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1、教学生学会思考教学生学会思考南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹基基 本本 理理 念念教育的根本目标是教育的根本目标是“培养人培养人” “教育科学发展观教育科学发展观”的核心的核心培养什么样的人！培养什么样的人！ “国家的教育方针国家的教育方针”是什么？是什么？ 培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。 劳动者劳动者用自己的劳动用自己的劳动为自己获得利益为自己获得利益，为社会创造价值。为社会创造价值。 社会主义社会主义人的人的 社会属性，社会责任，社会属性，社会责任， 国家国家和和民族；民族；人类人类和和历史；历史；现在现在和和未来。未来。 条件条件
2、(德、智、体德、智、体)全面发展；全面发展； 打基础！打基础！教育的教育的 科学发展观科学发展观 全面发展全面发展 教育部教育部(2014)：发展学生的发展学生的“核心素养核心素养”。学生的核心素养：学生的核心素养：能够适应终身发展和社会发展需要的能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格必备品格和和关键能力关键能力。道德素养道德素养, 文学素养文学素养, 人文素养人文素养, 数学素养数学素养, 科学素养科学素养, 艺术素养艺术素养, 体育素养。体育素养。通过参与各种社会活动通过参与各种社会活动, 各门学科的学习活动培养而逐步形成。各门学科的学习活动培养而逐步形成。 一、教育的一、教育的 科学发
3、展观科学发展观是什么是什么? 使学生充满对学习的热情使学生充满对学习的热情爱学爱学 充满充满 好奇心好奇心, 求知欲求知欲, 学习兴趣学习兴趣, 探求世界的积极态度探求世界的积极态度； 教师应该尽最大努力爱护教师应该尽最大努力爱护, 培养和激励学生的学习热情。培养和激励学生的学习热情。 使学生学会学习使学生学会学习会学会学 掌握学习的方法，学会掌握学习的方法，学会 自己独立地获取知识；自己独立地获取知识； 学会研究问题的方法，学会思考，学会从不知开始，学会研究问题的方法，学会思考，学会从不知开始， 一步一步一步一步 地地 达到问题的核心，直至最终的构建和解决。达到问题的核心，直至最终的构建和解
4、决。 发展学生的认识力发展学生的认识力 对世界对世界 (客观世界和主观世界客观世界和主观世界) 各种事物的认识能力。各种事物的认识能力。 科学的视角，想象力，洞察力，判断力，预见力，创造力。科学的视角，想象力，洞察力，判断力，预见力，创造力。知识是会忘记的，留下来的是教育。知识是会忘记的，留下来的是教育。爱因斯坦爱因斯坦 这个这个留下来的教育留下来的教育是什么？是什么？就是人的认识力。就是人的认识力。 培根说：知识就是力量。培根说：知识就是力量。 爱因斯坦说：想象力比知识更重要。爱因斯坦说：想象力比知识更重要。 知识重不重要？重要！知识重不重要？重要！ 知识知识 生活的基本常识，专业发展的基础
5、。生活的基本常识，专业发展的基础。 知识知识 通向认识力的必经之路，没有知识，认识力的发展就要落空。通向认识力的必经之路，没有知识，认识力的发展就要落空。掌握知识不是最终目的，掌握知识不是最终目的，发展发展认识力认识力才是才是教育的最大目标。教育的最大目标。 教育的教育的科学发展观科学发展观可持续发展可持续发展培养学生的培养学生的“数学核心素养数学核心素养”数学抽象数学抽象 积累从具体到抽象的活动经验积累从具体到抽象的活动经验, 通过抽象通过抽象, 概括去认识概括去认识,理解理解,把握把握,数学本质数学本质.数学推理数学推理 掌握推理的基本形式掌握推理的基本形式, 形成有论据形成有论据, 有条
6、理有条理, 合乎逻辑的表述论证的思维品质合乎逻辑的表述论证的思维品质.数学建模数学建模 能发现和提出问题能发现和提出问题, 建立数学模型建立数学模型, 求解模型求解模型, 提升应用能力提升应用能力, 增强创新意识增强创新意识. 直观想象直观想象 发展几何直观和空间想象能力发展几何直观和空间想象能力, 增强运用图形和空间想象思考问题的意识增强运用图形和空间想象思考问题的意识.数学运算数学运算 理解运算对象理解运算对象, 掌握运算法则掌握运算法则, 探究运算方向探究运算方向, 选择运算方法选择运算方法, 求得运算结果求得运算结果.数据处理数据处理 收集整理数据收集整理数据,提取信息提取信息,构建模
7、型构建模型,分析推断结论分析推断结论,养成通过数据思考的习惯养成通过数据思考的习惯. 核心问题核心问题为学生的全面发展、可持续发展作出什么样贡献为学生的全面发展、可持续发展作出什么样贡献?数学的核心价值数学的核心价值发展人的思维发展人的思维使人变得更聪明使人变得更聪明就是数学思维就是数学思维, 数学素质数学素质.教育的教育的科学发展观科学发展观数学教育价值观数学教育价值观欧几里德欧几里德: 对一般人而言对一般人而言, 数学的数学的思维思维方法比应用方法比应用更更重要重要. . 探索探索, 解题解题与论证的与论证的过程是数学学习的核心过程是数学学习的核心, 所以过程比结果更重要所以过程比结果更重
8、要.仅仅教结果是不能教智慧的仅仅教结果是不能教智慧的, 智慧往往表现在过程中智慧往往表现在过程中.只有在思维活动的过程中只有在思维活动的过程中, 才能够培养孩子正确的思考方法才能够培养孩子正确的思考方法.数学思维并非思维的唯一形式数学思维并非思维的唯一形式, 存在各种不同的学科思维形式存在各种不同的学科思维形式.各个学科中的各种不同思维都存在一般思维形式各个学科中的各种不同思维都存在一般思维形式: 观察观察, 比较比较, 分析分析, 综合综合, 抽象抽象, 概括概括, 是各门学科都离不开的思维方式是各门学科都离不开的思维方式(动作动作).“思维动作思维动作”就是就是“心理动作心理动作”. 在过
9、程中学思考在过程中学思考, 其实是学其实是学“思维动作思维动作”.教学是以名词为本还是以动词为本教学是以名词为本还是以动词为本? 强调过程就是要以动词为本强调过程就是要以动词为本.通过数学通过数学学会思维学会思维, 并非是想得更快并非是想得更快, 如何能够如何能够“与众不同与众不同”, 而是而是 如何使学生逐步学会想得更清晰如何使学生逐步学会想得更清晰, 更深入更深入, 更全面更全面, 更合理更合理.判断数学课成功的主要标准判断数学课成功的主要标准, 是否真正促进了学生思考是否真正促进了学生思考.处理好动手与动脑处理好动手与动脑,快与慢快与慢,多与少多与少,热闹与安静热闹与安静,独立思考与合作
10、交流的关系独立思考与合作交流的关系.在数学思维活动中学思考在数学思维活动中学思考二、数学教学的二、数学教学的“二重对应二重对应”原原理理 教与学对应原理教与学对应原理 教师的教教师的教 建立在建立在 学生的学学生的学 基础之上。基础之上。 教与数学对应原理教与数学对应原理 克服克服 教师教育中教师教育中“去数学化去数学化”的倾向，的倾向， 克服克服 课堂教学中课堂教学中 “活动脱离数学活动脱离数学”的倾向。的倾向。 教学的内容与数学知识对应教学的内容与数学知识对应 教学的知识结构与数学知识结构对应教学的知识结构与数学知识结构对应 教学情境与数学对象的本质对应教学情境与数学对象的本质对应 教学的
11、思维方法与数学思维方法对应教学的思维方法与数学思维方法对应 教学中的研究方法与数学研究方法对应教学中的研究方法与数学研究方法对应 教学中的表达方式与数学的表达方式对应教学中的表达方式与数学的表达方式对应 教学中教学中把握把握数学核心概念，数学核心概念，教教数学的数学的“大方法大方法”教学生学会思考教学生学会思考解解 题题 教教 学学南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹13805183730一、教学的首要任务一、教学的首要任务教教“怎样思考怎样思考” 经常听到学生说：经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。老师讲的我都懂，但自己做就不会了。” 什么原因？你老师没有把什么原因？你老师
12、没有把“让他自己会做让他自己会做”的方法教给他。的方法教给他。 首先是解决首先是解决“你是怎么想到的你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？然后解决怎样让他也想到？ 好的教师好的教师“想给学生听想给学生听”，“想给学生看想给学生看”。 差的教师做给学生看，或差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。让好学生做给差学生看。 教大多数学生能想到的方法教大多数学生能想到的方法“教育效法自然教育效法自然” (卢梭卢梭)。 教本原的方法，有教本原的方法，有“技巧技巧”也要教技巧怎么想出来的。也要教技巧怎么想出来的。 如求如求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到要想高斯怎么会想到“首尾相加首尾相
13、加”的的? 而不是仅学习而不是仅学习“首尾相加首尾相加”这一操作。这一操作。 教教“怎样思考怎样思考”，“怎样才能想到怎样才能想到”是数学教学的首要是数学教学的首要任务。任务。 学生的主要任务并不是解题，而是学生的主要任务并不是解题，而是“学学”解题解题 教师教师教的重点教的重点和学生和学生学的重点学的重点， 不在于不在于“解解”而在于而在于“学解学解”。作为作为关注关注“解解” ” 出发点出发点解题的结果解题的结果“学解学解” 出发点出发点思路的寻找思路的寻找作为作为关注关注学学解题解题核心核心学学思路的寻找思路的寻找 如何学如何学思路的寻找？思路的寻找？ 通过通过解题解题来来“学学”解题解
14、题二、解题教学二、解题教学教学生教学生“学解题学解题” “理解题意理解题意” 解题学习第一环节解题学习第一环节( (题设是第一所有题设是第一所有) ) 解题第一位的是理解题意，解题第一位的是理解题意，但它却往往被学习者所忽视但它却往往被学习者所忽视 善于解题的人用一半时间理解问题善于解题的人用一半时间理解问题, 只用另一半时间完成解答只用另一半时间完成解答 学生不能很好解题的最重要原因，学生不能很好解题的最重要原因， 没有树立没有树立重视理解题意重视理解题意的意识，的意识， 没有养成没有养成理解题意理解题意的良好习惯，的良好习惯， 更没有掌握更没有掌握如何理解题意如何理解题意的方法的方法.如何
15、着手解题如何着手解题如何理解题意如何理解题意三、学三、学 “从无到有从无到有” 地寻找思路地寻找思路学学寻找寻找 思路思路启发性启发性提示语提示语学学学用学用如何如何学学“从无到有从无到有”地地寻找思路寻找思路?遇到一个陌生的问题怎么去想？遇到一个陌生的问题怎么去想？如何如何“从无到有从无到有” 地地寻找思路？寻找思路？如何着手解题如何着手解题? 从无到有从无到有.由由“所有所有”探索探索“所无所无”. 1) )它是一个什么问题？它要求它是一个什么问题？它要求(证证)的是什么？的是什么？ 什么范畴的问题？什么范畴的问题？“盯着目标盯着目标”求求(证证)什么什么? 2) )现有哪些材料？现有哪些
16、材料？题设中的条件题设中的条件 3) )有哪些工具？有哪些工具？已经学过的已经学过的 相关概念、相关概念、 命题、公式命题、公式 和和 方法方法 4) )还需要哪些条件？还缺少什么材料？能否从现有的材料中找到？还需要哪些条件？还缺少什么材料？能否从现有的材料中找到？ 5) )如何运用这些如何运用这些 条件条件 和和 工具？工具？ 6) )是否还有条件没有利用？如何利用？是否还有条件没有利用？如何利用？ 这些思考，这些思考，不是不是 文字的简单浏览文字的简单浏览 和和 思想上的一掠而过，思想上的一掠而过， 是是深究深究每一个对象的意义、性质，每一个对象的意义、性质， 不同对象的关系不同对象的关系
17、, 特别特别 能否转换能否转换 为其它的意义、关系为其它的意义、关系. 这些思考并不是孤立进行，这些思考并不是孤立进行，是贯穿在上述所有问题思考之中。是贯穿在上述所有问题思考之中。 这是用于着手解题的这是用于着手解题的最基本的思考方法，最基本的思考方法，可以按部就班的思考。可以按部就班的思考。如何深究？如何转换如何深究？如何转换?其实其实, 这些都是我们这些都是我们人类本原的思想人类本原的思想.四、着手解题四、着手解题 的的 启发性提示语启发性提示语 五、理解题意五、理解题意 的的 启发性提示语启发性提示语 它是什么？如何表示？还能如何表示？它是什么？如何表示？还能如何表示？(转换转换) 它有
18、什么性质？如何表示？还能如何表示？它有什么性质？如何表示？还能如何表示？ 它们有什么关系？如何表示？它们有什么关系？如何表示？ 还能如何表示？还能如何表示？ 由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？ 中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？ 它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？如何深究？如何深究？ 对对题意题意深究深究如何转换？如何转换？ 将将形式形式转换转换教学生寻找解题思路教学生寻找解题思路 就要提供就要提供 有效的指导思维操作的策略有效的指导思维
19、操作的策略,解题的启发性提示语解题的启发性提示语 正提供了正提供了 有效的指导思维操作的程序。有效的指导思维操作的程序。 “它它” 每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号，每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号， 符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。已知函数已知函数 f (x)= (a0)是偶函数，求是偶函数，求 a.它是一个什么问题？它是一个什么问题？函数问题。函数问题。求什么？求什么？ 求求a。已有什么材料？条件是什么？已有什么材料？条件是什么？理解题意理解题意逐一搞清楚：逐一搞清楚：“它它”是什么是什么？怎么表示？还能？怎么表示
20、？还能 f(x) 是什么？是什么？含自然对数、分式的比较复杂函数，含自然对数、分式的比较复杂函数，xR。xxeaae1a0)1)(1(xxeeaa f (-x) = f (x)“偶函数偶函数”是什么是什么? f (- -x) =f (x)。xxeaaexf )(xxxxeaaeeaae f(- -x)是什么是什么? 还能怎么表示还能怎么表示?01aa a 是什么是什么? a 是参数是参数, a0。a =1a0若若 3a = 0.618, ak, k+1, kZ . 则则 k = .a - -1, 0 k = - -1k, k+1是什么是什么?求值问题求值问题; 求求 k, 区间端点区间端点,
21、整数整数. 3a = 0.618 是什么是什么?数学符号数学符号抽象符号抽象符号具体化具体化相邻整数区间相邻整数区间幂幂; 当当 a =? 时时 3k 3a 3k+1ak , k+1是什么是什么?kak+1- -1a 0 3a 30 3- -1 它能推出什么它能推出什么?3- -1=0.333a =0.618 1 = 30 还能推出什么还能推出什么? 解题基本策略解题基本策略a是什么是什么?a是是3的指数的指数.k, k+1也可作也可作3的指数的指数.kZ类比类比它们有它们有什么关系什么关系?3x有什么性质有什么性质?是什么问题是什么问题?求什么求什么?3x单单调调增函数增函数.3a = 0.
22、618(2011.13) 设设 1=a1a2a7, 其中其中a1, a3, a5, a7 成公比为成公比为 q 的等比数列的等比数列, a2, a4, a6 成公差为成公差为 1 的等差数列的等差数列, 求求 q 的最小值的最小值.涉及不等式组与数列涉及不等式组与数列, 奇数项成等比奇数项成等比,偶数项成等差偶数项成等差, 求公比求公比q的的最小值最小值.1=a1a2a7, 不减数列不减数列;它是什么它是什么?再看不等式组再看不等式组 1=a1a2a7,1 a2 q a2+1q2a2+2q3要要 q 最小最小,代入代入, 有有q1,由由q22, 由由q33,三不等式要同时满足三不等式要同时满足
23、, 33缺少缺少a2 和和 q ;1a2 ; q ;1a2q 必须必须a2要最小要最小, 则则a2=1.1a2q; a2, a4, a6 成等差数列成等差数列, 公差为公差为1.a2, a4=a2+1, a6=a2+2;a1, a3, a5, a7 成等比数列成等比数列, 公比公比q.a3=a1q=q, a5=q2, a7=q3; q ;2331 ,得得 q .2q1, q1;不等关系不等关系同时成立同时成立.33比较大小比较大小中途结论中途结论能利用吗能利用吗?它还能怎么表示它还能怎么表示?它是一个什么问题它是一个什么问题? 求什么求什么?它还能怎么表示它还能怎么表示? 还缺少什么还缺少什么
24、?a2 有什么性质有什么性质?q 有什么性质有什么性质?它还能怎么表示它还能怎么表示?代入中途结论代入中途结论.着手解题：着手解题：5c-3ab4c-a, 1214 已知正数a, b, c, 且 5c-3a b 4c-a, clnb a+clnc, 那么b/a 的取值范围是 . 与不等式有关的, 求参数的取值范围.求 b/a 的取值范围.将代入, 能找到 b/a 的其它表达式吗?所求是什么(意思)? 所求怎么表示? ? b/a ?只能到条件里去找！具体求什么?b/a中a和b都不知道, 怎么办? 5c-3a4c-a b/a7.得 b8a-a,b7a,b4c-a 5c-3ab a, b, c是正数
25、, (这极大便利了不等式运算)它还能怎么表示?即：b/a 大于什么? 小于什么?求左端点求左端点 b/a?实际是求“b/a取值范围”的左右端点左右端点.到哪里去找?clnba+clnc 没用上. b/a还能怎么表示?还有条件没用上吗?求得了右端点求得了右端点 ?, 7 由或可得, c 2a ,由这几个不等式还能推出什么? 它是什么问题?理解题意：理解题意：它(b/a)还能怎么表示?来看已知条件：它是什么(意思)?它由两个不等号连接, 实际是不等式组.需要多次尝试. 所以 x=e时, 即lnx=1时, y 取最小值, 已知：正数a, b, c, 且 5c-3ab4c-a, clnba+clnc,
26、 那么b/a的取值范围是 ? , 7 . e , 7 缺少什么?y=(x/lnx)=(lnx-1)/ln2x, 令 (lnx-1)/ln2x=0, 解得 x=e.得 a/b(c/b)ln(b/c).得 b/a y = e.用它能表示b/a 吗?两边同除以b,得 b/a x/ lnx, (lnx0).得 b/a y = x/lnx.xe 时, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0. (单调减减)即ymin= x/lnx=e.有很多参数, 能简化吗?得 b/a(b/c) / ln(b/c) , 在中令(b/c)=x, x/ lnx 表示为函数 y = x / lnx,来求函数y =x/ ln
27、x极值.xe 时, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0; (单调增增) ln(b/c) a/c0.它有意义吗它有意义吗?发现什么?缺少b.怎么办?有两个有两个( (b/ /c). .属于属于知识和技能知识和技能.添加b.要想得到 b/a, 怎么办?clnba+clnc a cln(b/c) ,颠倒分子分母,这个表达式还能怎么表示?怎么添?clnba+clnc 能表示b/a吗?x=e 是极值点.b/a还能怎么表示?换元换元. .1418. 如图,为保护河上古桥OA, 规划建一座新桥BC, 同时设立一个圆形保护区. 规划要求: 新桥BC 与河岸AB 垂直; 保护区的边界为圆心M 在线段OA
28、上并与BC相切的圆, 且古桥两段O与A到该圆上任意一点的距离均不小于80m, OC为河岸. 经测量, 点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正西方向170m, tanBCO=. (1)求新桥BC的长; (1)求图中BC的长. 逐字逐句理解题意：圆形保护区,tanBCO=.lAB: y-60=k(x-0), 应用问题.BC是什么?到题设中找.OA古桥, BC新桥,BCAB.圆心M 在OA上, M与BC相切.OA=60m, OC=170m.AB方程怎么表示?求什么?BCAB还表示什么?A(0,60), C(170,0), BC 是C点到直线AB距离.缺直线AB方程.k 还能怎么表示?可用BC
29、斜率表示.所以 k=.lAB: y = x-60,因此新桥BC长是150m.BC长.点C到直线AB距离：kBC=- tanBCO=-.(2)当OM多长时, 圆形保护区面积最大？O, A到 M圆周距离80m.还有什么条件没用?A, C还能怎么表示?它是一个什么问题?求距离还缺什么?BC斜率是什么?1505|24001703|d M与BC相切.设D是切点, 则MDBC.lBC: y= -(x-170).O与A到 M圆周的距离80m.O到 M最近距离是 MD-OM=r-d 80,A到 M最近距离是 MD-AM= r-(60-d)80,(2)当OM多长时, 圆形保护区面积最大? M 面积最大. M的半
30、径最大时.还有什么条件没有用上? M与BC相切是什么(意思)?M到直线BC的距离. M半径就是MD.则有M(0, d).它的斜率已知kBC=- .设MD=r, OM=d, 4x+3y-680=0.还有什么条件没用上?r-d 80,r-(60-d) 80.-d 80,-(60-d) 80.解得 10d35.故OM=10时, r最大, 即圆面积最大.当OM=10m时,保护区面积最大.BC任一点横坐标170圆形保护区面积最大是什么? M半径是什么?MD还表示什么?M坐标怎么表示?直线BC方程怎么表示?什么时候 M面积最大?怎么求?怎么去绝对值号?得方程组替换 r得例题 已知A, B是椭圆 上两点,
31、F1 是左焦点, 如果 |AF1|+|BF1|= (), AB中点 M 到左准线距离为 , 求椭圆方程.解几题, 求椭圆方程, 实际求a. a是长半轴 ; 半焦距 c = ;是A, B到左焦点F2 距离之和. , 19252222ayax有哪些材料? 设M(x0, y0).左准线方程:画画一一张张图图离心率 . 用中点公式:还表示中点M 横坐标x0:横坐标作差.还表示什么?中点M 到左准线距离还能怎么表示?它是一个什么问题? 求什么?理解题意理解题意.A, B 怎么表示?这个椭圆有什么性质(基本量)?式是什么? AB中点怎么表示?还能怎么表示?怎么求椭圆方程?设A(x1, y1), B(x2,
32、 y2).左准线怎么表示?左准线是什么?短半轴 b = ;53a512a5454a45a452acax2210 xxx2210yyy2323x0 + = M到左准线距离45230axacea是什么?得中途结论得中途结论. |AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a.前已得左准线方程 x=- 由A点有: , 化简得 |AF1|= x1+a 由B点有: , 化简得 |BF1|= x2+a 得 |AF1|+|BF1|= (x1+x2)+2a 得 (x1+x2) +2a = , 化简得 x1+x2= 前已得中点M 的x0两种表示： 得 , 解得 a = 1 .椭圆方程是 . 求椭圆方
33、程有哪些工具求椭圆方程有哪些工具? 192522yx中途结论能否利用? 如何利用?怎么表示怎么表示?椭圆第一定义:椭圆第二定义:中途结论能否利用?已知条件 |AF1|+|BF1| = 是否有条件没利用?能否利用?5445|11eaxAF45a5445|21eaxBF512a512a2a2210 xxx45230ax,253a得 x1+x2= 2253aa是什么?A点与准线距离为横坐标作差(201619) 已知函数f(x)axbx(a0, b0, a1, b1).(1)设a2, b . 求方程 f(x)2 的根; 若对于任意 xR, 不等式 f(2x)mf(x)6 恒成立, 求实数m的最大值;
34、它是什么问题? 求什么?有关指数函数有唯一零点的问题. ab 的值是什么呢?值可能是什么? 怎么猜?深究题意.若ab1,a=2, b=2-1, ab=1.ab=?会不会就是ab=1呢?需要证明.若 ab=1, 则 b=a-1,f(x)=ax+a-x2 =2, 当且仅当x=0时取等号.g(x)=f(x)-2 有唯一零点. 因此,ab=1, g(x)有唯一零点给出什么启发?那么ab1时, g(x)是否也有唯一零点呢?由g(0)=f(0)-2=a0b0-2=0, 知x=0是g(x)零点. 是否能找到另一零点?如果能找到, 那就引出了矛盾, 只能ab=1.求g(x)驻点,g(x)= axlna+bxl
35、nb=0, 即axlna=-bxlnb, 得 , 为此来研究 g(x) 的单调性,0a1, b1 0,balnlnbaabxlnlnbaxablnlnlog0于是 是g(x)=0唯一解.即唯一驻点.不妨设ab1, lna+lnb0 lna-lnb 1balnln 0.baxablnlnlog0 xxaa21能不能猜一猜?则 lnab0只看第(2)小题符合题意.单调性如何呢 ?g(x)是什么?g(x)=f(x)-2=ax+bx-2.求 ab的值.(2)若0a1, b1, 函数 g(x)f(x)-2 有且只有 1个零点, 求 ab 的值.看第(1)小题:对g(x)求导, g(x)=ax(lna)2
36、+bx(lnb)20,知 g(x)是(-,+)上单调增函数,则 对任意x(x0, +), g(x)g(x0),进而 g(x)在(x0, +)上是单调增函数.由零点定理来找取正负函数值两点.由单调区间, 可知g(x0)g(0)=0,g(loga2)=aloga2 + bloga2 -2 即g(loga2)0; 即g(x1) = 0, 又0a1, 则loga20, 即x10, 于是 x1和 0是 g(x)的两个不同的零点. 这与题意g(x)有唯一一个零点相矛盾. 所以不可能有ab1.若ab1, 同理可证g(x)有两个不同的零点, 与题意矛盾. 所以不可能有ab1. 综上所述, ab=1.由g(x)
37、是单调增函数可以推出什么?然而求出驻点仍不能判断g(x)单调性, 于是进而来研究导函数g(x)单调性.20 x能取到g(x1)0吗?怎么找这个M 呢?函数单调性与其零点有什么关系?能否由单调性寻找另一零点呢?假如能找到M 0, 有g(M)0,而且 x10, 于是g(x1)=0, g(0)=0,即 g(x) 有 0 和 x1两个不同的零点,这与 g(x) 有且只有一个零点矛盾.所以不可能有ab1.这就找到了M=loga2. 要g(M)0,即要g(M)=aM+bM-20, 即要aM-2=0, 取以a为底的对数, 得M=loga2, 有g(M)=bM-2=bloga2 -2=0, 20 x20 x并
38、且g( )0.那在 和M之间存在g(x)的零点x1,在 和 loga2 之间存在g(x) 的零点x1,20 x 0,aloga2 -2=0,且M=loga20.放缩已知函数f(x)=ex+e-x, 其中e是自然对数的底数. (1)证明: f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式 mf(x)e-x+m-1 在(0,+)上恒成立, 求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足: 存在x01,+ ), 使得f(x0)a(-x03+3x0)成立. 试比较ea-1与ae-1 的大小, 并证明你的结论. (1419)要比较ea-1与ae-1 大小, 将 f(x0)具体化, 寻找a的范围, 需研究g(x)
39、的性质.g(x)= ex+e-x +3a(x2-1),所以 g(x)在1,+)上单调增.存在x01,+ ), g(x0)0成立, 于是可得e+e-1-2a0, 进而得 a .是函数证明题, 与自然对数底数, 不等式有关.比较 ea-1与ae-1大小. a是什么? a是不等式中的参数, a0.只看第(3)小题.f(x)=ex+e-x,存在x01,+ ), 使得 f(x0)a(-x03+3x0)成立.怎么求 a 的取值范围?a只在 f(x0)a(-x03+3x0)中, 怎么找呢?令 g(x)=ex+e-x-a(-x3+3x), ex+e-x0, 当x1时,从而g(x)0,在1,+)上, g(x)m
40、in=g(1)= e+e-1-2a. (左端点最小).有哪些条件?它是什么意思?范围与单调性相关.x1, + )时, ex+e-x -a(-x+3x)0,它是一个什么问题?求什么?a在哪儿?什么性质?怎么研究? a 的取值范围的取值范围.g(1)0 ; 反之, 当g(1)0 时, 成立.这就求得 a 的取值范围.需要什么条件?只能从这个不等式里寻找.而x2-10, a0,可用作差法, 令 h(x)=x- -1- -(e- -1)lnx, 来看h(x)的单调性情况. h(x) =1-(e-1)x-1, 令h(x)=0, 当 x(0, e-1)时, 有 h(x)0,可知当 x(e-1,+)时, 有
41、 h(x)0,可知 所以 h(x)在(e-1, +)上最小值是h(e-1).因为1e-1e,要比较ea-1与ae-1的大小, 易知 h(1)=h(e)=0,由h(x)单调性,现在可以来比较 ea-1 与 ae-1 的大小. a ,当a( , e )时, 则h(a)0, 即有 a-1(e-1)lna, 当a=e时, 当a(e, + )时, 则h(a)h(e)=0, 从而而 1 e ,看到e, 对它们取自然对数, 得 a-1和(e-1)lna.h(x)0.所以 h(e- -1) 0. ( (负负) )h(x)在(0, e-1)上单调减;h(x)在(e-1, + )上单调增.指数可以转化为对数,怎么
42、比较呢?比较它们大小即可.需对 h(a) =a- -1- -(e- -1)lna 分类讨论:ea- -1ae- -1;得ea- -1=ae- -1;即 a-1(e-1)lna,ea- -1ae- -1.y=ex, y=lnx均单调增,比较大小与函数什么性质有关? 单调性.用什么方法?h(x)有没有零点?与h(x)零点比较.还原为指数式得:ea-1, ae-1;得 x=e- -1.知x(1, e)时,a 的取值范围: a . h(e-1)是正,是负呢?极值点.1ae,h(e)=0,ae, (2015.19) 已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a, bR) . (1)试讨论f(x)的单调性;(
43、1) 若a=0, 则 f(x) 在(-, +) 上单调增; (2) 若a0 , 则 f(x) 在 (-, 0)(-2a/3, +) 上单调增; 在 (0, -2a/3) 上单调减; 若a0 , 则 f(x) 在 (-, -2a/3)(0, +) 上单调增, 在 (-2a/3, 0)上单调减. 与单调性, 零点有关的函数问题, 求c的值. 已知b=c-a, f(x)图像与x轴有三个交点, 且a0.(2)是什么问题? 求什么? c是什么?a, b是什么?a, b是函数 f(x)=x3+ax2+b(a, bR)的参系数. 有什么条件?三次函数 f(x) 有三个不同零点.它是什么(意思)?可推出什么?
44、 有什么条件或中途结论没有利用?没有?第(1)小题结论能不能利用? f(x)单调性可以推出什么?f(x)有2个极值与f(x)有三个零点有什么关系? 2个极值f(0)和f(-2a/3)一正一负.哪个为正, 哪个为负?将 f(x)单调性列表.x(-, 0)0(0, -2a/3)-2a/3(-2a/3, +)f(x) 增 极大极大 减极小极小 增 同理a0时, f(x) 也有2个极值. a0时, f(0)0, f(-2a/3)0.a0时,有有2个极值个极值.(2)若b=c-a (实数c是与a无关的常数), 当函数 f(x) 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是(-, -3)(1, 3/2 )(3/
45、2, +), 求 c 的值.看题设看题设.若a0, 则x1=0, x2=-2a/3时, f(x)取极值.a0时, f(0)0, f(-2a/3)0. f(0)极小, f(-2a/3)极大. f(0)极大, f(-2a/3)极小. f(x)有三个不同零点时, a 取值范围恰好是(-, -3)(1, 3/2 )(3/2, +). aa 3274)32(af ba 3274 f(0) 0 , 0. c-a 0, 0. b0, 0.aca3274a0, 由推得 ca, 即 c-3;由可以推出什么呢?由可以推出什么呢?由推得 c .右边表示什么?g(a)= .aa 3274它是什么?用函数方法研究它.g
46、(a)= 1- a2 94g(a)在(-, -3)上单调减, g(-3)是最小值(在右端点取最小值), 由知 c1. a0, a(1, 3/2 ) (3/2, +) f(0) 0 , 0. c-a 0, 0. b0, 0.aca3274ba 3274)32(af a(1, 3/2), g(a)= 1- a2 0, g(a)在(1, 3/2)上单调增; 同上, 由得 c .aa 3274设 g(a)= ,aa 327494可知 g(a)取得极大值.a(3/2, +), g(a)= 1- a2 0, g(a)在(3/2, +)上单调减; 94令 g (a)=0, 得 a=3/2 (驻点), 综上得
47、综上得 c=1.所以 g(3/2)=1(极大值), 由知 c1.g(-3)=1,从而得 - -3c1. 函数.0,a(-, -3)f(x)两个极值一正一负时, a 取值范围恰好是(-, -3)(1, 3/2 )(3/2, +). 等价于等价于恰好就是等价恰好是什么?a(1, 3/2) (3/2, +)a(-, -3)现在看问题的必要性：现在看问题的必要性：当c=1时, 因为函数 f(x) 有三个不同的零点, 所以 x2 + (a-1)x + 1-a = 0 有异于 -1 的不相等的两个实根, 则 (-1)2-(a-1)+1-a0 , 且 = (a-1)2 - 4(1-a) = a2 + 2a
48、-30. 解得 a-3且a1, 即 a(-, -3)(1,+ ); 232323综上综上 c =1. f(x) = x3 + ax2 + 1-a = (x +1)x2 + (a-1)x + 1-a ,所以 a(-, -3)(1, )( , +).解得 a ;六、培养学生良好的读题习惯六、培养学生良好的读题习惯1要求学生解题时先反复读题。要求学生解题时先反复读题。2要求学生用自己的语言反复叙述问题。要求学生用自己的语言反复叙述问题。3要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。4要求用不同的表达方式反复叙述问题。要求用不同的表达方式反复叙述
49、问题。5要求解释题中各个名词的意义要求解释题中各个名词的意义(用概念思考用概念思考)，包括每个符号，包括每个符号 的含义的含义(用符号表示用符号表示)，每句话的含义，每句话的含义(换一种说法或表述换一种说法或表述)。 6要求尽可能画一张图。要求尽可能画一张图。7要求尽可能对每个名词要求尽可能对每个名词, 每个符号每个符号, 每句话换一种表示。每句话换一种表示。8要求把看不懂的符号或表达式具体化。要求把看不懂的符号或表达式具体化。(抽象符号具体化抽象符号具体化)9要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的 表达形式。表达形式。10要求
50、发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。七、培养学生寻找解题思路七、培养学生寻找解题思路 数学解题的启发性提示语要在数学解题的启发性提示语要在“用用”上下工夫上下工夫 数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展 看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。 关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了， 解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。 必须