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1、电子工程数值分析基础杨雪松杨雪松办公室：科研楼办公室：科研楼2教材与参考书教材与参考书 教材：教材：电子工程数值分析基础电子工程数值分析基础讲义讲义参考书：参考书：(1)(1)数值分析数值分析，钟尔杰等，高等教育出版社，钟尔杰等，高等教育出版社，20042004。(2)数值分析数值分析(第四版第四版)，李庆扬等，清华大学出版社，李庆扬等，清华大学出版社，20012001年。年。(3)应用数值方法应用数值方法-使用使用MATLABMATLAB和和C C语言语言，Robert J.Robert J.Schilling,Sandra L.HarrisSchilling,Sandra L.Harris
2、著，机械工业出版社，著，机械工业出版社，20042004。(4)电子工程电子工程/电磁场与微波技术方面的基础参考书。电磁场与微波技术方面的基础参考书。http:/ 评分（考试）评分（考试）考勤和作业考勤和作业 10%10%课程设计课程设计 20%20%期末考试期末考试 70%70%评分（考查）评分（考查）考勤和作业考勤和作业 课程设计课程设计引子引子两个电子工程应用实例两个电子工程应用实例实例实例1：金属槽中的电位分布。：金属槽中的电位分布。yx0V=V0V=0V=0V=06解析解解析解：（直角坐标系下的分离变量法）：（直角坐标系下的分离变量法）Laplace方程：方程：用两个函数的乘积表示：
3、用两个函数的乘积表示：得到：得到：金属槽中的电位分布金属槽中的电位分布计算机求解（数值解）计算机求解（数值解）：将偏微分用差分表示，：将偏微分用差分表示，用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程aa 离散化场域离散化场域 写出迭代差分格式写出迭代差分格式 给出边界条件给出边界条件 给定初值给定初值 给定迭代收敛的指标给定迭代收敛的指标 画出流程图画出流程图 编写程序编写程序 求解结果求解结果金属槽中的电位分布金属槽中的电位分布hyx0V=V0V=0V=0V=0834021如果网格为正方形，即如果网格为正方形，即得得 所满足的差分方程：所满足的差分方程：称为称为“五点格式五点格式”或或“菱形格式
4、菱形格式”金属槽中的电位分布金属槽中的电位分布9程序框图：程序框图：启动启动给定边值，填写场域初值给定边值，填写场域初值迭代次数计数迭代次数计数 N0N=N+1进行一次迭代进行一次迭代是否满足迭代收敛指标是否满足迭代收敛指标否否是是输出结果输出结果金属槽中的电位分布金属槽中的电位分布10方槽内的方槽内的电电位分布位分布图图金属槽中的电位分布金属槽中的电位分布矩形波导的截止波数矩形波导的截止波数11实例实例2 计算矩形波导计算矩形波导TM波的截止波数波的截止波数 TE波（横电波）和波（横电波）和TM波（横磁波）波（横磁波）存在无限多的模式存在无限多的模式,并并具有截止特性具有截止特性 波导问题的
5、求解可归结波导问题的求解可归结为求解相应的场纵向分为求解相应的场纵向分量量 或或 所描述的所描述的的定解问题的定解问题,关键是求截关键是求截止波数止波数 。矩形波导的截止波数矩形波导的截止波数12二二维维波波动动方方程程：,在波导内在波导内 ,在波导壁（理想导体）处在波导壁（理想导体）处对任意一网格内点而言，波动方程差分格式为：对任意一网格内点而言，波动方程差分格式为：用矩阵表示：用矩阵表示：求解系数矩阵求解系数矩阵 的特征值，的特征值，TM模的最低模式模的最低模式TM11模对应最模对应最小的非零特征值。小的非零特征值。矩形波导的截止波数矩形波导的截止波数13计算结果：计算结果：解析解：解析解
6、：TM模的最低模式模的最低模式TM11的截止波数的截止波数kc数值法：数值法：kc=6.9271 14第一章第一章 绪论绪论数值分析的基本概念数值分析的基本概念数值分析的用途数值分析的用途数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点实数的浮点表示和机器数实数的浮点表示和机器数误差误差151.1 数值分析的基本概念数值分析的基本概念数值分析：数值分析：研究数学问题的数值解（近似解）及研究数学问题的数值解（近似解）及其理论的一个数学分支。其理论的一个数学分支。用公式表示数学问题，以便可以用算用公式表示数学问题，以便可以用算术和逻辑运算解决这些问题。术和逻辑运算解决这些问题。主要研究适合于在计算机上使用
7、的数主要研究适合于在计算机上使用的数值方法及与此相关的理论，包括方法值方法及与此相关的理论，包括方法的收敛性、稳定性及复杂度。的收敛性、稳定性及复杂度。例例1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;(2)求求代数方程代数方程 x2+x 6=0在在0,4上的根上的根x*；(3)已已知知y=P(x)为为 x0,x1上上的的直直线线，满满足足P(x0)=y0,P(x1)=y1,x2(x0,x1),求求P(x2)；(4)计算定积分计算定积分 (1ab)；(5)解常微分方程初值问题解常微分方程初值问题 例例
8、1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;解解：(1)Cramer法法则则计计算算 ,其其中中D=|A|,Dj为由为由b置换置换D的第的第 j 列所得；列所得；例例1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;(2)求代数方程求代数方程 x2+x 6=0在在0,4上的根上的根x*；解：解：(2)根据求根公式得根据求根公式得 x*=2;例例1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX
9、=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;(2)求代数方程求代数方程 x2+x 6=0在在0,4上的根上的根x*；(3)已已知知y=P(x)为为 x0,x1上上的的直直线线，满满足足P(x0)=y0,P(x1)=y1,x2(x0,x1),求求P(x2)；解：解：(3)P(x2)=;例例1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;(2)求代数方程求代数方程 x2+x 6=0在在0,4上的根上的根x*；(3)已已知知y=P(x)为为 x0,x1上上的的直直线线，满满足足P(
10、x0)=y0,P(x1)=y1,x2(x0,x1),求求P(x2)；(4)计算定积分计算定积分 (1ab)；解：解：(4)根据积分公式得到根据积分公式得到 ;例例1.1(易计算问题易计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=b,其其中中A为为3阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x3)T;(2)求代数方程求代数方程 x2+x 6=0在在0,4上的根上的根x*；(3)已已知知y=P(x)为为 x0,x1上上的的直直线线，满满足足P(x0)=y0,P(x1)=y1,x2(x0,x1),求求P(x2)；(4)计算定积分计算定积分 (1ab)；(5)解常微分方程初值问题解常微分方程初值问题
11、解：解：(5)根据常微分方程求解公式得根据常微分方程求解公式得 。例例1.2(难计算问题难计算问题)(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=B,其其中中A为为30阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x30)T;(2)求求超越方程超越方程 xex=1在在0,1上的根上的根 x*；(3)已已知知y=f(x)为为x0,x1上上的的函函数数，满满足足f(x0)=y0,f(x1)=y1,x2(x0,x1),求求 f(x2)；(4)计算定积分计算定积分 (1ab)；(5)解常微分方程初值问题解常微分方程初值问题 解：例解：例1.2同例同例1.1“差不多差不多”？(1)求求解解线线性性方方程程组组AX=
12、B,其其中中A为为30阶阶可可逆逆方方阵阵，X=(x1,x2,x30)T;解解：计计算算量量非非常常大大，手手工工计计算算不不现现实实。可可以以采采用用Cramer法则，用计算机来计算吗？法则，用计算机来计算吗？乘法次数乘法次数31!29=2.38461035 用用每每秒秒10亿亿次次乘乘法法的的计计算算机机计计算算，大大约约需需要要7.56161018年。年。例例1.2(难计算问题难计算问题)解：解：(2)无法求得无法求得x*的解析形式，只能求近似值；的解析形式，只能求近似值；(3)f(x2)试试；试试；(4)无法找到原函数，考虑近似方法；无法找到原函数，考虑近似方法；(5)没有解析解，采用
13、数值法，逐步逼近准确解。没有解析解，采用数值法，逐步逼近准确解。例例1.2(难计算问题难计算问题)1.1 数值分析的基本概念数值分析的基本概念计算机的认识能力是有限的计算机的认识能力是有限的 计算机的计算能力也是有限的计算机的计算能力也是有限的u可行且高效的算法可行且高效的算法可行且高效的算法可行且高效的算法+高性能计算机高性能计算机高性能计算机高性能计算机！利用计算机！但是利用计算机！但是.26 以以纯数学纯数学为基础，把为基础，把理论和实际理论和实际结合起来，着结合起来，着重研究面向重研究面向计算机计算机的、能够解决实际问题的数值方的、能够解决实际问题的数值方法和理论。法和理论。数值分析的
14、研究内容：数值分析的研究内容：构造求解的数值方法构造求解的数值方法分析算法的收敛性、稳定性和误差分析算法的收敛性、稳定性和误差分析算法的时间复杂度和空间复杂度分析算法的时间复杂度和空间复杂度1.1 数值分析的基本概念数值分析的基本概念27误差分析（第一章）误差分析（第一章）线性方程组的迭代法（第二章）线性方程组的迭代法（第二章）非线性方程组求根（第三章）非线性方程组求根（第三章）矩阵特征值（第四章）矩阵特征值（第四章）插值法（第五章）插值法（第五章）曲线拟合（第六章）曲线拟合（第六章）数值积分与微分（第七章）数值积分与微分（第七章）常微分方程数值解法（第八章）常微分方程数值解法（第八章）数值线
15、性代数数值线性代数数值逼近数值逼近1.1 数值分析的基本概念数值分析的基本概念微分方程数值解微分方程数值解28传统的科学研究方法：传统的科学研究方法：理论分析理论分析科学实验科学实验计算机技术的飞速发展计算机技术的飞速发展计算数学方法与理论的日益成熟计算数学方法与理论的日益成熟科学计算科学计算第三种研究方法第三种研究方法包括：计算物理，计算化学，计算电磁学，计包括：计算物理，计算化学，计算电磁学，计算生物学，计算经济学等算生物学，计算经济学等1.1 数值分析的基本概念数值分析的基本概念291.2 数值分析的用途数值分析的用途无线通信无线通信301.2 数值分析的用途数值分析的用途美国美国F11
16、7F117隐身飞机隐身飞机311.2 数数值值分分析析的的用用途途载载人人航航天天器器1.2 数值分析的用途数值分析的用途32水利工程水利工程331.2 数值分析的用途数值分析的用途学习数值分析的带来好处：学习数值分析的带来好处：提供了加强对数学知识理解的平台提供了加强对数学知识理解的平台可以更加智慧地使用可以更加智慧地使用“封装封装”的软件的软件是学习使用计算机的有效载体是学习使用计算机的有效载体341.3 数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点 计算机进行科学计算解决实际问题的基本过程计算机进行科学计算解决实际问题的基本过程实际问题实际问题 数学模型数学模型数值分析数值分析 程序设计程序
17、设计上机计算求解上机计算求解分析结果分析结果351.3 数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点例例1.3：对给定的：对给定的 x，求多项式，求多项式方法一：方法一：的值。的值。乘法次数：乘法次数：加法次数：加法次数：n。直接计算直接计算的每一项后逐项求和的每一项后逐项求和。361.3 数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点方法二：方法二：乘法次数：乘法次数：，加法次数：，加法次数：此算法称为此算法称为秦九韶算法秦九韶算法，或，或嵌套算法，嵌套算法，horner算法算法。秦九韶于秦九韶于1247年提出，年提出，Horner（法国）于（法国）于1819年提出。年提出。秦九韶算法秦九韶算法能够十
18、分迅速地进行非常简单的工作能够十分迅速地进行非常简单的工作即使对非常简单的工作，也要尽可能提高效率，即使对非常简单的工作，也要尽可能提高效率，因为它们可能要执行很多次因为它们可能要执行很多次最好的方法可能不是显而易见的最好的方法可能不是显而易见的37秦九韶算法，具有科学计算中好算法的所有特秦九韶算法，具有科学计算中好算法的所有特征：征：秦九韶算法秦九韶算法更一般的形式：更一般的形式：38r1,r2,rn被称为基点被称为基点(base point)%input:degree d of polynomial,array of d+1%coefficient a(constant term firs
19、t),x-coordinate%x at which to evaluate,and array of d base%point r,if needed.%output:value y of polynomial at xfunction y=qinjiushao(x,d,a,r)if nargin qinjiushao(0.5,4,-1,5,-3,3,2)ans=1.2500411.3 数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点好算法的特点：好算法的特点：面向计算机：根据计算机的特点，构造实际可面向计算机：根据计算机的特点，构造实际可行的有效算法，使之易于上机实现；行的有效算法，使之易于上机实
20、现；有可靠的理论分析：从理论上能够保证方法收有可靠的理论分析：从理论上能够保证方法收敛性和稳定性；敛性和稳定性；有好的计算复杂度：即计算时间短，占用存储有好的计算复杂度：即计算时间短，占用存储空间小；空间小；能经受数值实验的检验：即要通过数值实验来能经受数值实验的检验：即要通过数值实验来证明它是行之有效的方法。证明它是行之有效的方法。1.4 计算机中的数计算机中的数数制：十进制、二进制、八进制、十六进制数制：十进制、二进制、八进制、十六进制计算机中的计算机中的 实数以二进制浮点数形式存储实数以二进制浮点数形式存储IEEE 754给出的浮点数标准：给出的浮点数标准：浮点数由三部分组成，即符号浮点
21、数由三部分组成，即符号(sing,+或或-)、尾数、尾数(manstissa,包含一串有效数字）包含一串有效数字）以及阶以及阶(即指数，即指数，exponent)42精度精度符号符号阶阶尾数尾数单单1823双双11152长双长双115641.4 计算机中的数计算机中的数IEEE 浮点数的正规化形式为浮点数的正规化形式为43如：二进制数如：二进制数 1001=+1.00123在许多在许多C编译程序和编译程序和MATLAB中，对双精度数：中，对双精度数：M=11，N=52为为0或或1P是是M位二进制数位二进制数1.4 计算机中的数计算机中的数定义：机器精度定义：机器精度(machine epsil
22、on)表示表示“1”与大于与大于1的最小浮点数之差，记为的最小浮点数之差，记为mach。对。对于于IEEE的双精度浮点数标准来说，为的双精度浮点数标准来说，为 44+1.000000000000000000000000000000000000000000000000000020+1.0000000000000000000000000000000000000000000000000001201+2-5252个尾数个尾数1.4 计算机中的数计算机中的数如何用有限数位表示无限二进制数？如何用有限数位表示无限二进制数？45+1.0010110011001100110011001100110011001
23、100110011001100 11023断位法断位法(chopping):舍去第舍去第52位之后的数字位之后的数字舍入法舍入法(rounding):（十进制的四舍五入）若第（十进制的四舍五入）若第53位为位为1，则，则52位位+1，否则不变。，否则不变。1.4 计算机中的数计算机中的数IEEE 的最近舍入规则的最近舍入规则46如果二进制小数点右边的第如果二进制小数点右边的第53位数是位数是0，舍去，舍去第第53位数之后全是位数之后全是0否则，进位否则，进位否则，进位否则，进位若若52位为位为0，舍去，舍去+1.00101100110011001100110011001100110011001
24、10011001100 11023+1.0010110011001100110011001100110011001100110011001101 23若若第第53位位数是数是10 1 0000000001.4 计算机中的数计算机中的数47定义：使用最近舍入规则，用定义：使用最近舍入规则，用fl(x)来表示与来表示与x相关的双相关的双精度浮点数。精度浮点数。+1.0010110011001100110011001100110011001100110011001101 23+1.0010110011001100110011001100110011001100110011001100 11023舍入
25、误差舍入误差1.4 计算机中的数计算机中的数48定义：令定义：令 x*是准确值，是准确值，x是计算值，则是计算值，则绝对误差绝对误差=相对误差相对误差=相对舍入误差相对舍入误差相对舍入误差相对舍入误差=相对舍入误差相对舍入误差=1.4 计算机中的数计算机中的数浮点数的机器表示浮点数的机器表示 双精度浮点数在计算机中表示为双精度浮点数在计算机中表示为 s e1e2e11 b1b2b52 49正负号正负号阶码阶码尾数尾数正负号：正负号：0正数正数 1负数负数阶码：阶码：20211-1 即：即：02047除去除去0、2047，12046表示的阶的范围为表示的阶的范围为（-10221023）即：即：阶
26、码阶码=阶阶+210-1=阶阶+1023阶偏移阶偏移1.4 计算机中的数计算机中的数数数“1”的双精度机器表示为的双精度机器表示为:50正负号正负号阶码阶码尾数尾数前面前面12位对应于位对应于3个十六进制数个十六进制数3ffMATLAB的命令：的命令：format hex，可以把，可以把64位机器数位机器数表示成表示成16为十六进制数。为十六进制数。浮点数浮点数1的的format hex表达式为：表达式为：3ff 0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000练习：请用同样的方式，将练习：请用同样的方式，将9
27、.4的机器数表达式写出，的机器数表达式写出，并表示成十六进制数，用并表示成十六进制数，用MATLAB检验检验1.4 计算机中的数计算机中的数或者或者NaN，表示为：尾数码全为，表示为：尾数码全为0，阶码全为，阶码全为1 51计算机能表示的最小的计算机能表示的最小的双精度双精度数数0 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000001当阶码为当阶码为0（全为（全为0），表示次正规化浮点数，即小），表示次正规化浮点数，即小数点左边的数码不再假定为数点左边的数码不再假定为1.1 00000000000 0000000000
28、0000000000000000000000000000000000000000010 11111111111 000000000000000000000000000000000000000000000000000052一个双精度机器数占用一个双精度机器数占用64个位。个位。其中其中,正负号占正负号占1个位个位,尾数占尾数占52个位个位,阶码占阶码占11个个位。位。log10252 15.65;21023 8.9885e+307对应十进制数字长约对应十进制数字长约15,最大数约最大数约103081.4 计算机中的数计算机中的数53浮点数的加法浮点数的加法1）把两个加数的小数点对齐）把两个加数的
29、小数点对齐2）相加）相加3）再把结果作为浮点数存起来）再把结果作为浮点数存起来1.4 计算机中的数计算机中的数数值运算绝对值超出计算机系统规格化浮点数的表数值运算绝对值超出计算机系统规格化浮点数的表示范围，就发生示范围，就发生溢出溢出现象。包括上溢出和下溢出。现象。包括上溢出和下溢出。加法本身可以用更高的精度进行（超过加法本身可以用更高的精度进行（超过52位尾数）。位尾数）。相加之后的结果必须进行舍入，存为机器数相加之后的结果必须进行舍入，存为机器数54例例1.4：计算：计算 1+2-531.000 20+1.000 2-531.4 计算机中的数计算机中的数练习：按照练习：按照IEEE 最近舍
30、入规则，用双精度计算机计最近舍入规则，用双精度计算机计算算 9.4-9，然后再减去，然后再减去 0.4，计算结果将等于？，计算结果将等于？=1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 20+0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 120=1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 120按照舍入规则，最后保存为按照舍入规则，最后保存为 1.020=1。注意：注意：0.4在计算机中不能准确表示在计
31、算机中不能准确表示551.5 误差误差1.5.1 误差的来源与分类误差的来源与分类模型误差模型误差：对实际问题进行建模而引起的解的误差。：对实际问题进行建模而引起的解的误差。观测误差观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时随机测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差因素所引起的物理量的误差。截断误差：截断误差：采用数值方法，用有限过程近似无限过采用数值方法，用有限过程近似无限过程而产生的误差。程而产生的误差。舍入误差：舍入误差：计算机字长有限，对数字进行舍入而产计算机字长有限，对数字进行舍入而产生的误差。生的误差。56 实际计算中，用有限的过程来计算无限的过程，实际计算中，用
32、有限的过程来计算无限的过程，称为称为截断误差截断误差。这是计算方法本身出现的误差，所。这是计算方法本身出现的误差，所以也称为以也称为方法误差。方法误差。截断误差截断误差 1.5.1 误差的来源与分类误差的来源与分类展开函数展开函数 f(x)，则数值方法的截断误差是，则数值方法的截断误差是例如，用泰勒例如，用泰勒(Taylor)(Taylor)级数级数 571.5.1 误差的来源与分类误差的来源与分类例例1.51.5：计算定积分：计算定积分：从第二项后截断，可以得到近似值，即从第二项后截断，可以得到近似值，即截断误差为：截断误差为：1.5.1 误差的来源与分类误差的来源与分类舍入误差舍入误差 计
33、算机只能存储有限位数。计算机只能存储有限位数。对有限位数进行运算，对有限位数进行运算，进行四舍五入所产生的误差。进行四舍五入所产生的误差。591.5.2 有效数字有效数字 取取3 3位数，位数，取取5 5位数，位数，当准确值当准确值x*的位数比较多，或者有无限多位小数时，的位数比较多，或者有无限多位小数时，常常按四舍五入的原则得到常常按四舍五入的原则得到x*的前几位数值，如的前几位数值，如3位有效数字位有效数字5位有效数字位有效数字10-210-4601.5.2 有效数字有效数字设设 x*为某一数据的准确值，近似值为某一数据的准确值，近似值 x 可表示为浮点可表示为浮点数形式数形式其中，其中，
34、a1,a2,都为都为0-9中的任一整数，且中的任一整数，且a1 0。若。若x的绝对误差满足的绝对误差满足则称则称近似值近似值 x 具有具有n位位有效数字有效数字。1.5.2 有效数字有效数字61误差不超过该位的半个单位误差不超过该位的半个单位自左向右看，第自左向右看，第1 1个非零数字个非零数字相对误差限满足：相对误差限满足：621.5.2 有效数字有效数字例例1.6：已知已知 的十进制浮点数第一位是的十进制浮点数第一位是5，要，要使近似值的相对误差限小于使近似值的相对误差限小于0.1%，浮点数的，浮点数的有效数字位数至少应为多少？有效数字位数至少应为多少？解：解：a1=5,利用利用要相对误差
35、限不超过要相对误差限不超过0.1%，只需，只需 10-n 0.001=10-3浮点数的有效数字位数至少应取浮点数的有效数字位数至少应取3位。位。1.5.2 有效数字有效数字取取3位有效数字，则位有效数字，则相对误差为：相对误差为：63满足误差要求。满足误差要求。641.5.2 有效数字有效数字例例1.7：用用3.1416来表示来表示 时，其相对误差是多少时，其相对误差是多少？解：解：3.1416有有5位有效数字，且位有效数字，且a1=3,所以，其相对误差为所以，其相对误差为65用用3.1416来表示来表示，而，而3.1415926，其相对误差为其相对误差为所以，利用第所以，利用第1位有效数字及
36、有效数字位数来位有效数字及有效数字位数来估计的是相对误差限，一般比相对误差大。估计的是相对误差限，一般比相对误差大。1.5.2 有效数字有效数字66小结小结了解数值分析的研究对象、内容和特点了解数值分析的研究对象、内容和特点掌握实数的浮点表示方法和机器数掌握实数的浮点表示方法和机器数掌握有效数字的概念，及其与误差的关系掌握有效数字的概念，及其与误差的关系习题一习题一1.将下列多项式用秦九韶算法进行改写，并在将下列多项式用秦九韶算法进行改写，并在x=1/2时，分别采用和不采用秦九韶算法进行计算：时，分别采用和不采用秦九韶算法进行计算：(1)(2)2.说明，在给定的输入说明，在给定的输入x处，以下
37、多项式如何用尽可处，以下多项式如何用尽可能少的运算来计算？需要多少次乘法和加法？能少的运算来计算？需要多少次乘法和加法？3.把下列十进制数转换成二进制，并用最近舍入规则把下列十进制数转换成二进制，并用最近舍入规则把每个数表示成浮点数把每个数表示成浮点数 fl(x)：(1)1/4;(2)1/3；(3)9.5.67习题一习题一4.使用最近舍入规则，依照使用最近舍入规则，依照IEEE双精度计算机四则运算双精度计算机四则运算规则，手工求下列各式（并用规则，手工求下列各式（并用MATLAB 检验结果）：检验结果）：(1)(1+(2-51+2-53)-1;(2)(1+(2-51+2-52+2-53)-1。5.求出下列实数的求出下列实数的IEEE双精度表示式双精度表示式 fl(x)，并求出舍入，并求出舍入误差误差fl(x)-x。校验其相对舍入误差不大于。校验其相对舍入误差不大于0.5mach.(1)x=2.75;(2)x=2.7.上机练习：上机练习：根据机器精度的定义，编写一个简单的程序，计算出双根据机器精度的定义，编写一个简单的程序，计算出双精度浮点数计算机的机器精度精度浮点数计算机的机器精度mach。68