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1、3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解(4)一一.基础知识基础知识1函数零点的定义函数零点的定义：方程方程有有实根实根 函数函数图象与图象与轴有轴有交点交点 函数函数有有零点零点。2函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（1）定理）定理：如果函数：如果函数 在区间在区间 上的图象上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有是连续不间断的一条曲线，并且有 那么函数那么函数 在区间在区间 内有零点，即存在内有零点，即存在 使得使得 ,这个这个 也就是方程也就是方程 的实数根。的实数根。（2）连续函数）连续函数变号了一定有零点变号了一定有零点（
2、能证明（能证明f(x)单调则有且只有一个零点）；单调则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如二重零点）：不变号不一定无零点（如二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。3（1）一次函数）一次函数y=ax+b的零点：的零点：一定为变号零点一定为变号零点（2）二次函数）二次函数 的零点：的零点：借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程 2 2x x+3x=7+3x=7 的近似解的近似解(精确到精确到0.1).0.1).方法三：方法三：画出画出y=2y=2x x及及y y=-3x-7=-3x-7的图象的图象方法一：方法一：
3、用计数器或计算机作出用计数器或计算机作出x,f(xx,f(x)的对应值表的对应值表方法二：方法二：用几何画板作出函数用几何画板作出函数y=y=f(xf(x)的图象的图象用用几何画板几何画板软件，演示软件，演示用用EXCLEEXCLE软件，演示软件，演示给给定精确度定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)零点近似解的步零点近似解的步骤骤如下：如下：二分法的解题步骤二分法的解题步骤,给给定精确度定精确度 ；确定区确定区间间a,b,验证验证求区求区间间(a,b)的中点的中点 ；计计算算f(）；）；若若f()=0，则就是函数的零点就是函数的零点；若若，则则令令b=()；此此时时零点零点若，则令
4、a=(此时零点)；判断是否达到精确度：即若|a-b|,则则得到零点近似得到零点近似值值为为a(或或b);否否则则重复重复 关于二分法的适用范围和精确度关于二分法的适用范围和精确度(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；(2)若起始区间是长度是若起始区间是长度是1,则经过则经过n次二分法以后次二分法以后,精精确度为确度为 ,估计达到精确度估计达到精确度 至少需要使用二至少需要使用二分法的次数分法的次数:满足满足 ,的最小自然数的最小自然数n.(3)例例1求函数求函数的
5、零点，并画出它的的零点，并画出它的图图象。象。解解:所以零点所以零点为为分成分成4个区个区间间，然后列表描点画，然后列表描点画图图，3个零点把横轴个零点把横轴例例2已知函数已知函数的的图图象如象如图图所示，所示，则则A B C D12例例3已知函数已知函数的的图图象与象与轴轴的交点至少有一个在原点右的交点至少有一个在原点右侧侧，则实则实数数的取的取值值范范围围是（是（）B C DA例例4求求的近似值。（精确度的近似值。（精确度0.1）解解:x=再利用二分法求近似根再利用二分法求近似根例例5（上海（上海02高考）、高考）、已知函数已知函数（1）求证：）求证：f(x)在在（2）若）若a=3,求方程求方程f(x)=0的正根（精确到的正根（精确到0.1）为增函数。为增函数。作业作业完成完成 ,