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1、中世纪的中国数学 之一周髀算经周髀算经和和九章算术九章算术希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期。除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度与阿拉伯地区的数学。p与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲着重算法的概括，不讲究命题的数学推导究命题的数学推导。p所谓所谓“算法算法”，不只是单纯的计算，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一
2、般性的计算方法。而概括出来的、带一般性的计算方法。p算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种是一种归纳思维能力的产物归纳思维能力的产物。p这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕孕育了近代数学的诞生。育了近代数学的诞生。p本章介绍中世纪的中国数学史，分三次课。p就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北两
3、汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。国古典数学的顶峰。p本小节介绍本小节介绍1）先秦时期：中国古代数学的）先秦时期：中国古代数学的萌芽，萌芽，2）汉唐时期：中国传统数学体系的形成）汉唐时期：中国传统数学体系的形成（介绍（介绍周髀算经周髀算经和和九章算术九章算术）数学是中国古代最为发达的学科之一，数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为通常称为“算术算术”即即“算数之术算数之术”。也就是说，古代中国的术语也就是说，古代中国的术语“算术算术”相当于英文单词中的相当于英文单词中的mathematics，而不是而不是arithm
4、etic，所研究的内容大，所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。数、几何、三角等方面的内容。注：注：arithmetic（名词）（名词）1.算术算术2.计算计算3.算术算术运算；四则运算运算；四则运算后来，算术又称为算学、算法，宋后来，算术又称为算学、算法，宋元时期开始使用元时期开始使用“数学数学”一词。此一词。此后算学、数学两词并用。后算学、数学两词并用。1939年年6月，经中国数学名词审查委月，经中国数学名词审查委员会确定用员会确定用“数学数学”而不再用而不再用“算算学学”。一、先秦时期中国古代数学的萌芽数学作为中国文化的
5、重要组成部分，它的数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的古代。起源可以追溯到遥远的古代。根据古籍记载、考古发现以及其他文字资根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前料推测，至少在公元前3000年左右，在中年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。华古老的土地上就有了数学的萌芽。一般认为，这一时期的数学成就主要有一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：以下几点：结绳记事和规矩的使用结绳记事和规矩的使用十进位值制记数法、分数的应用及筹十进位值制记数法、分数的应用及筹算算精湛的几何思想精湛的几何思想数学教育的开始数学教育的开始结绳记事和规矩的使用 中国古代记数
6、方法的起源是很早的。中国古代记数方法的起源是很早的。据据易易系辞传系辞传称：称：“上古结绳而治上古结绳而治。”易易九家义九家义明确地解释了这种方法：明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。结之多少，随物众寡。”这种结绳记事这种结绳记事的方法是很古老的。的方法是很古老的。据据史记史记记载：记载：“伏羲始画八卦，造伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。书契，以代结绳之治。”这表明，在伏羲这一位中国神话中的人这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的的时代已
7、开始用分流行，并且在他的的时代已开始用“八卦八卦”和和“书契书契”等方法来代替等方法来代替“结绳结绳记事记事”了。了。注：书契，始指刻痕，后逐渐代以符号、文字。注：书契，始指刻痕，后逐渐代以符号、文字。规矩规矩是中国传统的几何工具。是中国传统的几何工具。至于它的用途，至于它的用途，周礼周礼、荀子荀子、淮南子淮南子、庄子庄子等古籍都有明等古籍都有明确的记载：确的记载：“圆者中规，方者中矩圆者中规，方者中矩。”说明它们分别用于圆和方的问题。说明它们分别用于圆和方的问题。注：中注：中(zhng)，符合一定的标准。，符合一定的标准。它们的起源也是很早的，据它们的起源也是很早的，据史记史记记记载，夏禹在
8、治水时就载，夏禹在治水时就“左准绳，右规左准绳，右规矩矩，载四时，以开九州，通九道，载四时，以开九州，通九道”。汉武梁祠中有汉武梁祠中有“伏羲手执矩，女娲手伏羲手执矩，女娲手执规执规”的浮雕像，将这两种工具的最的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲和女娲。早使用归功于传说中的伏羲和女娲。规和矩的使用，对于后来几何学的产规和矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统生和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆和勾股几何学大部分内容都是围绕圆和勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用形展开的，这与古代中国人擅长使用规和矩的关系是十分密切的。规和矩的关系是十分
9、密切的。十进位值制记数法、分数的应用及筹算 商代，甲骨文已发展成熟。商代，甲骨文已发展成熟。河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了古证明，中国当时已采用了“十进位值制记十进位值制记数法数法”，并有十、百、千、万等专用的大数，并有十、百、千、万等专用的大数名称。名称。除了整数以外，中国古代对分数概念的认识除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也很早，分数的概念及其应用，在也很早，分数的概念及其应用，在管子管子、墨子墨子(mo)、商君书商君书、考工记考工记等等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。到春秋
10、战国时代，算术四则运算已经成熟。到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟。据汉代燕人韩婴所撰的据汉代燕人韩婴所撰的韩诗外传韩诗外传介绍，介绍，标志着乘除法运算法则成熟的标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌九九歌”在春秋时代已相当普及。在春秋时代已相当普及。吕氏春秋吕氏春秋里的一则故事里的一则故事 在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个人熟背个人熟背“九九歌九九歌”，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：公问他：“难道仅仅因为你精通九九之术，我便要难道仅仅因为你精通九九之术，我便要重用你吗？重用你吗？”这个人答道：这个人答道：“如
11、果君王对我这样一如果君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇重用，还怕真正有才能个仅会九九歌的人都能礼遇重用，还怕真正有才能的人不来为君主效力吗？的人不来为君主效力吗？”齐桓公是否厚待此人齐桓公是否厚待此人不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当时九九不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了。歌已被人们广泛地应用了。算筹是中国古代的计算工具。算筹是中国古代的计算工具。筹，筹算。筹，筹算。从春秋战国时期一直到元代末年，从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。算筹在我国沿用了两千多年。1983年陕西出土的西汉象牙算筹年陕西出土的西汉象牙算筹运筹帷幄史记史记太史
12、公自序太史公自序：“运筹帷幄之中，运筹帷幄之中，制胜于无形，子房制胜于无形，子房(张良，刘邦的谋臣张良，刘邦的谋臣)计计谋其事，无知名，无勇功，图难于易，为谋其事，无知名，无勇功，图难于易，为大于细。大于细。”史记史记留侯世家留侯世家、汉书汉书张良传张良传：刘邦曾赞刘邦曾赞“运筹帷幄之中，决胜于千里之运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房功也。外，子房功也。”张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外战斗的胜利。这说明张良心计多，善之外战斗的胜利。这说明张良心计多，善用脑，善用兵。后来人们就用用脑，善用兵。后来人们就用“运筹帷幄运筹帷幄”表示善于策划用兵，指挥战争
13、。表示善于策划用兵，指挥战争。“凡算之法，先识其位。一凡算之法，先识其位。一(个个)纵十横，纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当。百立千僵。千十相望，百万相当。”(孙子算经孙子算经)用筹算表示数有纵横两种摆法：用筹算表示数有纵横两种摆法：纵式用来表示个位、百位、万位纵式用来表示个位、百位、万位，横式用来表示十位、千位、十万位横式用来表示十位、千位、十万位，纵横交错，零则用空位。，纵横交错，零则用空位。记数时与十进位值制相配合，采用从左记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法。到右（或从上到下）纵横相间的摆法。如如6724表示为表示为；如遇零时则空；如遇零时则空出一格，
14、如出一格，如76031，表示为，表示为。精湛的几何思想 战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。墨经墨经记载了许多几何概念，如记载了许多几何概念，如“平，同高也平，同高也”；“中，同长也中，同长也”；“圆，一中同长也圆，一中同长也”；这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。定义几何概念的明证。在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”关于此条，注家的解释众说纷纭。一般认为钱宝琮(cong
15、.中国数学史研究的奠基人，校点算经十书等)的解释最为精当：“用尺来度量路程，如果量到前面只剩不到一尺的余地，那末，这路程是有穷的。如果继续量前面总是长于一尺，那末，这路程是无穷的”。名家名家先秦时期以辩论先秦时期以辩论名实名实问题为中心的一个思想派别问题为中心的一个思想派别,重视重视“名名”(概念概念)和和“实实”(事事)的关系的研究的关系的研究 以善辩著以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。称，对无穷的概念有着更深刻的认识。庄子庄子，惠施：，惠施：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”。“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“飞鸟
16、之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时”；这些可以说与古希腊的这些可以说与古希腊的芝诺悖论芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。界数学史早期最光辉的数学思想之一。春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了一些看法，事实上数与物质的关系是涉及了一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数学的一个重要哲学问题。到数学的一个重要哲学问题。老子老子：“道生一，一生二，二生三，三道生一，一生二，二生三，三生万物生万物”。老子老子中所说的这种观点与古希腊的毕达中所说的这种观点与
17、古希腊的毕达哥拉斯学派所提倡的哥拉斯学派所提倡的数为万物之源数为万物之源说，即把说，即把数看做是万物的本源，从本质上来说倒是一数看做是万物的本源，从本质上来说倒是一致的。致的。数学教育的开始 我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。而记载周代教育制度的古老典籍而记载周代教育制度的古老典籍周礼周礼地官地官中保中保氏一节称：氏一节称：“保氏掌谏王恶保氏掌谏王恶(e)，而养国子以道。乃，而养国子以道。乃教之教之六艺六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。御，五曰六书，六曰九数。”其中其中礼、乐、射、御为礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者为小学，前者为大学所授，后者为小学所习。并称：所习。并称：“六年教之数，十年学书记。六年教之数，十年学书记。”可见，可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。对数学教学如此重视，且以典籍的形式规定下来，这对数学教学如此重视，且以典籍的形式规定下来，这在世界上是罕见的。在世界上是罕见的。