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1、25.2 用列举法求概率用列举法求概率（第二课时）（第二课时）一一.等可能事件的两大特征：等可能事件的两大特征：1、可能出现的结果只有有限个；、可能出现的结果只有有限个；2、各种结果出现的可能性相等。、各种结果出现的可能性相等。就是把可能出现的对象一一列举出来分析就是把可能出现的对象一一列举出来分析求解的方法求解的方法二二.什么是列举法？什么是列举法？等可能性事件的概率可以用等可能性事件的概率可以用列举法列举法而求得。而求得。列举法求概率列举法求概率（1）直接分类列举（枚举法）直接分类列举（枚举法）（2）列表法）列表法 当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两个因素时，且可能出现的时，且可能出现
2、的结结果较多果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用通常用列表法列表法。当一次试验涉及当一次试验涉及3 3个因素或个因素或3 3个以上个以上的因素的因素时，列表法就不方便了，为时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结不重复不遗漏地列出所有可能的结果，此时我们又用什么方法呢？果，此时我们又用什么方法呢？例例1 1、甲口袋中装有、甲口袋中装有2 2个相同的小球，它们分别个相同的小球，它们分别写有字母写有字母A A和和B B；乙口袋中装有；乙口袋中装有3 3个相同的小球，个相同的小球，它们分别写有字母它们分别写有字母C C、D D和和
3、E E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2 2个个相同的小球，它们分别写有字母相同的小球，它们分别写有字母H H和和I I。从。从3 3个个口袋中各随机地取出口袋中各随机地取出1 1个小球。个小球。（1 1）取出的）取出的3 3个小球上恰好有个小球上恰好有1 1个、个、2 2个和个和3 3个个元音字母的概率分别是多少？元音字母的概率分别是多少？（2 2）取出的）取出的3 3个小球上全是辅音字母的概率是个小球上全是辅音字母的概率是多少？多少？本题中元音字母本题中元音字母:A E I :A E I 辅音字母辅音字母:B C D HB C D H甲口袋中装有甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母个相
4、同的小球，它们分别写有字母A和和B；乙口袋中装有乙口袋中装有3个相同个相同的小球，它们分别写有字母的小球，它们分别写有字母C、D和和E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别个相同的小球，它们分别写有字母写有字母H和和I。从从3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1个小球。个小球。（1）取出的）取出的3个小球上恰好有个小球上恰好有1个、个、2个和个和3个元音字母的概率分别是多少？个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？个小球上全是辅音字母的概率是多少？甲甲乙乙丙丙ACDEHI HI HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADH
5、ADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI解：由图得，所有可能出现的结果解：由图得，所有可能出现的结果有有12个，它们出现的可能性相等。个，它们出现的可能性相等。（1）满足只有一个元音字母的结果）满足只有一个元音字母的结果有有5个，则个，则 P（一个元音）（一个元音）=满足只有两个元音字母的结果有满足只有两个元音字母的结果有4个，个，则则 P（两个元音）（两个元音）=满足三个全部为元音字母的结果有满足三个全部为元音字母的结果有1个，则个，则 P（三个元音）（三个元音）=（2）满足全是辅音字母的结果有）满足全是辅音字母的结果有2个，则个，则 P（三个辅音）（三个辅音）=树形图：树形图又称树
6、图或树状图。用树形图：树形图又称树图或树状图。用“树树”样样的图形把此事件发生所有可能出现的结果和所有可能的图形把此事件发生所有可能出现的结果和所有可能出现的结果表示出来，再通过计算此事件所有可能出出现的结果表示出来，再通过计算此事件所有可能出现的结果数和所有可能出现的结果数的比值求得概率现的结果数和所有可能出现的结果数的比值求得概率当一次试验涉及当一次试验涉及3 3个因素或个因素或3 3个以上的因素个以上的因素时，列时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用能的结果，通常用树形图树形图用树形图列举出的结果看起来一目了然，用树形图
7、列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多次步骤（三步以上）完成时，当事件要经过多次步骤（三步以上）完成时，用这种用这种“树形图树形图”的方法求事件的概率很有效的方法求事件的概率很有效.当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时,用列用列表法就不方便了表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用通常采用“树形图树形图”.树形图的画法树形图的画法:一个试验一个试验第一个因素第一个因素第二个第二个第三个第三个 如一个试验如一个试验中涉及中涉及3 3个因素个因素,第第一个因素中有一个因素中有2 2种种可能情况可能情况;
8、第二个第二个因素中有因素中有3 3种可能种可能的情况的情况;第三个因第三个因素中有素中有2 2种可能的种可能的情况情况,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图.n=2n=23 32=122=12例例2 2 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)(1)三枚硬币全部正面朝上三枚硬币全部正面朝上;(2)(2)两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;(3)(3)至少有两枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上.正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试
9、验抛掷硬币试验解解:由树形图可以看出由树形图可以看出,抛掷抛掷3 3枚硬币共有枚硬币共有8 8种等可能的结果种等可能的结果.P(A)P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上(记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18=P(B)P(B)38=(2)2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上朝上(记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝上满足至少有两枚硬币正面朝上(记记为事件为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C)P(C)48=12=第第枚枚根据题意画树形图如下：根
10、据题意画树形图如下：例例2.2.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢由哪两人先打呢?他们决他们决定用定用 “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定,游戏时三人每游戏时三人每次做次做“石头石头”“剪刀剪刀”“布布”三种手势中的一种三种手势中的一种,规定规定“石头石头”胜胜“剪刀剪刀”,“剪刀剪刀”胜胜“布布”,“布布”胜胜“石石头头”.问一次比赛能淘汰一人的概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪
11、剪布布石石剪剪布布剪剪布布 由树形图可以看出由树形图可以看出,游戏有游戏有2727种等可能的结果。种等可能的结果。由规则可知由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪石石剪”“剪剪布剪剪布”“布布石布布石”三类三类.而满足条件而满足条件(记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种 P(A)=P(A)=13=927解：根据题意画树形图如下：经过某十字路口的汽车，它可能继续经过某十字路口的汽车，它可能继续直直行，行，也可能也可能左左转或转或右右转，如果这三种可能性大小转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字相同，同向而行的三辆汽车都经过这个
12、十字路口时，求下列事件的概率：路口时，求下列事件的概率：（1 1）三辆车全部继续直行）三辆车全部继续直行（2 2）两辆车右转，一辆车左转）两辆车右转，一辆车左转（3 3）至少有两辆车左转）至少有两辆车左转 左左左左直直右右左左 直直 右右 左左 直直 右右左左 直直 右右直直左左直直右右左左 直直 右右 左左 直直 右右左左 直直 右右右右左左直直右右左左 直直 右右 左左 直直 右右左左 直直 右右第一辆车第一辆车第二辆车第二辆车第三辆车第三辆车解：列出解：列出 三辆车行驶方向可能性的树状图为：三辆车行驶方向可能性的树状图为：由树形图得，共有由树形图得，共有27种等可能的结果。种等可能的结果
13、。（1）三辆车全部继续直行的结果有）三辆车全部继续直行的结果有1个，则个，则 P（三辆车全部继续直行）（三辆车全部继续直行）=（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则个，则 P（两辆车右转，一辆车左转）（两辆车右转，一辆车左转）=（3）至少有两辆车左转的结果有）至少有两辆车左转的结果有7个，则个，则 P（至少有两辆车左转）（至少有两辆车左转）=想一想，什么时候使用想一想，什么时候使用”列表法列表法“方便，什么时候使用方便，什么时候使用”树形图法树形图法“方方便？便？当事件要经过多个步骤完成时当事件要经过多个步骤完成时:三步以上三步以上,用这用这种种”树形图树
14、形图”的方法求事件的概率很有效的方法求事件的概率很有效.当事件涉及两个元素，并且出现的结果数目为了当事件涉及两个元素，并且出现的结果数目为了不重不漏列出所有可能的结果，用列表法不重不漏列出所有可能的结果，用列表法 利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出某个事件发生的可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生从而较方便地求出某些事件发生的的概率概率.当试验包含当试验包含两步时两步时,列表法列表法比较方便比较方便,当然当然,此此时也可以用树形图法时也可以用树形图法,当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时,用用树形图法方便树形
15、图法方便.这节课我们学习了哪些内容？通过学习这节课我们学习了哪些内容？通过学习你有什么收获？你有什么收获？1 1、当一次试验涉及、当一次试验涉及两个因素两个因素时，且可时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列出所有可能的结果，通常用列表法列表法 2 2、当一次试验涉及、当一次试验涉及3 3个因素或个因素或3 3个以上个以上的因素的因素时，列表法就不方便了，为不重复时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树树形图形图小明和小丽都想去看电小明和小丽都想去看电影影,但只有一张
16、电影票但只有一张电影票.小明提议小明提议:利用这三张利用这三张牌牌,洗匀后任意抽一张洗匀后任意抽一张,放回放回,再洗匀抽一张牌再洗匀抽一张牌.连续抽的两张牌结果为连续抽的两张牌结果为一张一张5 5一张一张4 4小明去小明去,抽抽到到两张两张5 5的小丽去的小丽去,两张两张4 4重新抽重新抽.小明的办法对小明的办法对双方公平吗双方公平吗?一黑一红两张牌一黑一红两张牌.抽一张牌抽一张牌,放回放回,洗匀洗匀后再抽一张牌后再抽一张牌.这样这样先后先后抽得的两张牌有抽得的两张牌有哪几种不同的可能哪几种不同的可能?他们的他们的概率各是多少概率各是多少?第一次抽出第一次抽出一张牌一张牌第二次第二次抽抽出出一
17、张牌一张牌红红牌牌黑黑牌牌红牌红牌黑牌黑牌红牌红牌黑牌黑牌画树状图画树状图红红,红红;枚举枚举红红,黑黑;黑黑,红红;黑黑,黑黑.黑牌黑牌列列 表表可能产生的结果共可能产生的结果共4个。每种出现的可能性相等，各为个。每种出现的可能性相等，各为 即即概率都为概率都为第一次第二次红牌黑牌 红牌黑牌（红，红）（黑，黑）（黑，红）（红，黑）利用利用枚举枚举（把事件可能出现的结果一一列出）、（把事件可能出现的结果一一列出）、列表列表（用表格列出事件可能出现的结果）、（用表格列出事件可能出现的结果）、画树状图画树状图（按事件发生的次序，列出按事件发生的次序，列出事件可能事件可能出现的结果）出现的结果）的方
18、法求出共出现的结果的方法求出共出现的结果n和和A事件出现的结果事件出现的结果m，在用公式，在用公式 求出求出A事件的事件的概率为概率为列举法列举法1.一个不透明的袋子中装有一个不透明的袋子中装有2个红球和个红球和2个个绿球，张敏现在从袋子中随机摸出一个球绿球，张敏现在从袋子中随机摸出一个球不再放回，然后再从袋子中摸出一球。求不再放回，然后再从袋子中摸出一球。求两次摸出的球颜色相同的概率。两次摸出的球颜色相同的概率。相信你能很快相信你能很快找到好的方法找到好的方法2.2.小明是个小马虎小明是个小马虎,晚上睡觉时将晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿
19、了两只就去上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？双袜子的概率是多少？解：设两双袜子分别为解：设两双袜子分别为A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2，则则B1A1B2A2开始开始A2 B1 B2A1 B1 B2A1 A1 B2A1 A2 B1P(相同一双袜子相同一双袜子)=第一只第一只第二只第二只4.4.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的个不同的盒子内盒子内(每盒装球不限每盒装球不限),),计算计算:(1)(1)无空盒的概率无空盒的概率;(2)(2)恰有一个空盒的概率恰有一个空盒的概率.
20、4.4.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的盒子内个不同的盒子内(每盒装球每盒装球不限不限),),计算计算:(1):(1)无空盒的概率无空盒的概率;(2);(2)恰有一个空盒的概率恰有一个空盒的概率.1 2 3盒盒1投球开始投球开始球球球球球球123123123盒盒2盒盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解:由树形图可以看出由树形图可以看出,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等.P(P(无空盒无空盒)=)=(1)(1)无空盒的结果有无空盒的结果有6 6个个6
21、2729=(2)(2)恰有一个空盒的结果有恰有一个空盒的结果有1818个个 P(P(恰有一个空盒恰有一个空盒)=)=182723=3.3.用数字用数字1 1、2 2、3,3,组成三位数组成三位数,求其中恰有求其中恰有2 2个相同的数个相同的数字的概率字的概率.1 2 31组数开始组数开始百位百位个位个位十位十位123123123231 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解:由树形图可以看出由树形图可以看出,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等.其中恰有其中恰有2 2个数字相同的结果有个数
22、字相同的结果有1818个个 P(P(恰有两个数字相同恰有两个数字相同)=)=182723=思考二思考二巩固巩固练习练习：在一个盒子中有：在一个盒子中有质质地均匀的地均匀的3个小球，其中两个个小球，其中两个小球都涂着小球都涂着红红色，另一个小球涂着黑色，色，另一个小球涂着黑色，则计则计算以下事件的算以下事件的概率概率选选用哪种方法更方便？用哪种方法更方便？1、从盒子中取出一个小球，小球是、从盒子中取出一个小球，小球是红红球球2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的的颜颜色相同色相同3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，、从盒子
23、中每次取出一个小球，取出后再放回，连连取了三取了三次，三个小球的次，三个小球的颜颜色都相同色都相同复复 习习例题例题2 2思考一思考一 例题例题4 4课堂小结课堂小结练习练习用列举法求概率直接列直接列举举列表法或列表法或树树形形图图树树形形图图 练习练习（1）两道）两道单项选择题单项选择题都含有都含有A、B、C、D四个四个选项选项，若某学生不，若某学生不知道正确答案就瞎猜，知道正确答案就瞎猜，则这则这两道两道题题恰好全部被猜恰好全部被猜对对的概率是（的概率是（）A B C D （2）如图，小明的奶奶家到学校有）如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆条路可走，学校到小明的外婆家也有家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有法共有_种种141218116复复 习习例题例题2 2思考一思考一 例题例题4 4思考二思考二课堂小结课堂小结用列举法求概率D D9 9