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1、25.2. 25.2. 用列举法求概率用列举法求概率（树形图）（树形图） 当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两个因素时，且时，且可能出现的可能出现的结果较多结果较多时，为不重复不时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法列表法。 复习复习：什么时候用：什么时候用“列表法列表法”方便？方便？用列举法求概率练习、同时掷两个质地均匀的骰子练习、同时掷两个质地均匀的骰子,计计算下列事件的概率算下列事件的概率:(1)两个骰子的点数相同两个骰子的点数相同(2)两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是9(3)至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2分析：分析：这
2、里涉及到两个因素，所以先用列表法把这里涉及到两个因素，所以先用列表法把所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件所包含的可能结果种数即可求出相应事件的概率所包含的可能结果种数即可求出相应事件的概率1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6
3、)(5,6)(6,6)第一个第二个两个骰子的点数相同两个骰子的点数相同( (记为事件记为事件A) P(A)=6/36=1/6A) P(A)=6/36=1/6两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是9(9(记为事件记为事件B) P(B)=4/36=1/9B) P(B)=4/36=1/9至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2 (2 (记为事件记为事件C) P(C)=11/36C) P(C)=11/361234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3
4、)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 共有共有3636种等可能出现的结果。种等可能出现的结果。解：解：问题问题. .将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面的概率个正面的概率 _._.解：解：开始开始反反正正正正反反反反正正正正反反反反反反正正 反反正正正正第一次：第一次：第二次：第二次：第三次：第三次： 共有共有8 8种等可能出现的结果。种等可能出现的结果。1/8 P（三个正面）（三个正面）=1/8 2、当一
5、次试验涉及、当一次试验涉及3个因素或个因素或3个以上的个以上的因素因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用地列出所有可能的结果，通常用树形图树形图归纳：归纳： 1、当一次试验涉及、当一次试验涉及两个因素两个因素时，且可能时，且可能出现的出现的结果较多结果较多时，为不重复不遗漏地列出所时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用有可能的结果，通常用列表法列表法例例1 1：小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小
6、明正好穿的是相同穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？的一双袜子的概率是多少？解：设两双袜子分别为解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则则B1A1B2A2开始开始A2 B1 B2A1 B1 B2A1 A1 B2A1 A2 B1P（穿同一双袜子）（穿同一双袜子）=41123共有共有12种等可能出现的结果。种等可能出现的结果。试一试：试一试：一个家庭有三个孩子，若一个一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩还是女孩的可能性相同孩子是男孩还是女孩的可能性相同(1)(1)求这个家庭的求这个家庭的3 3个孩子都是男孩的概率；个孩子都是男孩的概率；(2)(2)求这个家庭有求这个
7、家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概个女孩的概率；率；(3)(3)求这个家庭至少有一个男孩的概求这个家庭至少有一个男孩的概率率例例3：在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的相同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是的概率是 _.开始开始红红黄黄黄黄( (红红, ,黄黄) )黄黄黄黄红红黄黄红红( (黄黄, ,黄黄) )( (黄黄, ,红红
8、) )( (黄黄, ,黄黄) )( (黄黄, ,红红) )黄黄( (红红, ,黄黄) )变变:在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如如果第一次先从袋中摸出一个球后再放回摇匀，第果第一次先从袋中摸出一个球后再放回摇匀，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是的概率是 _.例例4：甲口袋中装有甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母A和和B； 乙口袋中乙口袋中装有装有3个相同的小球，它们分别写
9、有字母个相同的小球，它们分别写有字母C、D和和E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2个相同的个相同的小球，它们分别写有字母小球，它们分别写有字母H和和I。 从从3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1个小球。个小球。（1）取出的）取出的3个小球上恰好有个小球上恰好有1个、个、2个和个和3个元音字母的概率分别是多少？个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲甲乙乙丙丙ACDEHI HI HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI（1）满足只有一个元音字母）满足
10、只有一个元音字母的结果有的结果有5个，则个，则 P（一个元（一个元音）音）=满足只有两个元音字母的结果满足只有两个元音字母的结果有有4个，则个，则 P（两个元音）（两个元音）= =满足三个全部为元音字母的结满足三个全部为元音字母的结果有果有1个，则个，则 P（三个元音）（三个元音）=（2）满足全是辅音字母的结）满足全是辅音字母的结果有果有2个，则个，则 P（三个辅音）（三个辅音）= = 1251243112261121解：解：共有共有12种等可能出现的结果。种等可能出现的结果。 例例2.2.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先打呢由哪两人先打呢? ?他们决定用他们决定用
11、 “ “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏游戏时三人每次做时三人每次做“石头石头” “” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势中的三种手势中的一种一种, ,规定规定“石头石头” ” 胜胜“剪刀剪刀”, “, “剪刀剪刀”胜胜“布布”, , “布布”胜胜“石头石头”. . 问一次比赛能淘汰一人的概率是问一次比赛能淘汰一人的概率是多少多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲丙丙乙乙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出,
12、,游戏的结果游戏的结果有有2727种种, ,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等. . 由规则可知由规则可知, ,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“:“石石剪石石剪” ” “剪剪布剪剪布” “” “布布石布布石”三类三类. . 而满足条件而满足条件( (记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种P(A)=P(A)=13=9273. 3. 用数字用数字1 1、2 2、3,3,组成三位数组成三位数, ,求其中恰有求其中恰有2 2个相同的个相同的数字的概率数字的概率. .1 2 31组数开始组数开始百位百位个位个位十位十位123123123231 2 3 1 2 3 1
13、 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. .其中恰有其中恰有2 2个数字相同的结果有个数字相同的结果有1818个个. . P( P(恰有两个数字相同恰有两个数字相同)=)=182723=4.4.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的盒子内个不同的盒子内( (每盒装球每盒装球不限不限), ),计算计算: (1): (1)无空盒的概率无空盒的概率; (2); (2)恰有一个空盒的概率恰有一个空盒的概率. .1
14、 2 3盒盒1投球开始投球开始球球球球球球123123123盒盒2盒盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. . P( P(无空盒无空盒)=)=(1)(1)无空盒的结果有无空盒的结果有6 6个个62729=(2)(2)恰有一个空盒的结果有恰有一个空盒的结果有1818个个 P( P(恰有一个空盒恰有一个空盒)=)=182723=1.1.一张圆桌旁有四个座位，一张圆桌旁有四个座位，A A先坐在如图所先
15、坐在如图所示的座位上，示的座位上，B B、C C、D D三人随机坐到其他三三人随机坐到其他三个座位上。求个座位上。求A A 与与B B 不相邻 而 坐 的 概 率不相邻 而 坐 的 概 率为为 . .31A课堂巩固课堂巩固2.2.小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用定作游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、锤子、剪刀、布剪刀、布”的方式确定。请问在一个回合中的方式确定。请问在一个回合中三个人都出三个人都出“布布”的概率是的概率是 ； 总结总结: :用列表法和树形图法求概率时应用列表法和树形图法求概率时应 注意什么情况？注意什么情况？
16、w 利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能表示出某个事件发生的所有可能出现的结果出现的结果; ;从而较方便地求出某从而较方便地求出某些事件发生的些事件发生的概率概率. .当试验包含当试验包含两两步时步时, ,列表法列表法比较方便比较方便, ,当然当然, ,此时此时也可以用树形图法也可以用树形图法, ,当试验在当试验在三步三步或三步以上或三步以上时时, ,用树形图法方便用树形图法方便. .4.经过某十字路口的汽车经过某十字路口的汽车,它可能继续直行它可能继续直行,也可能向左转或向右转也可能向左转或向右转,如果这三种可能如果这三种可能性大小相同性大小相同,
17、当有三辆汽车经过这个十字当有三辆汽车经过这个十字路口时路口时,求下列事件的概率求下列事件的概率(1)三辆车全部继续直行三辆车全部继续直行;(2)两辆车向右转两辆车向右转,一辆车向左转一辆车向左转;(3)至少有两辆车向左转至少有两辆车向左转左左左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右直直左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右右右左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右解：由树形图得，所有可能出现的结果有解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。个，它们出现的可能性相等。（1）三辆车全部继续直行的结果有）三辆车全
18、部继续直行的结果有1个，则个，则 P（三辆车全部继续直行）（三辆车全部继续直行）=（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则个，则 P（两辆车右转，一辆车左转）（两辆车右转，一辆车左转）= =（3）至少有两辆车左转的结果有）至少有两辆车左转的结果有7个，则个，则 P（至少有两辆车左转）（至少有两辆车左转）=左左直直 右右左左左左左左左左左左左左左左直直 右右直直左左左左直直左左直直左左直直 右右右右左左左左右右左左右右直直直直 右右左左左左直直左左直直左左直直直直 右右直直左左直直直直直直直直直直直直 右右右右左左直直右右直直右右右右直直 右右左左左左右右左左右右左左右右直直 右右直直左左右右直直右右直直右右直直 右右右右左左右右右右右右右右12 732 772 719第一辆车第一辆车第二辆车第二辆车第三辆车第三辆车用用树形图树形图可以清晰地表示出某个事件可以清晰地表示出某个事件所有可能出现的结果，从而使我们较所有可能出现的结果，从而使我们较容易求简单事件的容易求简单事件的概率概率.当一次试验要涉及当一次试验要涉及3个或更多的因素时个或更多的因素时,列表就不方便了列表就不方便了,为不重不漏地列出所为不重不漏地列出所有可能的结果有可能的结果,通常采用通常采用树形图树形图.点拔点拔:幻灯片2