为 和和 矩阵。现对状态矩阵。现对
5、状态可控、系统可控和不可控分别定义如下：可控、系统可控和不可控分别定义如下：状态可控：状态可控：对于上式所示线性时变系统，如果对取定对于上式所示线性时变系统，如果对取定初始时刻初始时刻 的一个非零初始状态的一个非零初始状态 ，存在一个，存在一个时刻时刻 和一个无约束的容许控制和一个无约束的容许控制 ，使状态由使状态由 转移到转移到 时的时的 ，则称此，则称此 是是在在 时刻可控的。时刻可控的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（5）6 系统可控：系统可控：对于上式所示线性时变系统，如果状态空对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在间中的所有非零状态
6、都是在 时刻可控的，则称系时刻可控的，则称系统在统在 时刻是完全可控的，简称系统在时刻是完全可控的，简称系统在 时刻可控。若系统时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。系统不完全可控：系统不完全可控：对于上式所示线性时变系统，取定对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在态在 时刻是不可控的，则称系统在时刻是不可控的，则称系统在 时刻是不完全可控的，时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。也称为系统是不可控的。可控性是表征系统状态运动的一个定性特性
7、可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。必须必须是容许控制，即是容许控制，即 的每个分量均在时间的每个分量均在时间 区间上平方可区间上平方可积，即积，即 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（6）7此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 的选取有的选取有关，是相对于关，是相对于 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻常系统，其可控性与初始时刻 的选取无关。的选取无关。状态与系统可达：状态与系统可达：若存在能将状态若存在能将状态 转移到转移到 的控制作用，则称状态
8、的控制作用，则称状态 是是 时刻可达的。若时刻可达的。若 对所有时刻都是可达的，则称状态对所有时刻都是可达的，则称状态 为完全可达或一为完全可达或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻可时刻可达的，则称该系统是达的，则称该系统是 时刻状态完全可达的，或简称该系统时刻状态完全可达的，或简称该系统是是 时刻可达的。时刻可达的。对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。二、二、线性系统的可控性与
9、可观测性线性系统的可控性与可观测性（7）82、可观测性可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程虑系统的状态方程和输出方程 其中，其中，分别为分别为的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为的解为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（8）9其中其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，可得输出响应为可得输出响应为若定义若定义 则输出响应可写为则输出响应可写为
10、 这表明可观测性即是这表明可观测性即是 可由可由 完全估计的性能。由于完全估计的性能。由于 和和可取任意值，所以这又等价于研究可取任意值，所以这又等价于研究 时由时由 来估计来估计 的的可能性，即研究零输入方程可能性，即研究零输入方程 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（9）10的可观测性。输出响应成为的可观测性。输出响应成为下面给出系统可观测性的有关定义。下面给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测：系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻对于线性时变系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ，对于所有，对于所有 ，系统的输出系统的输
11、出 能惟一确定状态向量能惟一确定状态向量 的初值，则称系统的初值，则称系统在在 内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在系统都是可观测的，则称系统在 内完全可观测。内完全可观测。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（10）11 系统不可观测：系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时对于线性时变系统，如果取定初始时刻刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ，对于所有，对于所有 ，系统的输出系统的输出 不能惟一确定所有状态不能惟一确定所有状态 的的初值，即至少有一个状态的初值不能被初值，即至少有
12、一个状态的初值不能被 确定，则称系统在确定，则称系统在时间区间时间区间 内是不完全可观测的，简称不可观测。内是不完全可观测的，简称不可观测。3、线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据 考虑线性定常连续系统的状态方程考虑线性定常连续系统的状态方程 其中其中 为为 维状态向量；维状态向量；为为 维输入向量；维输入向量；和和 分别为分别为 和和 常阵。常阵。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（11）12下面根据下面根据 和和 给出系统可控性的常用判据。给出系统可控性的常用判据。格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必线性定常连续系统完
13、全可控的充分必要条件是，存在时刻要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。为非奇异。格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵可控性的常用判据是直接由矩阵 和和 判断可控性的秩判据。判断可控性的秩判据。凯莱哈密顿定理凯莱哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为设阶矩阵的特征多项式为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（12）13则则 满足其特征方程，即满足其特征方程，即推论推论1 矩阵矩阵 的的 次幂可表示为次幂可表示为 的的 阶多项式阶多项式推论推论2
14、 矩阵指数矩阵指数 可表示为可表示为 的的 阶多项式阶多项式 秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是其中其中 为矩阵为矩阵 的维数，的维数，称为系统的称为系统的可控性判别阵。可控性判别阵。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（13）14例：例：桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。解解：该桥式电路的微分方程为该桥式电路的微分方程为选取状态变量选取状态变量 ，消去消去 ，可得状态方程，可得状态方程 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（14
15、）15其可控性矩阵为其可控性矩阵为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（15）16当当 时，时，系统可控。，系统可控。当电桥处于平衡状态，即当电桥处于平衡状态，即 时，时，及及 成立，这时状态方程变为成立，这时状态方程变为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（16）17可控性矩阵为可控性矩阵为 ，系统不可控，系统不可控，不能控制不能控制 ，是不可控是不可控状态变量。状态变量。例：例：判别下列系统的可控性：判别下列系统的可控性：二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（17）18解解 可控性判别矩阵为可控性判别矩阵为显见矩阵
16、的第二行与第三行线性相关，显见矩阵的第二行与第三行线性相关，系统，系统不可控。不可控。PBH秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的所有特征值的所有特征值 ，均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为即即 和和 是左互质的。是左互质的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（18）19由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛应用性，故称为最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据秩判据。例：例：已知线性定常系统的状态方
17、程为已知线性定常系统的状态方程为 试判别系统的可控性。试判别系统的可控性。解：解：根据状态方程可写出根据状态方程可写出 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（19）20考虑到考虑到 的特征值为的特征值为 ，所以只，所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当时，有时，有 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（20）21当当 时，有时，有当当 时，有时，有计算结果表明，系统完全可控。计算结果表明，系统完全可控。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（21）22 PBH特征向量判据特
18、征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，必要条件是，不能有与不能有与 的所有列相正交的非零左特征向的所有列相正交的非零左特征向量。即量。即 对的任一特征值对的任一特征值 ，使同时满足，使同时满足 的特征向量的特征向量 。一般地说一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。别是线性系统的复频域分析中。约当规范型判据约当规范型判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要线性定常连续系统完全可控的充分必要条件分两种情况：条件分两种情况：1）矩阵）矩阵 的特征值的特征值 是两两相异的。是两两相异
19、的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（22）23由线性变换可将状态方程变为对角线规范型由线性变换可将状态方程变为对角线规范型则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素全为零的行。全为零的行。2）矩阵的特征值为）矩阵的特征值为 ，且，且 。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（23）24由线性变换化为约当规范型由线性变换化为约当规范型其中其中 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（24）25而而 ，由，由 的最后一的最后一行所组成的矩阵行所组成的矩阵对对 均为
20、行线性无关。均为行线性无关。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（25）264、输出可控性输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。输出可控性。输出可控性：输出可控性：若在有限时间间隔若在有限时间间隔 内，存在无约束内，存在无约束分段连续控制函数分段连续控制函数 ，能使任意初始输出，能使任意初始输出 转转移到任意最终输出移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控，简称，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。输出可控。输出可控性判据输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输设线
21、性定常连续系统的状态方程和输出方程为出方程为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（26）27式中，式中，为为 维输入向量；维输入向量；为为 维输出向量；维输出向量；为为 维状态维状态向量。状态方程的解为向量。状态方程的解为 则输出则输出不失一般性，令不失一般性，令 ，有，有 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（27）28令令 ，则，则 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（28）29令令 为为 矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数分必要条
22、件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即即 注意：注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没 有什么必然的联系。有什么必然的联系。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（29）30例：例：已知系统的状态方程和输出方程为已知系统的状态方程和输出方程为试判断系统的状态可控性和输出可控性。试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：解：系统的状态可控性矩阵为系统的状态可控性矩阵为 ，故状态不完全可控。，故状态不完全可控。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（30）31输出可控性矩阵为输出可控性矩
23、阵为 ，输出可控。，输出可控。5、线性定常连续系统的可观测性判据线性定常连续系统的可观测性判据 考虑输入考虑输入 时系统的状态方程和输出方程时系统的状态方程和输出方程 其中，其中，为为 维状态向量；维状态向量；为为 维输出向量；维输出向量；和和 分别为分别为 和和 的常值矩阵。的常值矩阵。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（31）32 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩，使如下定义的格拉姆矩阵：阵：为非奇异。为非奇异。秩判据秩判据 线性定
24、常连续系统完全可观测的充分必要条件线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是是 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（32）33或或上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。例：例：判断下列系统的可观测性：判断下列系统的可观测性：1）2）二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（33）34解：解：1）故系统不可观测。故系统不可观测。2）故系统可观测。故系统可观测。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（34）35 PHB秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可观测
25、的充分必要条线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的所有特征值的所有特征值 ，均有，均有或等价地表示为或等价地表示为也即也即 和和 是右互质的。是右互质的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（35）36 PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，分必要条件是，没有与没有与 的所有行相正交的非零右特征向的所有行相正交的非零右特征向量。即对量。即对 的任一特征值的任一特征值 ，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。约当规范型判据约当规范型判据 线性定常连续系统完全可观测的充分
26、线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件分两种情况：必要条件分两种情况：1）当矩阵）当矩阵 的特征值的特征值 两两相异时，由线性变换两两相异时，由线性变换导出的对角线规范型为导出的对角线规范型为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（36）37式中式中 不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。2）当）当 矩阵的特征值为矩阵的特征值为 ，且，且 时，对原式进行线性变换导出的约当时，对原式进行线性变换导出的约当规范型为规范型为 其中其中 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（37）38二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（
27、38）39且且 ，由，由 的第一的第一列所组成的矩阵列所组成的矩阵对对 均为列线性无关。均为列线性无关。例：例：已知线性定常系统的对角线规范型为已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。试判定系统的可观测性。解：解：显然，此规范型中显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统不包含元素全为零的列，故系统 为完全可观测。为完全可观测。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（39）406、线性离散系统的可控性和可观测性线性离散系统的可控性和可观测性（1）线性离散系统的可控性和可达性）线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的状态方程为设线性时变离散时
28、间系统的状态方程为 其中其中 为离散时间定义区间。如果对初始时刻为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态和状态空间中的所有非零状态空间中的所有非零状态 ，都存在时刻，都存在时刻 ，和，和对应的控制对应的控制 ，使得，使得 ，则称系统在时刻，则称系统在时刻 为完为完全可控。对应地，如果对初始时刻全可控。对应地，如果对初始时刻 和初始状态和初始状态 ，存在时刻存在时刻 和相应的控制和相应的控制 ，使，使 可为状态可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全可达。为完全可达。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（40）41 对于离散系
29、统，不管是时变的还是定常的，其可控性和对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是，系统矩阵条件是，系统矩阵 对所有对所有 为非奇异；为非奇异；2）线性定常离散时间系统）线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异。为非奇异。3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模）如果离散时间系统是相应连续时间
30、系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性必是等价的。型，则其可控性和可达性必是等价的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（41）42 线性定常离散系统的可控性判据线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离设单输入线性定常离散系统的状态方程为散系统的状态方程为其中其中 为为 维状态向量；维状态向量；为标量输入；为标量输入；为为 非奇异非奇异矩阵。状态方程的解为矩阵。状态方程的解为根据可控性定义，假定根据可控性定义，假定 时，时，将上式两端左，将上式两端左乘乘 ，则有，则有 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（42）43记记 称称 为为 可
31、控性矩阵可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可。由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵知，当矩阵 的秩与增广矩阵的秩与增广矩阵 的秩相等时，方的秩相等时，方程组有解且为惟一解，否则无解。程组有解且为惟一解，否则无解。在在 为任意的情况下，为任意的情况下，使方程线有解的充分必要条件是矩阵使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩满秩，即，即 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（43）44或矩阵或矩阵 的行列式不为零的行列式不为零 或矩阵或矩阵 是非奇异的。是非奇异的。由于满秩矩阵与另一满秩矩阵由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故相乘其秩不变，故交换矩阵的列，且记为交换
32、矩阵的列，且记为 ，其秩也不变，故有，其秩也不变，故有在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。上面四式即为可控性判据。上面四式即为可控性判据。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（44）45 当当 时，系统不可控，表示不存在使任意时，系统不可控，表示不存在使任意转移至转移至 的控制。的控制。以上研究了终态为以上研究了终态为 的情况，若令终态为任意的情况，若令终态为任意给定状态给定状态 ，则状态方程的解变为，则状态方程的解变为 将上式两端左乘将上式两端左乘 ，有，有 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（45
33、）46当当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令 ，上述结论同样成立。可见，当，上述结论同样成立。可见，当 为非奇异阵时，为非奇异阵时，系统的可控性和可达性是等价的。系统的可控性和可达性是等价的。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为设系统的状态方程为 所谓所谓可控性问题，可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列即是能否求出无约束控制向量序列
34、，使，使 系统能从任意初态系统能从任意初态 转移至转移至 。上式的解为。上式的解为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（46）47令令 ，且方程两端左乘，且方程两端左乘 ，有，有 记记 为为 矩阵，由子列向量矩阵，由子列向量 构成的控构成的控制列向量是制列向量是 维的。上式含维的。上式含 个方程，但有个方程，但有 个待求的控个待求的控制量。制量。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（47）48由于初态由于初态 可任意给定，根据解存在定理，矩阵可任意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩的秩为为 时，方程组才有解。于是时，方程组才有解。于是多输入线性离
35、散系统状态可多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件控的充分必要条件是是或或或或或或或或二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（48）49例：例：双输入线性定常离散系统的状态方程为双输入线性定常离散系统的状态方程为试判断可控性，并研究使试判断可控性，并研究使 的可能性。的可能性。解：解：显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（49）50一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。由由
36、 可得可得设初始状态为设初始状态为 ，由于，由于 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（50）51可求得可求得 ，在一步内使系统由初始状态转移，在一步内使系统由初始状态转移到原点。设初始状态到原点。设初始状态 ，也可使系统在，也可使系统在一步内由初始状态转移到原点，但一步内由初始状态转移到原点，但 。本例。本例不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。（2）线性离散系统的可观测性）线性离散系统的可观测性 设离散系统为设离散系统为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（51）52若对初始时刻若对初始时刻 的
37、任一非零初始状态的任一非零初始状态 ，都存在，都存在有限时刻有限时刻 ，且可由，且可由 上的输出上的输出 惟一地惟一地确定确定 ，则称系统在时刻，则称系统在时刻 是完全可观测的。是完全可观测的。线性定常离散系统的可观测性判据线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系设线性定常离散系统的动态方程为统的动态方程为其中其中 为为 维状态向量，维状态向量，为为 维输出向量，其解为维输出向量，其解为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（52）53研究可观测性问题时，研究可观测性问题时，均为已知，故不失均为已知，故不失一般性，可将动态方程简化为一般性，可将动态方程简化为 对
38、应的解为对应的解为 将将 写成展开式写成展开式 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（53）54其向量矩阵形式为其向量矩阵形式为 令令 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（54）55 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。矩阵。系统可观充分必要条件为系统可观充分必要条件为由于由于 ，故线性定常离散系统的可观测性判，故线性定常离散系统的可观测性判据常表示为据常表示为（3）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能
39、一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。保持其可控性或可观测性。现举例来说明。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（55）56 设连续系统动态方程为设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有测性判据有故系统可观测。故系统可观测。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（56）57系统的状态转移矩阵为系统的状态转移矩阵为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（57）58系统离散化后的状态
40、方程为系统离散化后的状态方程为 离散化后系统的可控性矩阵为离散化后系统的可控性矩阵为 二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（58）59离散化后系统的可观测性矩阵为离散化后系统的可观测性矩阵为当采样周期时当采样周期时 ，可控性矩阵，可控性矩阵 和可观测性和可观测性矩阵矩阵 均出现零行，均出现零行，系统不可，系统不可控也不可观测。控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时，若采样周这表明连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可
41、观也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期测，不管采样周期 如何选择，离散化后的系统一定是不可如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。控或不可观测的。二、二、线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（59）601、状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为设系统动态方程为 令令 式中式中 为非奇异线性变换矩阵，它将为非奇异线性变换矩阵，它将 变换为变换为 ，变换后，变换后的动态方程为的动态方程为式中式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使 阵规范化，阵规范化，并不会改变系统
42、的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系再引入反变换关系 ，得出最终结果。，得出最终结果。三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（1）61下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。（1）化阵为对角型）化阵为对角型 1）设）设 阵为任意形式的方阵，且有阵为任意形式的方阵，且有 个互异实数特征个互异实数特征值值 ，则可由非奇异线性变换化为对角阵，则可由非奇异线性变换化为对角阵 。阵由阵由 阵的实数特征向量阵的实数特征向量 组成组成 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统
43、的线性变换（2）62特征向量满足特征向量满足2）若）若 阵为友矩阵，且有阵为友矩阵，且有 个互异实数特征值个互异实数特征值 ，则下列的范德蒙特则下列的范德蒙特 矩阵矩阵 可使可使 对角化：对角化：三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（3）633）设）设 阵具有阵具有 重实数特征值重实数特征值 ，其余为，其余为 个互异个互异实数特征值，但在求解实数特征值，但在求解 时仍有时仍有 个个独立实特征向量独立实特征向量 ，则仍可使，则仍可使 阵化为对角阵阵化为对角阵 。三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（4）64式中式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。是互异实数特征
44、值对应的实特征向量。（2）化）化 阵为约当阵阵为约当阵1）设）设 阵具有阵具有 重实特征值重实特征值 ，其余为，其余为 个互异实特个互异实特征值，但在求解征值，但在求解 时只有一个独立实特征向量时只有一个独立实特征向量 ，只能化为约当阵只能化为约当阵 。三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（5）65 中虚线示出存在一个约当块。中虚线示出存在一个约当块。式中式中 是广义实特征向量，满足是广义实特征向量，满足 是互异特征值对应的实特征向量。是互异特征值对应的实特征向量。三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（6）662）设）设 为友矩阵，具有为友矩阵，具有 重实特征值
45、重实特征值 ，且只有一个独立，且只有一个独立实特征向量实特征向量 ，则使，则使 约当化的约当化的 为为式中式中3）设）设 阵具有五重实特征值阵具有五重实特征值 ，但有两个独立实特征向量，但有两个独立实特征向量 ，其余为，其余为 个互异实特征值，个互异实特征值，阵约当化的可阵约当化的可能形式是能形式是 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（7）67三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（8）68 中虚线示出存在两上约当块，其中中虚线示出存在两上约当块，其中（3）化可控系统为可控标准型）化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输在前面研究
46、状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：入线性定常系统状态方程的可控标准型：三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（9）69与该状态方程对应的可控性矩阵与该状态方程对应的可控性矩阵 是一个右下三角阵，其主是一个右下三角阵，其主对角线元素均为对角线元素均为1 1，故，故 ，系统一定可控，这就是形，系统一定可控，这就是形如上式中如上式中 的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵 形如形如 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（10）70 一个可控系统，当一个可控系统，当 不具有可控标准型，一定可
47、以不具有可控标准型，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为进行进行 变换，即令变换，即令变换为变换为要求要求 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（11）71 下面具体推导变换矩阵下面具体推导变换矩阵 ：设变换矩阵设变换矩阵 为为根据根据 阵变换要求，阵变换要求，应满足变换要求，有应满足变换要求，有 展开为展开为 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（12）72经整理有经整理有 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（13）73由此可得变换矩阵由此可得变换矩阵又根据又根据 阵变换要求，阵
48、变换要求，应有应有 即即 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（14）74 故故该式表明该式表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换矩阵变换矩阵 的求法如下：的求法如下：1）计算可控性矩阵）计算可控性矩阵 ；2）计算可控性矩阵的逆阵）计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般形式为，设一般形式为3）取出）取出 的最后一行（即第的最后一行（即第 行）构成行）构成 行向量行向量 三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（15）754）构造阵）构造阵 5）便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。便是将非标准型可控系统化为可控标
49、准型的变换矩阵。2、对偶原理对偶原理 在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常带来许多方便。带来许多方便。三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（16）76 设系统为设系统为 ，则系统，则系统 为系统为系统的对偶系统。其动态方程分别为的对偶系统。其动态方程分别为其中，其中，均为均为 维状态向量；维状态向量；均为均为 维向量；维向量；均为均为 维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。当的维数是相交换的。当 为为 的对偶系统时，的对偶系统时，也是也是
50、的对的对偶系统偶系统。不难验证，系统。不难验证，系统 的可控性矩阵的可控性矩阵与对偶系统与对偶系统 可观测性矩阵可观测性矩阵 完全相同；完全相同；三、三、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（17）77系统系统 的可观测性矩阵的可观测性矩阵 与对与对偶系统偶系统 的可控性矩阵的可控性矩阵 完全相同。完全相同。应用对偶原理应用对偶原理，把可观测的单输入单输出系统化为可，把可观测的单输入单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入单输出系统动态方程为题。设单输入单输出系统动态方程为系统可观测，但系统可观