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1、教学生教学生学会思考学会思考南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹13805183730教育的教育的 科学发展观科学发展观 是什么是什么 教育的大目标是教育的大目标是“培养人培养人”教育科学发展观的核心教育科学发展观的核心培养什么样的人！培养什么样的人！我们我们“国家的教育方针国家的教育方针”是什么？是什么？培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。过时了吗？过时了吗？素质教育？这不就是素质教育吗？素质教育？这不就是素质教育吗？数学教育的科学发展观数学教育的科学发展观 核心问题核心问题应该使学生获得什么样的发展应该使学生获得什么样的发展 数学最大价值数学最
2、大价值发展人的思维发展人的思维使人变得聪明使人变得聪明一、教育的科学发展观一、教育的科学发展观使学生充满对学习的热情使学生充满对学习的热情爱学爱学 好奇心好奇心,求知欲求知欲,学习兴趣学习兴趣,探求世界的积极态度探求世界的积极态度 使学生爱学，教师有不可推卸责任，教师要尽最大努力使学生爱学，教师有不可推卸责任，教师要尽最大努力使学生学会学习使学生学会学习会学会学 掌握学习的方法，学会掌握学习的方法，学会自己独立地获取知识自己独立地获取知识；掌握科学研究的方法，学会从不知开始，掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步达到问题的核心，直至最终的构建和解决。一步一步达到问题的核心，直至最终的构建
3、和解决。发展学生的认识力发展学生的认识力 对世界对世界(客观世界和主观世界客观世界和主观世界)各种事物的认识能力。各种事物的认识能力。科学的视角科学的视角,创造力创造力,想象力想象力,洞察力洞察力,判断力判断力,预见力。预见力。使学生获得可持续发展，使学生变得更聪明使学生获得可持续发展，使学生变得更聪明掌握知识不是最终目的掌握知识不是最终目的 发展发展认识力认识力才是才是教育的最大目标。教育的最大目标。知识是会忘记的，留下来的是教育。知识是会忘记的，留下来的是教育。爱因斯坦爱因斯坦 这个留下来的教育是什么？就是人的认识力。这个留下来的教育是什么？就是人的认识力。培根说：知识就是力量。培根说：知
4、识就是力量。爱因斯坦说：想象力比知识更重要。爱因斯坦说：想象力比知识更重要。知识重不重要？重要！知识重不重要？重要！没有知识，认识力的发展就要落空，没有知识，认识力的发展就要落空，知识是通向认识力的必经之路。知识是通向认识力的必经之路。相比而言，认识力比知识更重要。相比而言，认识力比知识更重要。数学对发展认识力有特殊的力量，能扮演举足轻重的作用。数学对发展认识力有特殊的力量，能扮演举足轻重的作用。发展认识力比掌握知识更重要发展认识力比掌握知识更重要二、教学首要任务二、教学首要任务教教“怎样思考怎样思考”经常听到学生说：经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。老师讲的我都懂，但自己做
5、就不会了。”什么原因？你老师没有把什么原因？你老师没有把“让他自己会做让他自己会做”的方法教给他。的方法教给他。首先是解决首先是解决“你是怎么想到的你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？然后解决怎样让他也想到？好的教师好的教师“想给学生听想给学生听”，“想给学生看想给学生看”。差的教师做给学生看，或差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。让好学生做给差学生看。要教要教“通性通法通性通法”“苯办法苯办法”大多数学生能想到的方大多数学生能想到的方法。法。少教技巧，有少教技巧，有“技巧技巧”也要教技巧怎么想出来的。也要教技巧怎么想出来的。如求如求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到要想
6、高斯怎么会想到“首尾相加首尾相加”的的?而不是仅学习而不是仅学习“首尾相加首尾相加”这一操作。这一操作。“化技巧为不巧化技巧为不巧”才是你的本领，技巧的作用主要是欣赏。才是你的本领，技巧的作用主要是欣赏。教学生学会思考教学生学会思考新新 授授 课课 教教 学学南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹13805183730三、三、教学教学教教 学生学生“学学”教学生教学生 通过通过 学习知识学习知识 学会思考学会思考 学学 提出提出 问题问题(课题课题)，学学 寻找寻找 解决问题的方法，解决问题的方法，学学 建构建构 新概念、新方法，新概念、新方法，学学 研究问题研究问题 的的一般方法；一般方法；
7、“怎么学怎么学”用用 研究问题的一般方法研究问题的一般方法 去学。去学。(在游泳中学游泳；在做中学；在用方法的过程中学方法在游泳中学游泳；在做中学；在用方法的过程中学方法)教学生教学生“学什么学什么”？教学生教学生 “怎么学怎么学”学知识学知识？学思考？学思考？“学思考学思考”研究问题的一般方法研究问题的一般方法(1)提出或形成提出或形成 解决问题解决问题问题问题 假设和猜想假设和猜想研究对象研究对象研究研究方法方法(2)构建构建(4)提出提出概念或关系概念或关系(6)数学数学表述表述(3)设计或创造设计或创造(5)验证验证建立建立修正猜想修正猜想理论和方法理论和方法解决问题的解决问题的形成问
8、题形成问题构建概念构建概念寻找方法寻找方法提出假设提出假设验证猜想验证猜想语言表述语言表述新概念或关系新概念或关系美国数学家美国数学家 哈尔莫斯：哈尔莫斯：“问题是数学的心脏。问题是数学的心脏。”问题成为数学的生命，数学因问题而获得生命力。问题成为数学的生命，数学因问题而获得生命力。让学生学数学，能不让他们了解数学的生命吗让学生学数学，能不让他们了解数学的生命吗?数学一切概念、公式、定理、方法，数学一切概念、公式、定理、方法，是因为是因为 解决问题的需要解决问题的需要 而产生的。而产生的。对一个新问题，往往对一个新问题，往往原有的原有的概念概念 或或 方法方法不够用了不够用了,就不得不去就不得
9、不去创新创新构建构建新的概念，新的概念，创造创造新的方法。新的方法。四、导入新课必须提出一个问题四、导入新课必须提出一个问题数学教学原则：每节课首先要提出一个问题，并且去解决它。数学教学原则：每节课首先要提出一个问题，并且去解决它。问题可以由教师提出，最好是引导学生提出。问题可以由教师提出，最好是引导学生提出。把新授课转变成一个解决新问题的过程把新授课转变成一个解决新问题的过程 把把 学习活动学习活动 转变成一种开创性的工作。转变成一种开创性的工作。为培养学生的为培养学生的 创新意识创新意识 和和 创造能力创造能力 作出了贡献。作出了贡献。五、五、用用“从无到有从无到有”的探究法教学的探究法教
10、学 什么是探究？什么是探究？“从无到有从无到有”才是探究才是探究 一目了然，不假思索就能知道的东西一目了然，不假思索就能知道的东西无需探究。无需探究。“从无到有从无到有”从不懂到懂，不会到会，从不懂到懂，不会到会，不明白到明白不明白到明白 的过程。的过程。数学探究教学数学探究教学 主要有两种方式主要有两种方式 引导式引导式 探究探究 教师引导下的学生主动探究教师引导下的学生主动探究 线索线索 引导引导 的探究的探究 发现式发现式 探究探究 以学生自主活动为主的探究以学生自主活动为主的探究 寻找寻找 线索线索 的探究的探究用用启发性提示语启发性提示语引导探究引导探究 引导式探究引导式探究数学探究
11、教学数学探究教学主要的主要的方式方式 数学是抽象的形式化的思想材料，学生能够自己探究吗？数学是抽象的形式化的思想材料，学生能够自己探究吗？全靠学生自己独立探究，基本不可能。全靠学生自己独立探究，基本不可能。学生要从无到有的探究，就离不开教师的启发引导。学生要从无到有的探究，就离不开教师的启发引导。怎么启发引导？怎么启发引导？提示与暗示提示与暗示 教师教师 通过适当的引导语通过适当的引导语 给学生以必要的给学生以必要的 提示和暗示提示和暗示 学生学生 通过自己的思维活动通过自己的思维活动 获得获得 提示和暗示提示和暗示。提示提示和和暗示暗示的方式是的方式是 运用运用“启发性提示语启发性提示语”发
12、问发问 元认知元认知提示语提示语 认知性认知性提示语提示语 方法论方法论提示语提示语启发式教学是最好的教学方法启发式教学是最好的教学方法 启发式的核心是启发式的核心是“问题问题”，什么样的问题？，什么样的问题？启发性提示语启发性提示语 六、面向全体学生探究六、面向全体学生探究 启发性启发性提示语提示语通过通过“暗示暗示”，引导发现线索，引导发现线索 提示语提示语“指向性指向性”不能太明确，太明确了不能太明确，太明确了 学生自己无须思考学生自己无须思考 离目标离目标越远，越远，指向性指向性越隐蔽越隐蔽思维挑战性越强思维挑战性越强 离目标离目标越近，越近，指向性指向性越明了越明了思维挑战性越弱思维
13、挑战性越弱启发启发 由远及近，分级提示，给每个学生自己出力的机会。由远及近，分级提示，给每个学生自己出力的机会。只问不答，若需回答，先弱后强，避免知道者告诉不知道者。只问不答，若需回答，先弱后强，避免知道者告诉不知道者。独立思考，不同层次学生获得不同的启发，每个人获得发展。独立思考，不同层次学生获得不同的启发，每个人获得发展。最终发展到学生学会用最终发展到学生学会用启发性提问启发性提问来引导自己，来引导自己，这就可以达到这就可以达到“教他怎么学教他怎么学”了。了。离目标近的暗示离目标近的暗示过渡到过渡到离目标远的暗示离目标远的暗示对不同层次学生进行引导对不同层次学生进行引导“由远及近，分级提问
14、由远及近，分级提问”如何教建构新概念如何教建构新概念(1)【案例案例】建构建构“分式分式”概念概念由几个简单的实际问题建立起几个方程由几个简单的实际问题建立起几个方程(创设情境，提出问题创设情境，提出问题)这这三三个方程你们是不是都会解？个方程你们是不是都会解？右边两个不会解。右边两个不会解。为什么不会解？你们发现了什么？为什么不会解？你们发现了什么？其中有从没见过的符号。其中有从没见过的符号。哪些符号没见过？哪些符号没见过？保留带分数线的式子，擦去其它符号保留带分数线的式子，擦去其它符号 它们有什么不同？能不能对它们做个分类？它们有什么不同？能不能对它们做个分类？它们分别有什么特点？它们分别
15、有什么特点？一组一组 未知量未知量x 不在分母上不在分母上 一组一组 未知量未知量x 在分母上在分母上能不能给右边这组代数式下个定义？能不能给右边这组代数式下个定义？先只问不答；后回答由弱到强先只问不答；后回答由弱到强写出下列关于写出下列关于 x 的函数的函数 y(1)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 x，那么此正方形的面积，那么此正方形的面积(2)如果正方体的棱长为如果正方体的棱长为 x，那么此正方体的体积，那么此正方体的体积(3)如果正方形的面积为如果正方形的面积为 x，那么此正方形的边长，那么此正方形的边长 .(4)某骑车某骑车 x 小时匀速前进小时匀速前进 1 km，则骑车速度为，
16、则骑车速度为*这些这些 表达式表达式 是什么函数？是什么函数？*是不是指数函数是不是指数函数?为什么为什么?*它们不是指数函数它们不是指数函数,是新函数是新函数*这些这些新函数新函数有什么共同特点有什么共同特点?*变量变量 x 在哪里在哪里?指数是什么指数是什么?*变量变量 x 在底数上，指数是常数。在底数上，指数是常数。*能不能给出一个统一的表达式？能不能给出一个统一的表达式？*y=,x 变量变量,a 常数常数,叫叫幂函数幂函数.*a有什么要求有什么要求?思考，验证一下。思考，验证一下。*y=。建建 构构 幂幂 函函 数数 概概 念念y=x2.y=x3.y=y=x-1.如何教建构新概念如何教
17、建构新概念(2)如何教创建新方法如何教创建新方法(1)【案例案例】解二元一次方程组解二元一次方程组代入法代入法我教我教3个班，共个班，共132人，其中女生人数的人，其中女生人数的2倍比男生人数多倍比男生人数多39人。人。我会提什么问题？我会提什么问题？男生、女生男生、女生 各多少人？各多少人？你们会不会做？用什么方法？你们会不会做？用什么方法？列方程解列方程解大家列列看大家列列看列出一元一次方程。列出一元一次方程。会不会解？会不会解？会！会！如果要你设：女生为如果要你设：女生为x，男生为，男生为y，怎么列方程，怎么列方程?大家列列看大家列列看(发现式探究发现式探究)出现代入消元法和加减消元法。
18、出现代入消元法和加减消元法。教师肯定代入法，对加减法不评价教师肯定代入法，对加减法不评价你是怎么想到消元你是怎么想到消元(方法方法)的？的？为什么消元？为什么消元？可以化成一元一次方程可以化成一元一次方程为什么要化成一元一次方程？为什么要化成一元一次方程？一元一次方程我们学过了，会解一元一次方程我们学过了，会解这给我们什么启示？这给我们什么启示？解决新问题可以转化成已解决的问题解决解决新问题可以转化成已解决的问题解决(思想思想)x+y=1322x-y=39创创提提设设出出情情问问境境题题会不会解？大家自己解解看。会不会解？大家自己解解看。反诘，追问：你怎么想到的？反诘，追问：你怎么想到的？如何
19、教创建新方法如何教创建新方法(2)方程组解法学过没有？大家解解看，要独立思考。方程组解法学过没有？大家解解看，要独立思考。(停顿停顿)看来有人不会解，那你会解什么方程？看来有人不会解，那你会解什么方程？(暗示目标暗示目标)(停顿停顿)这个方程有什么不同？你打算怎么办？这个方程有什么不同？你打算怎么办？(暗示靠近目标暗示靠近目标)(停顿停顿)能不能变成自己会解的能不能变成自己会解的一元一元方程？怎么变？尝试一下。方程？怎么变？尝试一下。(停顿停顿)二元变一元，要消去一个元，怎么消？尝试一下。二元变一元，要消去一个元，怎么消？尝试一下。(引导式探究引导式探究)【案例案例】解二元一次方程组解二元一次
20、方程组代入法代入法x+y=1322x-y=39(停顿停顿)现在请哪个讲一讲？现在请哪个讲一讲？(回答回答由弱到强由弱到强)你是怎么想到的？你是怎么想到的？消去一个元。消去一个元。为什么消元？为什么消元？化成一元一次方程。化成一元一次方程。为什么要化成一元一次方程？为什么要化成一元一次方程？一元一次方程我们学过了，会解。一元一次方程我们学过了，会解。这给我们有什么启示？这给我们有什么启示？解决新问题可以转化成已会的问题解决解决新问题可以转化成已会的问题解决(思想思想)由由 启启远远 发发及及 提提近近 示示反诘，追问：反诘，追问：你怎么想到的？你怎么想到的？教学生学会思考教学生学会思考解解 题题
21、 教教 学学南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹13805183730“理解题意理解题意”解题学习第一环节解题学习第一环节解题第一位的是理解题意，解题第一位的是理解题意，但它却往往被学习者所忽视。但它却往往被学习者所忽视。善于解题的人用一半时间理解问题善于解题的人用一半时间理解问题,只用另一半时间完成解答只用另一半时间完成解答学生不能很好解题的最重要原因，学生不能很好解题的最重要原因，没有树立没有树立重视理解题意重视理解题意的意识，的意识，没有养成没有养成理解题意理解题意的良好习惯，的良好习惯，更没有掌握更没有掌握如何理解题意如何理解题意的方法。的方法。遇到一个陌生的问题，怎么去想？遇到一个
22、陌生的问题，怎么去想？如何着手解题如何着手解题?如何如何“从无到有从无到有”地寻找思路，地寻找思路，由由“所有所有”探索探索“所无所无”如何着手解题？如何理解题意？如何着手解题？如何理解题意？七、七、解题教学解题教学教学生教学生“学解题学解题”着手解题着手解题 的的 启发性提示语启发性提示语 1)它是一个什么问题？它要求它是一个什么问题？它要求(证证)的是什么？的是什么？什么范畴的问题？什么范畴的问题？“盯着目标盯着目标”求求(证证)什么什么?2)现有哪些材料？现有哪些材料？题设中的条件题设中的条件 3)有哪些工具？有哪些工具？已经学过的已经学过的 相关概念、相关概念、命题、公式命题、公式 和
23、和 方法方法 4)还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？5)如何运用这些如何运用这些 条件条件 和和 工具？工具？6)是否还有条件没有利用？如何利用？是否还有条件没有利用？如何利用？这些思考，这些思考，不是不是 文字的简单浏览文字的简单浏览 和和 思想上的一掠而过，思想上的一掠而过，是是深究深究每一个对象的意义、性质，每一个对象的意义、性质，不同对象的关系不同对象的关系,特别特别 能否转换能否转换 为其它的意义、关系为其它的意义、关系.这些思考并不是孤立进行，这些思考并不是孤立进行，是贯穿在上述所有问题思考之中。是贯穿在上述所有问题思考之中
24、。这是用于着手解题的这是用于着手解题的最基本的思考方法，最基本的思考方法，但不是万能的方法。但不是万能的方法。如何深究？如何转换如何深究？如何转换?理解题意理解题意 的的 启发性提示语启发性提示语它是什么？如何表示？还能如何表示？它是什么？如何表示？还能如何表示？(转换转换)它有什么性质？如何表示？还能如何表示它有什么性质？如何表示？还能如何表示?它们有什么关系它们有什么关系?如何表示如何表示?还能如何表示还能如何表示?它是否与其它问题有联系它是否与其它问题有联系?能否利用这个联系能否利用这个联系?由题设中的条件能够推出什么？它们可以怎样利用？由题设中的条件能够推出什么？它们可以怎样利用？中途
25、结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？“它它”每一个每一个句子句子,名词名词,概念概念,关系关系,表达式表达式,符号符号,符号的上标下标符号的上标下标,图形图形,图形中的点线面，等等。图形中的点线面，等等。如何深究？如何深究？对对题意题意深究深究如何转换？如何转换？将将形式形式转换转换教学生寻找解题思路就要提供有效的指导思维操作的策略教学生寻找解题思路就要提供有效的指导思维操作的策略,解题的启发性提示语正提供了有效的指导思维操作的程序。解题的启发性提示语正提供了有效的指导思维操作的程序。已知函数已知函数 f(x)=(a0)是偶函数，求是偶函数，求 a.
26、它是一个什么问题？它是一个什么问题？函数问题。函数问题。已有什么材料已有什么材料已知条件已知条件(理解题意理解题意)理解题意理解题意逐一搞清楚：逐一搞清楚：“它它”是什么是什么？怎么表示？怎么表示？问题是什么？问题是什么？求求a。f(x)是什么？是什么？与自然对数、分式有关的比较复杂的函数。与自然对数、分式有关的比较复杂的函数。f(-x)=f(x)偶函数偶函数 是什么？是什么？f(-x)=f(x)这题中，这题中，f(-x)和和 f(x)分别是什么？怎么表示？具体化分别是什么？怎么表示？具体化 a 是什么是什么?a 是参数。是参数。若若 3a=0.618,ak,k+1,kZ.则则 k=.a-1,
27、0 k=-1k,k+1是什么是什么?求求值问题，值问题，求求 k，区间左端点区间左端点是什么问题是什么问题?求什么？求什么？3a=0.618 是什么是什么?数学符号数学符号3a=0.618抽象符号具体化抽象符号具体化策略策略相邻整数区间相邻整数区间幂；当幂；当 a=？时？时 3 a=0.6181/3=0.33 1 3k3a3k+1ak,k+1是什么是什么?kak+1-1a 0 3a 30 3-1 如图，如图，O为正方形为正方形ABCD中心，中心，DBC的平分线交的平分线交CD于于E，延长，延长BC到点到点F，使，使CF=CE，连接，连接DF交交BE延长线于延长线于G，连接，连接OG。(1)求证
28、：求证：BCEDCF；(2)OG与与BF有什么数量关系？有什么数量关系？(3)若若EGBG=4-2 ，求正方形，求正方形ABCD的面积。的面积。(2)由由(1)得得DFC=DEG，易得，易得DGE=90,BG 既是角平分既是角平分 线又是高，得线又是高，得G是是DF中点；中点；OG是中位线；是中位线；OG=BF/2。(3)求什么？求什么？求正方形求正方形ABCD面积。面积。怎么求？怎么表示？怎么求？怎么表示？设边长为设边长为x，ABCD面积面积=x2.EG，BG是什么？是什么？EG是是DEG的一条边，的一条边，BG是是BFG；(1)明显；略。明显；略。DEG与BFG 有什么有什么关系？关系？都
29、是直角三角形，都是直角三角形，DEGBFG；由相似可以推出什么结论？由相似可以推出什么结论？EG:DG=FG:BG，EGBG=DGGF；G是中点，就有是中点，就有DG2=4-2 .2011年江苏省高考年江苏省高考第第13题题解题教学解题教学 利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，包括过程中出现的新对象，要一个不漏。表示、整理，包括过程中出现的新对象，要一个不漏。那么在理解题意的同时，基本上就能得到问题的解法。那么在理解题意的同时，基本上就能得到问题的解法。对提示语的掌握也有一个从不会到会，不熟练到熟练的对提示语的掌握也有一个
30、从不会到会，不熟练到熟练的过程，只要坚持，不断领悟，就能产生明显的效果。过程，只要坚持，不断领悟，就能产生明显的效果。元认知提示语是自我引导，自我启发的方法。元认知提示语是自我引导，自我启发的方法。设设 1=a1a2a7，其中，其中a1，a3，a5，a7成公比为成公比为q的等比数的等比数列，列，a2，a4，a6成公差为成公差为1的等差数列，则的等差数列，则q的最小值是的最小值是 。它是一个什么范畴的问题它是一个什么范畴的问题?求什么求什么?是一数列问题，奇数项是等比数列是一数列问题，奇数项是等比数列偶数项是等差数列偶数项是等差数列,求公比求公比q最小值最小值.题意追问题意追问每一个每一个句子句
31、子,名词，表达式，符号，名词，表达式，符号，符号的上标、下标，图形符号的上标、下标，图形,图形中的点、线、面。图形中的点、线、面。1=a1a2a7,a1=1，其它各项递增不减；，其它各项递增不减；a1,a3,a5,a7成等比数列成等比数列,公比公比q它还能怎么表示它还能怎么表示?a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3；a2,a4,a6成等差数列成等差数列,公差为公差为1.它还能怎么表示？它还能怎么表示？a2，a4=a2+1，a6=a2+2；它表示什么它表示什么?1=a1a2a7，又能怎么表示？具体化。又能怎么表示？具体化。1a2qa2+1q2a2+2q3还缺少什么还缺少什么？a2 有什么性质
32、？有什么性质？q 有什么性质？怎么表示？有什么性质？怎么表示？由由,1a2q,要要 q 最小最小,则则1=a2代入代入，有，有 3q3，缺少缺少a2 和和q;1=a1a2；得得 q 。1=a1a2 1a2q 培养学生良好的读题习惯培养学生良好的读题习惯实验实验 1要求学生解题时先反复读题。要求学生解题时先反复读题。2要求学生用自己的语言反复叙述问题。要求学生用自己的语言反复叙述问题。3要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。4要求用不同的表达方式反复叙述问题。要求用不同的表达方式反复叙述问题。5要求解释题中各个名词的意义要求解释题中各
33、个名词的意义(用概念思考用概念思考)，包括每个符号，包括每个符号 的含义的含义(用符号表示用符号表示)，每句话的含义，每句话的含义(换一种说法或表述换一种说法或表述)。6要求尽可能画一张图。要求尽可能画一张图。7要求尽可能对每个名词要求尽可能对每个名词,每个符号每个符号,每句话换一种表示。每句话换一种表示。8要求把看不懂的符号或表达式具体化。要求把看不懂的符号或表达式具体化。(抽象符号具体化抽象符号具体化)9要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的 表达形式。表达形式。10要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。要求发挥想象力
34、，诉说自己对题意的联想或猜想。培养学生寻找解题思路培养学生寻找解题思路实验实验数学解题的启发性提示语要在数学解题的启发性提示语要在“用用”上下工夫上下工夫数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展 看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。必须在运用提示语的过程中学习提示语，在必须在运用提示语的过程中学习提
35、示语，在“用用”中学，中学，只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然然后
36、是然后是理解题意是一种创造性的活动理解题意是一种创造性的活动“理解题意的启发性提示语理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语是一种元认知提示语 是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，而不是代替学生去探索和发现。而不是代替学生去探索和发现。所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。波利亚：波利亚：“问题的求解比起问题的明确表达来，问题的求解比起问题的明确表达来，就常常不需要那么多的
37、见识和独创了。就常常不需要那么多的见识和独创了。”可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。教学生教学生“理解题意的启发性提示语理解题意的启发性提示语”，就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考。就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考。谢谢 谢谢 大大 家家例题例题 已知已知A,B是椭圆是椭圆 上两点，上两点，F2 是左焦点是
38、左焦点,若若|AF2|+|BF2|=8a/5 (),AB中点到准线的距离中点到准线的距离3/2,求椭圆方程求椭圆方程.它是什么问题？求什么？它是什么问题？求什么？解析几何问题，求椭圆方程。解析几何问题，求椭圆方程。A,B 怎么表示？怎么表示？设设A(x1,y1),B(x2,y2).椭圆基本量是什么椭圆基本量是什么?长半轴为长半轴为a,b=3a/5,c=a,式是什么式是什么?e=c/a=.A,B到左焦点距离之和到左焦点距离之和.AB中点怎么表示？中点怎么表示？还能怎么表示还能怎么表示?x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2.有哪些材料？有哪些材料？理解题意。理解题意。左准线方程左准线
39、方程:x=-a2/cM到左准线距离，横坐标作差到左准线距离，横坐标作差.x0+5a/4=3/2.(又表示中点又表示中点)设设M(x0,y0).M 到到(左左)准线距离怎么表示？准线距离怎么表示？左准线怎么表示左准线怎么表示?画图。画图。=-5a/4椭圆第一定义：椭圆第一定义：|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a椭圆第二定义：椭圆第二定义：|AF1|/(x1+5a/4)=e=，化简得化简得|AF1|=x1+a|AF1|/(x1+5a/4)=e=，化简得化简得|AF1|=x1+a这些材料有什么关系？怎样利用这些材料有什么关系？怎样利用?中点中点M的的x0有有两种表示：两种表示
40、：x0=(x1+x2)/2,x0+5a/4=3/2,x1+x2=3-5a/2 得得|AF1|+|BF1|=12a/5得得|AF1|+|BF1|=(x1+x2)+2a 得得12a/5=(3-5a/2)+2a，解得解得 a=1.椭圆方程是椭圆方程是 .利用提示语仔细地对问题利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，包括过程中出表示、整理，包括过程中出现的新对象，要一个不漏。现的新对象，要一个不漏。那么在理解题意的同时，那么在理解题意的同时，基本上就能得到问题的解法。基本上就能得到问题的解法。对提示语的掌握也有一个对提示语的掌握也有一个从不会到会，不熟练到
41、熟练从不会到会，不熟练到熟练的过程，只要坚持，不断领的过程，只要坚持，不断领悟，就能产生明显的效果。悟，就能产生明显的效果。元认知提示语是自我引导，元认知提示语是自我引导，自我启发的方法。自我启发的方法。由由可得可得有哪些工具？有哪些工具？怎么表示？怎么表示？2011年江苏省高考年江苏省高考第第13,19题题解题教学解题教学南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹 sxzy 设设 1=a1a2a7，其中，其中a1，a3，a5，a7成公比为成公比为q的等比数的等比数列，列，a2，a4，a6成公差为成公差为1的等差数列，则的等差数列，则q的最小值是的最小值是 。它是一个什么范畴的问题它是一个什么范畴
42、的问题?求什么求什么?是一数列问题，奇数项是等比数列是一数列问题，奇数项是等比数列偶数项是等差数列偶数项是等差数列,求公比求公比q最小值最小值.题意追问题意追问每一个每一个句子句子,名词，表达式，符号，名词，表达式，符号，符号的上标、下标，图形符号的上标、下标，图形,图形中的点、线、面。图形中的点、线、面。1=a1a2a7,a1=1，其它各项递增不减；，其它各项递增不减；a1,a3,a5,a7成等比数列成等比数列,公比公比q它还能怎么表示它还能怎么表示?a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3；a2,a4,a6成等差数列成等差数列,公差为公差为1.还能怎么表示？还能怎么表示？a2，a4=a2+
43、1，a6=a2+2；它表示什么它表示什么?1=a1a2a7，还能怎么表示？具体化。还能怎么表示？具体化。1a2qa2+1q2a2+2q3还缺少什么？还缺少什么？a2有什么性质？有什么性质？q有什么性质？怎么表示？有什么性质？怎么表示？由由,1a2q,要要 q最小最小,则则1=a2代入代入，有有 3q3，缺少缺少a2 和和q;1=a1a2；得得 q1=a1a2 1a2q 八、着力培养学生良好的思维习惯八、着力培养学生良好的思维习惯思维懒惰是最大的懒惰，思维懒惰是最大的懒惰，最重要的习惯最重要的习惯是思维习惯是思维习惯独立思考，积极参与，不是自己的知识是无用的知识独立思考，积极参与，不是自己的知识
44、是无用的知识解题时多读几遍题，用不同的方式重述问题解题时多读几遍题，用不同的方式重述问题用概念思考用概念思考(对每一个数学对象用概念思考对每一个数学对象用概念思考)用思维方法思考用思维方法思考(观察，比较，分析，综合，归纳，类比，观察，比较，分析，综合，归纳，类比，猜想，验证，抽象，概括，特殊化，一般化猜想，验证，抽象，概括，特殊化，一般化)尝试，尝试，再尝试尝试，尝试，再尝试(不断调整方向、角度、切入点不断调整方向、角度、切入点)学会自己制定计划，安排学习生活，不依赖老师布置任务学会自己制定计划，安排学习生活，不依赖老师布置任务 一个等待他人布置任务才知道有事干的人，是不可能有出息的。一个等
45、待他人布置任务才知道有事干的人，是不可能有出息的。已知：已知：a,b是实数是实数,函数函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f(x)和和g(x)分别是分别是 f(x),g(x)导函数导函数,若若f(x)g(x)0在区间在区间I 上恒成立上恒成立,就称就称f(x)与与g(x)在在I上上单调一致单调一致.它是一个什么问题？求什么它是一个什么问题？求什么?是多项式函数代数证明题是多项式函数代数证明题,与导函数性质有关与导函数性质有关;(2)求区间长度求区间长度|b-a|的最大值的最大值.(1)b是什么是什么?导函数导函数 f(x)和和g(x)怎么表示怎么表示?f(x)=3x2+a 和和
46、g(x)=2x+bf(x)g(x)0 是什么是什么?具体化具体化.得得(3x2+a)(2x+b)0,即即(3x2+a)(2x+b)0 在在 I 上恒成立上恒成立.这句话是什么这句话是什么(意思意思)？即在即在-1,+)中任取一个数代入中任取一个数代入,不等式不等式都成立都成立.取特殊值取特殊值 x=-1 代入代入,得得(3+a)(-2+b)0,(3+a)？(b-2)?得得 b-20,b2.即即b是是 g(x)常数项常数项.(1)a0,求参数求参数b的取值范围的取值范围;具体化看一看。具体化看一看。由此可推出什么由此可推出什么?由由a0,知知 3+a0;b2,+)理解题意，逐一追问：理解题意，逐
47、一追问：它是什么它是什么?怎么表示怎么表示?具体化具体化.理清楚写下来理清楚写下来.(1)设设a0，I=-1,+),求求 b 的取值范围的取值范围;(2)设设a0,ba,I是以是以 a,b 为端点的开区间为端点的开区间,求求|b-a|的最大值。的最大值。I是是a,b为端点开区间为端点开区间.表示什么表示什么?区间区间I 开的开的,a,b为为左右端点左右端点,不定不定.(3x2+a)(2x+b)0 在在Ia,b恒成立恒成立.(2)求区间长度求区间长度|b-a|的最大值的最大值.现现a0,那那b是什么是什么?b0?b0?不妨先假设一种情况。不妨先假设一种情况。设设b0,由由 a0,b0,得得 ab
48、0b0,则则b为右端点为右端点.有什么性质有什么性质?在在(a,b)上上 f(x)g(x)0 恒成立恒成立,具体化具体化,推出什么结论推出什么结论?取特殊值取特殊值.取取0(a,b)，则，则 f(0)g(0)0，得得 f(0)g(0)=ab0,与与矛盾。矛盾。即即 b0不可能，不可能，所以所以 b0。a0,b0,I (-,0.(负半轴负半轴)此时此时 f(x),g(x)有什么性质有什么性质?x0,则则g(x)=2x+b0 那那 f(x)有什么性质？即有什么性质？即是是f(x)0呢呢?还是还是f(x)0呢呢?f(x)在零点两侧异号在零点两侧异号，所以所以先求零点：先求零点：x=?时，时，f(x)
49、=0。f(x)=3x2+a=0,解得解得x=(零点零点)点点C(-,-,0)是是(-,0上分段点；上分段点；分段点表示什么？分段点表示什么？(-,0 被分两段被分两段.|b-a|的的最大值最大值是什么意思？是什么意思？即即 a,b的最大值与最小值的差的最大值与最小值的差.若若-x-(右端点右端点)则则 f(x)0;(如图如图)由由得得,f(x)g(x)0，不满足不满足 f(x)g(x)0.若若-x0(左左)，则则 f(x)0，由，由式得，式得，f(x)g(x)0;(满足条件满足条件)所以所以 (-,0 为左为左端点。端点。这个结论还表示什么这个结论还表示什么(意思意思)?同时有同时有 a、b-
50、。已得结论已得结论 g(x)=2x+b0.a-，则，则 a2-a/3，解得解得-a0;b-,得得 b-，即即-b0;于是于是|a-b|，且当且当a=-，b=0时等号成立。时等号成立。当当a=-，b=0时，时，任取任取x-,0),即即-x0，代入代入,得得 f(x)g(x)=6x(x2-),x0，x2-0，f(x)g(x)0。所以所以|a-b|的最大值为的最大值为。在在Ia,b上上f(x)g(x)0恒成立恒成立.证明了必要性证明了必要性要证充分性要证充分性将将代入代入,八、八、解题教学解题教学教学生教学生“学解题学解题”学生的主要任务并不是解题，而是学生的主要任务并不是解题，而是“学学”解题解题