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1、第五章第五章 近似求解方法近似求解方法第第1 1节节 定态微扰理论定态微扰理论非简并情况非简并情况前面前面介绍了量子力学的基本理论并对几个简单、典型的问题精确求解了薛定谔方程介绍了量子力学的基本理论并对几个简单、典型的问题精确求解了薛定谔方程能够精确求解的问题并不多能够精确求解的问题并不多 有时，精确解很复杂不方便随后的物理讨论有时，精确解很复杂不方便随后的物理讨论现在现在介绍近似求解薛定谔方程的若干方法介绍近似求解薛定谔方程的若干方法定态微扰理论（简并和非简并情况）、含时微扰理论、变分法定态微扰理论（简并和非简并情况）、含时微扰理论、变分法、WKB近似、需要近似求解的方程需要近似求解的方程定
2、态薛定谔方程定态薛定谔方程其坐标表象形式其坐标表象形式假定满足的条件假定满足的条件微微小小扰扰动动其本征值问题可精确求解其本征值问题可精确求解非简并非简并把待求能量本征值和本征矢展成实小参数把待求能量本征值和本征矢展成实小参数的幂级数的幂级数代代入定态薛定谔方程入定态薛定谔方程第第1 1节节 定态微扰理论定态微扰理论非简并情况非简并情况等式两边等式两边幂级数的相应系数相等得到一系列方程如下幂级数的相应系数相等得到一系列方程如下因此因此第第1 1节节 定态微扰理论定态微扰理论非简并情况非简并情况最后结果最后结果其中其中是是微微小小扰扰动的确切含义动的确切含义例题例题1 带电带电q的线性谐振子处于
3、均匀弱外电场中，求体系的近似能量和波函数的线性谐振子处于均匀弱外电场中，求体系的近似能量和波函数该题可精确求解该题可精确求解第第1 1节节 定态微扰理论定态微扰理论非简并情况非简并情况最后结果最后结果例题例题2(p172 5.3题题)体系的哈密顿量如下，求体系的近似能量和能量本征矢体系的哈密顿量如下，求体系的近似能量和能量本征矢该题可精确求解该题可精确求解其中其中第第2 2节节 定态微扰理论定态微扰理论简并情况简并情况同前面一样，我们有同前面一样，我们有变化了的条件是变化了的条件是需要求解的方程还是需要求解的方程还是k度度简并简并得到得到再利用再利用因此因此其中矩阵元其中矩阵元1）系数行列式为
4、零得到）系数行列式为零得到能量能量一级一级修正修正2）代入能量一级修正求相应的系数）代入能量一级修正求相应的系数决定了相应的决定了相应的零级零级能量本征矢能量本征矢第第3 3节节 氢原子的一级斯塔克效应氢原子的一级斯塔克效应简并简并定态微扰理论的应用定态微扰理论的应用氢原子的哈密顿量氢原子的哈密顿量氢原子处于均匀氢原子处于均匀z方向外电场中方向外电场中考虑考虑n=2情况情况4度简并度简并能量一级修正能量一级修正E和零级波函数的系数由下式决定和零级波函数的系数由下式决定微扰微扰非零矩阵元只有非零矩阵元只有为方便，记为方便，记能量到一级修正的结果能量到一级修正的结果矩阵元矩阵元第第4 4节节 变分
5、法变分法微扰理论需要哈密顿量可写成精确可解微扰理论需要哈密顿量可写成精确可解+微扰形式微扰形式变分法概要变分法概要需要变分法近似求解的方程需要变分法近似求解的方程变分法没有这种限制变分法没有这种限制不失一般，可适当编号使得不失一般，可适当编号使得能量本征矢满足正交归一完全性条件能量本征矢满足正交归一完全性条件能量平均值能量平均值近似求基态能量和本征矢的步骤近似求基态能量和本征矢的步骤1）适当选择归一化尝试波函数（态矢）适当选择归一化尝试波函数（态矢）其中含若干参数其中含若干参数2）用归一化尝试波函数（态矢）计算平均值）用归一化尝试波函数（态矢）计算平均值3）计算该平均值的最小值，得到近似基态能
6、量和本征矢）计算该平均值的最小值，得到近似基态能量和本征矢多参数情况口述多参数情况口述推广到激发态情况，例如第一激发态情况推广到激发态情况，例如第一激发态情况然后重复上述然后重复上述2-3步骤得到第一激发态近似结果步骤得到第一激发态近似结果第第5 5节节 氦原子基态氦原子基态(用变分法计算用变分法计算)氦原子氦原子=核（核（Z=2）+2电子电子忽略另外一个电子，电子加核可看成是类氢原子（忽略另外一个电子，电子加核可看成是类氢原子（Z=2）1 1）适当选择归一化尝试波函数）适当选择归一化尝试波函数2 2）用尝试波函数计算能量平均值）用尝试波函数计算能量平均值3 3）计算最小值，得到近似基态能量和
7、本征函数）计算最小值，得到近似基态能量和本征函数其中其中Z是变分参数。由于第是变分参数。由于第2个电子的存在，个电子的存在，类氢原子动能平均值类氢原子动能平均值类氢原子势能平均值乘类氢原子势能平均值乘(2/Z)利用公式利用公式第第6 6节节 含时含时微扰理论微扰理论哈密顿量含时哈密顿量含时微微小小扰扰动动其本征值问题可精确求解其本征值问题可精确求解矩阵元矩阵元在在 表象时，状态是表象时，状态是含时薛定谔方程的分量形式含时薛定谔方程的分量形式令令含时薛定谔方程变成含时薛定谔方程变成设设t=0时，系统处于时，系统处于 态态到微扰的一阶到微扰的一阶含时薛定谔方程为（见第含时薛定谔方程为（见第4章章
8、表象理论）表象理论）跃迁概率跃迁概率单位时间的跃迁概率单位时间的跃迁概率跃迁速率跃迁速率第第7 7节节 （计算（计算2 2种常见情况的）种常见情况的）跃迁速率跃迁速率跃迁速率跃迁速率跃迁概率跃迁概率1）t0时，微扰时，微扰 与时间无关与时间无关跃迁概率跃迁概率公式公式若末态是或接近连续分布的状态若末态是或接近连续分布的状态跃迁速率跃迁速率费米黄金规则费米黄金规则第第7 7节节 （计算（计算2 2种常见情况的）种常见情况的）跃迁速率跃迁速率2）简谐式微扰）简谐式微扰跃迁概率跃迁概率公式公式跃迁速率跃迁速率在共振或近共振时，在共振或近共振时，2项中分母接近零的一项远比另外一项重要项中分母接近零的一
9、项远比另外一项重要只保留最重要的一项只保留最重要的一项略去（书略去（书p158-160）从跃迁概率表达式讨论从跃迁概率表达式讨论时间时间-能量测不准关系能量测不准关系只保留其中一项只保留其中一项共振或近共振项共振或近共振项第第8 8节节 光的发射与吸收光的发射与吸收三种过程三种过程自发辐射过程自发辐射过程受激受激辐射过程辐射过程受激受激吸收过程吸收过程初等量子理论框初等量子理论框架内不易理解架内不易理解1 1）爱因斯坦发射和吸收系数）爱因斯坦发射和吸收系数自发辐射系数自发辐射系数受激辐射系数受激辐射系数受激吸收系数受激吸收系数爱因斯坦引入这三个系数并利用热力学平衡条件得到的它们的联系爱因斯坦引
10、入这三个系数并利用热力学平衡条件得到的它们的联系热平衡时，应该有热平衡时，应该有与黑体辐射公式比较与黑体辐射公式比较第第8 8节节 光的发射与吸收光的发射与吸收2 2）微扰论计算发射和吸收系数）微扰论计算发射和吸收系数受激受激吸收过程吸收过程偶极近似偶极近似对平面电磁波对平面电磁波从力的角度从力的角度i)忽略光的磁场对原子的作用忽略光的磁场对原子的作用由第由第7节节简谐式微扰的跃迁速率表达式简谐式微扰的跃迁速率表达式因此因此从能量角度从能量角度ii)忽略波数相关效应忽略波数相关效应跃迁速率跃迁速率加了对入射光的频率求积分加了对入射光的频率求积分若入射光是自然光或大量原子若入射光是自然光或大量原
11、子第第8 8节节 光的发射与吸收光的发射与吸收2 2）微扰论计算发射和吸收系数）微扰论计算发射和吸收系数受激受激吸收过程吸收过程热平衡时热平衡时自发辐射与受激辐射之比自发辐射与受激辐射之比实际上，实现受激辐射器件需破坏热平衡条件。例如实际上，实现受激辐射器件需破坏热平衡条件。例如3 3）（自发）辐射强度与能态寿命）（自发）辐射强度与能态寿命总（自发）辐射强度总（自发）辐射强度所有原子单位时间自发辐射能量所有原子单位时间自发辐射能量能态寿命能态寿命能级宽度能级宽度(自然线宽自然线宽)4 4）激光和微波量子放大器（脉塞）激光和微波量子放大器（脉塞）应用受激发射的器件应用受激发射的器件可见光和红外区
12、可见光和红外区比值相等比值相等热平衡时热平衡时波长越长，自发辐射（与受激辐射比较）越小波长越长，自发辐射（与受激辐射比较）越小=表明在微波区更易实表明在微波区更易实现低噪声的受激辐射器件现低噪声的受激辐射器件1 1）粒子数反转）粒子数反转否则受激辐射小于受激吸收否则受激辐射小于受激吸收2 2）用谐振腔产生强辐射场（远大于热平衡辐射强度）用谐振腔产生强辐射场（远大于热平衡辐射强度）=自发辐射自发辐射受激辐射受激辐射第第9 9节节 (偶极近似下的偶极近似下的)选择定则选择定则前面在前面在偶极近似条件下偶极近似条件下用用微扰论计算得到发射和吸收系数微扰论计算得到发射和吸收系数受激受激吸收过程吸收过程因此两态之间能够跃迁的条件是：因此两态之间能够跃迁的条件是：原子状态量子数是原子状态量子数是3 3个（加上以后要讲的自旋量子数后为个（加上以后要讲的自旋量子数后为4 4个）个）由此可得到由此可得到(偶极近似下的偶极近似下的)选择定则选择定则波函数波函数偶极跃迁条件现在是偶极跃迁条件现在是利用公式利用公式可得可得原子原子（偶极）偶极）选择定则选择定则名词：名词：偶极禁戒跃迁偶极禁戒跃迁，严格禁戒跃迁严格禁戒跃迁选择定则表明：光子自旋为选择定则表明：光子自旋为1 1，右（左）旋光子在传播方向有角动量，右（左）旋光子在传播方向有角动量线偏振光子在传播方向没有角动量线偏振光子在传播方向没有角动量