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1、Ch.7 Spin and undistinguished similar particles2011-3-28 第第 三三 讲讲 Aharonov-Bohm效应效应12/18/202212 1959年阿哈罗诺夫年阿哈罗诺夫-玻姆提出了一个假想实验。玻姆提出了一个假想实验。.问题：问题：在放入带电流直在放入带电流直螺线螺线管管后，两束电子在后，两束电子在电子屏上的干涉条纹是电子屏上的干涉条纹是否会改变？否会改变？按经典电动力学，按经典电动力学，由于两由于两束电子束的路径上束电子束的路径上 ，电子不受电子不受LorentzLorentz力，电力，电子的运动不会受影响，原子的运动不会受影响，原来的
2、两束电子束的干涉条纹不会改变来的两束电子束的干涉条纹不会改变。按量子力学，按量子力学，由于电子由于电子Homilton量中的存在量中的存在 ，使，使SchrodingerSchrodinger方程的解方程的解 会与会与 时时的的 不不同，两束电子束的波函数差一个相位因子（贝尔相同，两束电子束的波函数差一个相位因子（贝尔相位因子），电子束之间的干涉条纹会发生变化。这位因子），电子束之间的干涉条纹会发生变化。这种效应称为种效应称为Aharanov-Bohm效应效应，简称，简称AB效应效应。一一.A-BA-B实验实验12/18/20223 注意注意：AB效应的存在已被实效应的存在已被实验所证实。在验
3、所证实。在AB效应中，由于效应中，由于电子不受电子不受LorentzLorentz力作用，因此力作用，因此纯粹是一种量子效应纯粹是一种量子效应。二二.量子理论分析量子理论分析由由Stokes定理定理 绕磁通管轴选取一半径为绕磁通管轴选取一半径为 的环路的环路 ，则由于环，则由于环路上各点路上各点 相同，在柱坐标下相同，在柱坐标下（1）为螺线管内的总磁通量为螺线管内的总磁通量.12/18/20224电子的电子的Schrodinger方程方程其中，积分沿电子束路径其中，积分沿电子束路径 进行进行；满足满足 的的Schrodinger 方程方程 屏上一点处，电子波函数应为经由屏上一点处，电子波函数应
4、为经由 和和 到达到达的两波函数的线性叠加的两波函数的线性叠加（2）（3）将方程的解写成将方程的解写成（4）（5）12/18/20225其中，相位其中，相位即即（6）（7）和和 与与 无关无关（6）式中，）式中，12/18/20226 结论：结论：在实验中，即使电子在螺线管外的区域运动，在实验中，即使电子在螺线管外的区域运动，,电子不受电子不受Lorentz力，但由于力，但由于 存在存在,由由(6)式看出，式看出，在屏上显示出的干涉条纹与在屏上显示出的干涉条纹与 或或 有关。这种效应为有关。这种效应为AB效应。效应。AB效应表明，矢势效应表明，矢势 具有实质的物理意义。具有实质的物理意义。亦即
5、亦即12/18/20227 当直螺线管中无电流时，当直螺线管中无电流时，设质量为设质量为 ，电荷为，电荷为 的粒子在长直螺线管的的粒子在长直螺线管的垂直平面内绕螺线管轴线作半径为垂直平面内绕螺线管轴线作半径为 园周运动，求园周运动，求带电粒子的能量本征值。带电粒子的能量本征值。三三.粒子能量的粒子能量的ABAB效应效应 粒子的运动相当于粒子的运动相当于一个平面转子的运动，一个平面转子的运动，其其Hamilton算符：算符：能量本征方程：能量本征方程：（8）直螺线管内外直螺线管内外波函数满足周期条件：波函数满足周期条件：12/18/20228本征函数：本征函数：（9）除除 的态外，能级二度简并的
6、态外，能级二度简并当直螺线管有电流时，当直螺线管有电流时，本征能量：本征能量：（10）直螺线管内外直螺线管内外12/18/20229Hamilton算符：算符：由此得由此得Schrodinger方程方程并代入到并代入到Schrodinger方程（方程（12）得）得（11）（13）（12）令令12/18/202210or（14）其中其中（15）方程（方程（14）的解）的解（16）利用波函数利用波函数 的周期性条件：的周期性条件：得到得到（19）（18）将（将（16）代入（）代入（12），于是得到（），于是得到（11）方程的解）方程的解12/18/202211联合（联合（15）和（）和（19）式，求得粒子的能量本征值）式，求得粒子的能量本征值（20）能量本征函数能量本征函数（21）方程方程(20)说明，虽然在粒子运动区域磁场说明，虽然在粒子运动区域磁场 处处为处处为零，粒子不受零，粒子不受Lorentz力，但由于环心处磁通力，但由于环心处磁通 的存的存在，磁力线束管外的矢势在，磁力线束管外的矢势 ，使带电粒子的能量本，使带电粒子的能量本征值由征值由(10)变为变为(20)，能级简并消除。，能级简并消除。这是一种量子这是一种量子效应，是效应，是AB效应在束缚态问题中的具体表现。效应在束缚态问题中的具体表现。12/18/2022