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1、61 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程63 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形64 用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形65 简单超静定简单超静定梁梁66 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施第六章第六章 弯曲变形弯曲变形61 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题PlF横截面绕其中性横截面绕其中性轴转动的角度。轴转动的角度。1.1.挠度挠度w ：2.2.转角转角 ：二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为：曲线。其方程为：w=f(x)三、转角与挠曲
2、线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量条件：小变形条件：小变形F xwwCC1 与与w坐标同向为正，反之为负。坐标同向为正，反之为负。横截面形心在垂直于横截面形心在垂直于x轴方向的线位移。轴方向的线位移。反时针转动为正。反时针转动为正。62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程在纯在纯弯曲时弯曲时EIz 梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。MM 由由62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程在在横力弯曲时，横力弯曲时，忽略剪力对梁位移的影响忽略剪力对梁位移的影响或：或：在纯在纯弯曲时弯曲时Fx xwwx挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程在小在小变形的条
3、件下，变形的条件下，取取“+”取取“+”wxMMMM对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：63 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形积分常数积分常数C、D由边界条件确定。由边界条件确定。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。及最大转角。（1 1）建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程（2 2）写出写出微分方程并积分微分方程并积分（3 3）应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数解：解：例例6-1P180 当当x=0时，时，wA=0
4、，xwxFlABwA=A=0(4)(4)写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线(5)(5)最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xwFlAB maxwmaxx=l 时，时，例例6-2解：解：边界条件边界条件:当当x=0 时，时，wA=0(1)当当x=l 时，时，wB=0(2)由（由（1）得）得 D=0由（由（2）得）得求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。及最大转角。qABxxwFAFBl最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xqABw B Awmaxl例例6-3解：解：lFABDabFAFBxx1x2求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度求梁
5、的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。及最大转角。wlFABDabwxx1x2边界条件边界条件:当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(3)当当x2=l时，时，w2=0(2)连续条件连续条件:当当x1=0时，时，w1=0(1)光滑条件光滑条件:当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(4)ABDabDABabFFlFABDabwxx1x2当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(3)连续条件连续条件:光滑条件光滑条件:当当x1=x2=a 时，时，w1=w2(4)由（由（4）得：）得：C1=C2由（由（3）得：）得：D1=D2lFABDabwxx1x2由（由（4）得：）得：C1=C2由（由（3
6、）得：）得：D1=D2边界条件边界条件:当当x2=l时，时，w2=0(2)当当x1=0时，时，w1=0(1)由（由（1）得：）得：D1=0，由（由（2）得：）得：D2=D1=0确定确定最大转角最大转角当当x1=0时，时，A=当当x2=l时，时，B=lFABDabwxx1x2最大挠度发生在最大挠度发生在AD段。段。确定确定最大挠度最大挠度确定确定最大转角最大转角当当x1=0时，时，A=当当x2=l时，时，B=lFABDabwxx1x2最大挠度发生在最大挠度发生在AD段。段。确定确定最大挠度最大挠度lFABDabwxx1x2ABFl/2wxl/2Fl其中其中 称为许可转角；称为许可转角；称为许可挠
7、度。称为许可挠度。F梁的刚度条件梁的刚度条件FABllqAB64 用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形叠加原理叠加原理:多个载荷同时作多个载荷同时作用于结构而引起的变形等用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。构而引起的变形的代数和。叠加原理的使用条件：叠加原理的使用条件：小变形、材料在线弹性范小变形、材料在线弹性范围内工作。围内工作。=qFACB+FAB按叠加原理求按叠加原理求C点挠度点挠度和和A点转角。点转角。解、解、(1)(1)载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)查表计算简单载荷引查表计算简单载荷引起的变形。起的变形。+=例例1 1 Bq
8、FACaa(wC)qABq(wC)FFBA+ABqFBA(A)q(A)F利用利用变形表变形表求求B点挠度。点挠度。例例2 2 BFFACaa变形表：变形表：BFAlwB BBFACBFACaaw1w2 C 1变形表：变形表：BFAlwB BBFFACaa解解:BFACBFACaaw1w2 C 1变形表：变形表：BFAlwBBFAaaaC 例例3 3 按叠加原理求跨中按叠加原理求跨中G点挠度。点挠度。FACFEDGaaaw1w2解：解：查查第第190页第页第9栏栏ACFaaaABCla Cw2FABCla 用用逐段刚化法逐段刚化法求求B点挠度。点挠度。=+FlaABC等价等价等价等价FBlaAC
9、刚化刚化AC段段刚化刚化BC 段段FM=Fa例例4w1BCFaw1w2解：解：FlaABCBCFaw1M=Fa CABClaw2题题6.13(P202)求跨中求跨中C点挠度。点挠度。FACaDBaaaF/2wBCDBaaF/2wB2CDBaaFa/2F/2wB2CDBaaF/2wBCDBaaF/2wB1CDBaa题题6.20(P205)FACB2aa求求C点的水平和垂直位移。点的水平和垂直位移。FACB2aa题题6.20(P205)求求C点的水平和垂直位移。点的水平和垂直位移。FACB2aM=FaABM=Fa题题6.20(P205)求求C点的水平和垂直位移。点的水平和垂直位移。AqlB65 简
10、单超静定简单超静定梁梁AlB静定静定梁梁超静定超静定梁梁一次静不定一次静不定静定静定梁梁超静定超静定梁梁一次静不定一次静不定AAqAl解题解题步骤步骤：(4)(4)比较原系统和相当系统的变比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。形，解出多余约束反力。FB用用比较变形法比较变形法解超静定解超静定梁梁（1 1）去掉）去掉多余约束得到静定基。多余约束得到静定基。AB（2）加上原载荷。）加上原载荷。（3 3）加上多余约束反力，得）加上多余约束反力，得到相当系统。到相当系统。（5）在相当系统上求其他量。）在相当系统上求其他量。已知：已知：q、EI、l试画出梁的弯矩图试画出梁的弯矩图q=比较变形法比
11、较变形法qAB+FBAB方向假设正确，向上方向假设正确，向上解：解：变形协调方程：变形协调方程：FBABqABqFS图图+M图图+画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图FAMAFBABqFS图图+M图图+FAMAFBlABqM图图FS图图+M图图最大弯矩将增加最大弯矩将增加3倍倍若没有支座若没有支座B，则梁内最大弯矩将增加：则梁内最大弯矩将增加：lABqAlqM图图+变形协调方程：变形协调方程：静定基的另一种取法：静定基的另一种取法：MAAlqABlq结构如图，求结构如图，求BC 杆拉力。杆拉力。FN=+l1qlABClB解：解：变形协调方程变形协调方程qABwB 例例10 qABFNAB 例例66
12、已知：已知：EI=5103 kNm2。绘梁的剪力图和弯矩图绘梁的剪力图和弯矩图FB30kNAB4m3m2m20kN/mCD30kNAB4m3m2m20kN/mCD30kN20kN/m 例例66MB已知：已知：EI=5103 kNm2。绘梁的剪力图和弯矩图绘梁的剪力图和弯矩图AB4m3m2mCD30kNAB4m3m2m20kN/mCD20kN/mMBAB4m变形协调方程变形协调方程30kN3m2mCDMBB代入变形协调方程，解得：代入变形协调方程，解得：MB=31.8kNm解：解：30kNAB4m3m2m20kN/mCD20kN/mMBAB4m30kN3m2mCDMBBM+M+FS+FS+FSM
13、+30kNAB4m3m2m20kN/mCD 例例 求梁的支反力。求梁的支反力。FABl/2l/2CMCABl/2l/2CFFCxFCyFAyABl/2l/2CFCyMCFFCy 单题单题6-20b(P198)6-20b(P198)求梁的支反力。求梁的支反力。ABaaqCFBxFByAaqBBaCFByFBxFByAaqBBaCFByABl/2l/2C 单单题题6-20a(P198)6-20a(P198)求梁的支反力。求梁的支反力。MeABl/2l/2CFCMC 单单题题6-20a(P198)6-20a(P198)求梁的支反力。求梁的支反力。MeABl/2l/2CMCMAMA=MCABl/2l/
14、2CMe例例 如如图图所所示示的的结结构构，AB梁梁为为16号号工工字字钢钢，I=1130cm4，W=141cm3，l=3m，CB杆杆为为圆圆截截面面杆杆，直直径径d=20mm，l1=2m。材材料料均均为为Q235钢钢，E=210 GPa，=160MPa。加加载载前前螺螺母母B刚刚与与梁梁底底面面接接触触，螺螺母母的的螺螺距距s=2mm。试试调调节节螺螺母母，使使结结构构能能承承受受的的载载荷荷q值值为为最最大大。问问：（1）最最大大的的q值值为为多多大大？（2）螺螺母母应应如如何何调调节节（拧拧紧紧或或拧拧松松）？调调节节多多少少圈圈？(不考虑弯曲剪应力强度不考虑弯曲剪应力强度)qABCll
15、1ABFl/2l/2减小梁的跨度减小梁的跨度l、增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI、改变梁的结构改变梁的结构。66 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施zy在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面（1 1）合理选取截面形状）合理选取截面形状zDyzhbzhb工字形、箱形截面比较好工字形、箱形截面比较好 对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量E 值是相近的。值是相近的。ABFl/2l/2不同类材料，不同类材料，E值相差很多（钢值相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa），），故可选用不同的材料以达到提高刚度的目故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原材料费用原材料费用也会随之发生很大的也会随之发生很大的改变！改变！（2）改变梁的结构）改变梁的结构qll/5ql/5l/2ql/2