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1、（鼎尚图文（鼎尚图文*整理制作）整理制作）第第1 1章章 导导数数及及应应用用1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数内容：利用导数研究函数的单调性应用利用导函数判断原函数大致图象利用导数求函数的单调区间从导数的角度解释增减及增减快慢的情况有关含参数的函数单调性问题本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调
2、性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的情况及含参数的函数单调性问题重点是利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。动画剪纸之对称性 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在
3、的联系呢?创设情景:复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有问题1：函数单调性的定义怎样描述的?(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)f(x2) (作商)2用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2D，且x1 x2.(4)定号(判断差f(x1)f(x2)的正负)(与比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论3.研究函数的单调区间你有哪些方法?（1）观察法:观察图象的变化趋势; （2）定义法: 4.讨论函数y=x24x3的单调性.定义法单增区间：
4、(，+).单减区间：(，).图象法5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗? (2)能用单调性的定义吗?试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?（产生认知冲突）发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决（1）（2）引引导导：随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图（2）表示高台跳水
5、运动员的速度v随时间t变化的函数 的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?( )( )9.86.5v th tt 通过观察图象,我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, ( )( )0v th t( )( )0v th t（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, 函数的单调性可简单的认为是：2121()()0,( )f xf xf xxx若则函数为增函数21212121()()()()f xf xf xf xyxxxxx可把看作说明函数的
6、变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系(1)R,yx函数的定义域为 其导数10y 2(2)R,(,0),(0,)yx函数的定义域为并且在上单调递减 在上单调递增,其导数2yx 0,0;0,0;0,0.xyxyxy当时当时当时并且在定义域上是增函数,3(3)R,yx函数的定义域为并且在定义域上是增函数, 其导数23yx 220,30;0,30.xxxx若则其导数当则其
7、导数1(4)(,0)(0,),(,0),(0,)yx函数的定义域为并且 在上单调递减 在上单调递减.21,0,0.yxyx 而因为所以2yx0. . . . . . . .再观察函数y=x24x3的图象：该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常常数数函函数数.结论：在某个区间(a,b)内,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
8、性的关系是：11(,()xf x00(,()xf x( )yf x000,()0,( )在处切线是左下右上函数在 附近单调递增xxfxf xx111,()0,( )在处切线是左上右下函数在 附近单调递减xxfxf xx一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则函数在该区间如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f(x)0, 函数的单调性与导数的关系:若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为 在(a,b)上恒成立; ( )0fx 若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为 在(a,b)上恒成立.( )0fx 例1、已知导函数的下列信息：试画出函数f(x
9、)图象的大致形状。利利用用导导函函数数判判断断原原函函数数大大致致图图象象41解:大体图象为ABxyo23已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。利利用用导导数数求求函函数数的的单单调调区区间间例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间 3232(1) ( )3(2) ( )23(3) ( )sin(0, ) (4) ( )23241f xxxf xxxf xxx xf xxxx322:(1)( )3( )333(1)0f xxxfxxx解3,( )3.f xxxR因此在 上单调递增如图1所示.2:(2)( )23( )2221f xxxfxxx 解2( )0,1,( )23f
10、xxf xxx当即时 函数单调递增2( )0,1,( )23fxxf xxx当即时 函数单调递减2( )23f xxx函数的图象如图所示1（2）:(3) ( )sin(0, )( )cos10f xxx xfxx 解,( )sin(0, )f xxx因此 函数在单调递减,如图32:(4)( )23241f xxxx 解32( )0,( )23241f xf xxxx当即时函数 32( )0,( )23241fxf xxxx当即时函数 32( )23241f xxxx函数的图象如图所示根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f(x)3.解不等式f(x)0,得
11、函数单增区间;解不等式f(x)且在定义域内的为增区间; f(x)0且在定义域内的为减区间数学思想：数形结合和转化思想( (3 3) )由由函函数数在在( (a a, ,b b) )上上的的单单调调性性, ,求求参参数数的的取取值值范范围围: :若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为f(x)0在(a,b)上恒成立;若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为f(x)0在(a,b)上恒成立.然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0.必必做做题题1.求下列函数的单调区间：2(1)24yxx(2)xyex3(3)3yxx32(4)yxxx2:(1)24(1,),(,1)yxx解的增区间是减区
12、间是(2)(0,),(,0)xyex的增区间是减区间是3(3)3( 1,1),(, 1)(1,)yxx 的增区间是减区间是和321(4)(1,)(,),31(,1)3yxxx 的增区间是和减区间是322.:( )267(0,2)f xxx求证 函数在内是减函数3.( )(0).bf xxbx求函数的单调区间2(0,2)( )3210fxxx 只需证明在内( )(0)(,)(,),(,0)(0,)bf xxbbbxbb 的增区间是和减区间是和3211.( )1(0).3f xaxxa 求函数的单调区间322.( )331210(1, 11)(1) ,.(2)( )f xxaxbxxya byf x 已知的图象与直线相切于点求的值讨论函数的单调性.选选做做题题3212( )1(0)(,)(0,),32(,0)的增区间是和减区间是f xaxxaaa 1,3ab ( )(, 1)(3,),( 1,3)yf x 函数在区间和上递增在上递减2323.( )4() 1,1,3.f xxaxxxRa函数在区间上是增函数求实数的取值范围232:( )4() 1,13f xxaxxxR解在上是增函数22( )4222(2)0 1,1fxaxxxax 在区间恒成立2( )2,( )0 1,1g xxaxg x令则问题在区间上恒成立(1)0,120,: 11( 1)0120gaaga 只需证即解得