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1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数2021/8/7 星期六11.求过曲线求过曲线y=x3-2x上的点上的点(1,-1)的切线方的切线方程程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分在曲线上，还要分“该点是切点该点是切点”和和“该点不是切点该点不是切点”两种两种情况进行讨论，解法复制。若设情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线为曲线y=f(x)上上一点，则以一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为为切点的曲线的切线方程可设为y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免，利用此切线方程可以简化解题，
2、避免疏漏。疏漏。2021/8/7 星期六2（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数:（3）.三角函数三角函数：（1）.常函数：常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）.幂函数幂函数：(xn)/nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2021/8/7 星期六3函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时函数函数单调性判定性判定单调函数的函数的图象特征象特征yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是
3、增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，增函增函数数减函减函数数则则 f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)二、复习引入二、复习引入:2021/8/7 星期六4(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而
4、言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)f(x2)与的大小与的大小,在函数在函数y=f(x)比较复比较复杂的情况下杂的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单利用导数来判断函数的单调性就比较简单.2021/8/7 星期六5观观 察察:下图下图(1)
5、表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化变化的函数的函数 的图象的图象,图图(2)表示高台跳水表示高台跳水运动员的速度运动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图的图象象.运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加,即即h(t)h(t)是增函数是增函数.相应相应地地,从最高点到入水从最高点到入水,运动员运动员离水面的
6、高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少,即即h(t)h(t)是减函数是减函数.相应地相应地,(1)(1)(2)(2)2021/8/7 星期六6xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.在某个区间在某个区间(a,b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.2021/8/7 星期六72021/8/7 星期六8题题1 已知导函数已知导函数 的下列
7、信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）2021/8/7 星期六15证明可导函数证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的内的单调性的方法：方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论2021/8/7 星期六16练习练习1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:2021/8/7 星期六1
8、7练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示,试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状2021/8/7 星期六18练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解:由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是2021/8/7 星期六19练习练习4.求证求证:函数函数 在在 内是内是减函数减函数.解解:由由 ,解得解得 ,所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 ,即函数即函数 在在 内是减内
9、是减函数函数.2021/8/7 星期六20一、求参数的取值范围一、求参数的取值范围2021/8/7 星期六21增例增例2：求参数：求参数解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增2021/8/7 星期六22增例增例2：在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证2021/8/7 星期六23增例增例2：本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：2021/8/7 星期六242021/8/7 星期六25例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。2021/8/7 星期六262021/8/7 星期六27作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值范范围。2021/8/7 星期六28292021/8/7 星期六