数学史概论[1]5.ppt

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1、第 5讲. 冲破黑暗文艺复兴与近代数学的兴起 中江实验中学数学组中江实验中学数学组第 5讲. 冲破黑暗文艺复兴与近代数学的兴起 大约在公元大约在公元500年左右才开始出现新文化年左右才开始出现新文化 公元公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期世纪，是欧洲历史上的黑暗时期出现一些水平低下的算术和几何教材：出现一些水平低下的算术和几何教材： 博埃齐：选编了博埃齐：选编了几何几何、算术算术等教科书等教科书,几何几何仅包含仅包含原原 本本的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测 量术；量术；算术算术则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的则是根据四

2、百年前尼科马库斯的一本浅易的 著作编写的。著作编写的。 比德比德(V.Bede,674735)、热尔拜尔、热尔拜尔(Gerbert,约约9501003)等人也讨论过数等人也讨论过数学学. 前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。阿拉伯数字带入欧洲。 直到直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、 传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。 文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉. 古代学术传播

3、西欧的路线如图古代学术传播西欧的路线如图5.1所示所示 数学著作的翻译：数学著作的翻译：阿德拉特阿德拉特：几何原本几何原本、花拉子米、花拉子米 天文表；天文表；普拉托普拉托：巴塔尼：巴塔尼天文学天文学、狄奥多、狄奥多 修斯修斯球面几何球面几何以及其它著作以及其它著作罗伯特罗伯特：花拉子米：花拉子米代数学代数学等等杰拉德杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译多部阿拉伯文著作翻译 成拉丁文成拉丁文.包括包括大汇编大汇编,原原 本本,圆锥曲线论圆锥曲线论,圆的度圆的度 量量等等 斐波那契：斐波那契： 算盘书算盘书(Abaci, 1202) 印度印度-阿拉伯数码，分数算法，开方阿拉伯数码，分数算法，开方 法

4、，二次和三次方程，不定方程，法，二次和三次方程，不定方程， 以及以及几何原本几何原本和希腊三角学的和希腊三角学的 大部分内容大部分内容 兔子问题：兔子问题： 有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？殖成多少对？ 斐波纳契数列：斐波纳契数

5、列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，2331.1 三、四次方程求解三、四次方程求解： 费罗费罗(S. Ferro, 14651526)： 发现形如发现形如 的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他 的学生费奥的学生费奥 塔塔利亚塔塔利亚:宣称可以解形如宣称可以解形如 的三次方程的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹并最终将解法传授与卡尔丹 卡尔丹卡尔丹：大术大术(或或大法大法1545年年) 三次方程三次方程 x3 = px + q (p , q 0 ) 的解法：的解法： 实质是考虑恒等式：实质是考虑恒等式：(a b)3 +

6、3ab(a b) = a3 b3 若选取若选取 a 和和b，使，使 3ab= p，a3 b3 = q， （*） 由（由（*）不难解出）不难解出a 和和b， 于是得到于是得到 a b 就是所求的就是所求的 x . 后人称之为卡尔丹公式。后人称之为卡尔丹公式。 卡尔丹还对形如卡尔丹还对形如 x3 = px + q (p , q 0 )的方程给出了解的公式：的方程给出了解的公式： x = a + b 其中其中 对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。卡尔丹能解的类型。 332322pqqa3323

7、22pqqb332322pqqa332322pqqb 费拉里费拉里(L. Ferrari,15221565)(L. Ferrari,15221565)：四次方程求解：四次方程求解 其解法是利用一个变换：其解法是利用一个变换： 将一般四次方程将一般四次方程 简化为简化为 ( (这总可以做到这总可以做到) ) 由此进一步得到由此进一步得到 于是，对于任意的于是，对于任意的z，有，有abyx40234edxcxbxax222242prqypyppyy222222)(2)(zpyzrpqypyzpy)2()2(222zpzrpqyyzp024rqypyy 再选择适当的再选择适当的 z ，使上式右边成为

8、完全平方式，实际上使，使上式右边成为完全平方式，实际上使 即可。这样就变为即可。这样就变为z z的三次方程。的三次方程。0)2)(2(4222qzpzrpzp 费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种卡尔丹：卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，将塔氏方法推广到一般情形的三次方程， 给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四 次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“ 不可约不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现情形感到困惑，认为复根是成对出现 的；卡尔丹还发现了三次方程的

9、三根之和等于的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于 x x2 2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x x 项的系数，等等项的系数，等等 15721572年年, ,意大利数学家意大利数学家邦贝利邦贝利在其所著教科书在其所著教科书代代cbxaxx234baxx34cbxaxx24baxx4 代数代数中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示表示 -11。 牛顿牛顿在其在其普遍的算术普遍的算术中证明复根成对出现中证明复根成对出现 荷兰人荷兰人吉拉德吉拉德代数新发现代数新发现(1629) 作进一步的

10、推断：对于作进一步的推断：对于n次多项式方次多项式方 程，如果把不可能的程，如果把不可能的(复数根复数根)考虑在内，并包括重根，则应有考虑在内，并包括重根，则应有n 个根。个根。 根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。 * * 法国代数学：法国代数学： 韦达：韦达：分析方法入门分析方法入门(1591)、论方程的整理与修正论方程的整理与修正(1615)、有效有效 的数值解法的数值解法(1600)等方程论著作等方程论著作 给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。给出代数方程的近似解法与代数方程的多项

11、式分解因式解法。 笛卡儿：笛卡儿：1637年年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求 解解.几何学几何学中提出因式分解定理：中提出因式分解定理：f (x) 能为能为 (x-a) 整除整除,当且仅当当且仅当a 是是 f (x) = 0的一个根的一个根;未加证明叙述了未加证明叙述了n次多项式方程应有次多项式方程应有 n个根的论断个根的论断, 以以 及及 “笛卡儿符号法则笛卡儿符号法则”:多项式方程多项式方程f (x) = 0 的正根的最多个数等于系的正根的最多个数等于系 数数变变 号的次数号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续

12、出现的次数负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数. 韦达：韦达：分析引论分析引论(1591)(1591) 第一次有意识地使用系统的代数字母与符号第一次有意识地使用系统的代数字母与符号, ,辅音辅音 字母表示已知量字母表示已知量, ,元音字母表示未知量元音字母表示未知量, ,他把符号他把符号 性代数称作性代数称作“类的算术类的算术”. .同时规定了算术与代数同时规定了算术与代数 的分界的分界, ,认为代数运算施行于事物的类或形式认为代数运算施行于事物的类或形式, ,算算 术运算施行于具体的数术运算施行于具体的数. .使代数成为研究一般类型使代数成为研究一般类型 的形式和方程的学问的形

13、式和方程的学问, ,因其抽象而应用更为广泛因其抽象而应用更为广泛. . 韦达的符号代数保留着韦达的符号代数保留着齐性原则齐性原则，要求方程中各项都，要求方程中各项都 是是“齐性齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加的，即体积与体积相加，面积与面积相加. .1.2 1.2 符号代数的引入符号代数的引入 韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的代数新发现代数新发现和和奥特雷德奥特雷德(Oughtred, 15751660）的）的实用分析术实用分析术所继承。特别是通所继承。特别是通过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数过后者的著

14、作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, ）表示已知量，后几个（）表示已知量，后几个（x, y, z, w, ）表示未知量，成为今天的习）表示未知量，成为今天的习惯。惯。 到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问题具有一般性。很好的功效。并且使数学问题具有一般性。 部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：符号符号使用

15、者使用者时间时间方根方根RFibonacci (11701250, 意意)1202年年加，减加，减p, mPacioli (约约14451517, 意意)1494年年加，减加，减+ , -J.Widman（德）（德）1489年年减减Oughtred（英）（英）1631年年等于等于=R. Recorde（英）（英）1557年年等于等于Vieta（法）（法）1591年年等于等于 Descartes（法）（法）1637年年乘乘 Oughtred（英）（英）1631年年乘乘 Oughtred（英）（英）1631年年运算或关系运算或关系比例比例：Oughtred（英）（英）1631年年除除 J.H.Ra

16、hn (16221676, 瑞士瑞士)1659年年大于大于,小于小于, T. Harriot（15601621,英）英）16世纪世纪方括号方括号,大括号大括号 , Vieta （法）（法）1593年年根号根号 C.Rudolff （奥地利）（奥地利）16世纪世纪 n根号根号A.Girard（15931632,荷）荷）16年年乘幂乘幂xnxnOresme14世纪世纪乘幂乘幂xnBombelli （法）（法） 乘幂乘幂axnanChuquet （法）（法）1484年年指数指数a3a3Pierre Herigone （法）（法）1634年年指数指数a3aaaT. Harriot（15601621,英

17、）英） 指数指数axaxDescartes （法）（法）1637年年 n 波伊尔巴赫：波伊尔巴赫： 把托勒玫的把托勒玫的天文大成天文大成译成拉丁文，并编制了十分精确的正弦表。译成拉丁文，并编制了十分精确的正弦表。 雷格蒙塔努斯：雷格蒙塔努斯： 论各种三角形论各种三角形欧洲第一部脱离天文学的三角学专著欧洲第一部脱离天文学的三角学专著 全书分五卷，前两卷论平面三角全书分五卷，前两卷论平面三角, 后三卷论球面三角后三卷论球面三角, 给出了球面三角给出了球面三角 正弦定理和边的余弦定理。正弦定理和边的余弦定理。 方位表方位表：制定高达：制定高达5位的三角函数表位的三角函数表, 除正余弦表外除正余弦表外

18、, 还有正切表。还有正切表。 首次对三角学作出完整、独立的阐述首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播。使其开始在欧洲广泛传播。 维尔纳维尔纳(Werner,14681528)：论球面三角论球面三角(1514) 改进了将雷格蒙塔努斯的思想。改进了将雷格蒙塔努斯的思想。 雷提库斯：雷提库斯： 将传统的弧与弦的关系将传统的弧与弦的关系, 改进为角的三角函数关系改进为角的三角函数关系, 并采用了六个函数并采用了六个函数 (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，编制了间隔为，编制了间隔为10“的的10位位 和和15位正弦表。位正弦表。 韦达：韦达：将平

19、面三角与球面三角知识系统化将平面三角与球面三角知识系统化.在在标准数学标准数学(1579)和和斜截斜截 面面(1615) 中中, 把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起, 其中包括自己得到的正切公式：其中包括自己得到的正切公式： 建立解球面三角形的方法与一套公式建立解球面三角形的方法与一套公式, 给出帮助记忆这些公式的今天给出帮助记忆这些公式的今天 所谓的所谓的“纳皮尔法则纳皮尔法则”. 这些球面三角公式大都是托勒玫建立的这些球面三角公式大都是托勒玫建立的, 但但 也也有有 韦达自己的公式韦达自己的公式, 如如 （A为钝角）为钝角） 尤为重要的

20、是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。尤为重要的是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。 16世纪世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。 2tan2tanBABAbabaaCBCBAcossinsincoscoscos2sin2cos2sinsinBABABA 圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线。天文观测的需要，光学又日益成为文艺复兴时期的一个以及其它高等曲线。天文观测的需要，光学又日益成为文艺复兴时期的一个重要课

21、题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。重要课题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。 中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。文艺复兴时期，描绘现实世界中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标成为绘画的重要目标. .画家们在将三维现实世界画家们在将三维现实世界 由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起, 从从而诞生了投影几何学。而诞生了投影几何学。 布努雷契：布努雷契：由于对数学对兴趣而认真研究透由于对数学对兴趣而认真研究透 视法，他试图运用几何方法进行绘画。视法，他试图运用几何方法进行绘画。 阿尔贝蒂：阿尔贝蒂：论绘画

22、论绘画(1511) 早期数学透视早期数学透视 法的代表作。引入投影线、截影等概念，法的代表作。引入投影线、截影等概念， 还讨论了截影的数学性质，成为射影几何还讨论了截影的数学性质，成为射影几何 发展的起点。发展的起点。绘制到二维的画布上时绘制到二维的画布上时, ,面临的问题：面临的问题： （1 1）一个物体的同一投影的两个截影有什么）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？共同的性质？ （2 2）从两个光源分别对两个物体投影得同一）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影物影, ,那么这两个物体有何共同的几何性质？那么这两个物体有何共同的几何性质？蒙娜丽莎达芬奇自画像 德沙格德沙格(G.D

23、esargues, 15911661)： 系统讨论透视法的第一人系统讨论透视法的第一人. 他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定理圆锥曲线的定理. 1636年发表第一篇关于透视法的论文年发表第一篇关于透视法的论文. 代表作是代表作是1639年发年发 表的表的试论锥面截一平面所得结果的初稿试论锥面截一平面所得结果的初稿,书中引入书中引入70多个投影几何术多个投影几何术 语语, 有些很古怪有些很古怪, 如投影线叫如投影线叫“棕棕”, 标有点的直线叫标有点的直线叫“干干”, 其上有三点成对合关其上有三点成对合关系系 的直线叫的直线叫“树树” 等

24、等。等等。 创造性思想：创造性思想： 从焦点透视的投影与截影原理出从焦点透视的投影与截影原理出 发发, 对平对平行线引入无穷远点的概念行线引入无穷远点的概念, 继而获得无穷远继而获得无穷远线的概念线的概念; 讨论了今天所谓的笛沙格定理讨论了今天所谓的笛沙格定理: 投影三角形投影三角形 ABC 和和ABC 的对应边的对应边(或或 延长线延长线)交点交点Q、R、P共线。反之，对应共线。反之，对应 边交点共线的三角形，对应顶点连线边交点共线的三角形，对应顶点连线 AA、BB、CC共点共点O 。 德沙格在他朋友鲍瑟德沙格在他朋友鲍瑟16481648年发表的一本年发表的一本关于透视法著作的附录中关于透视

25、法著作的附录中, ,发表了三角形其发表了三角形其它一些射影性质的结论它一些射影性质的结论, ,其中包含投影变换其中包含投影变换下交比不变性定理。下交比不变性定理。A B C DQRPABCCABOOA BCD一直线上的四点一直线上的四点A、B、C、D间的线段构成的比间的线段构成的比 定义为它们的定义为它们的交比交比. 笛沙格从投影观点考虑，证明了投影线的每个截线上的交比都相等。笛沙格从投影观点考虑，证明了投影线的每个截线上的交比都相等。 从从对合点对合点问题出发首次讨论了问题出发首次讨论了调和点组调和点组的理论。笛沙格利用射影原理证明的理论。笛沙格利用射影原理证明了：在圆锥曲线的内接四边形中，

26、任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全了：在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上引入四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上引入共轭点共轭点与调与调和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。在调和点和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。在调和点组概念基础上，笛沙格进一步研究了组概念基础上，笛沙格进一步研究了极点与极带理论极点与极带理论。利用这些理论处理了阿。利用这些理论处理了阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，他将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影波罗尼奥斯的圆锥曲

27、线，他将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。DCDABCBA 法国另一位数学家法国另一位数学家帕斯卡帕斯卡（Blaise Pascal, 16231662）十六岁时就开始）十六岁时就开始也研究投射与取景法也研究投射与取景法, 他曾接受笛沙格的建议他曾接受笛沙格的建议 把圆锥曲线的许多性质简化把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题为少数几个基本命题, 1640年完成著作年完成著作略论圆锥曲线略论圆锥曲线, 不久失传不久失传, 后于后于1779 年被重新发现年被重新发现. 在射影几

28、何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理在射影几何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理:圆锥曲线的内接六边形对边交点共线圆锥曲线的内接六边形对边交点共线. （1）一个数学对象从形状连续变化到另一形状；）一个数学对象从形状连续变化到另一形状； （2）变换与变换不变性；）变换与变换不变性； （3）几何新方法）几何新方法仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。 十七世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然十七世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然, ,用代数方法处理数学问用代数方法处理数学问题一般更为有效题一般更为有效, ,也特别容易获得科技所需要的数量结

29、果也特别容易获得科技所需要的数量结果, ,而射影几何学家的而射影几何学家的方法是综合的方法是综合的, ,而且得出的结果也是定性的而且得出的结果也是定性的, ,不那么有用不那么有用. .因此因此, ,射影几何产生射影几何产生后不久后不久, ,很快就让位于代数、解析几何和微积分很快就让位于代数、解析几何和微积分, ,终由这些学科进一步发展出终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科在近代数学中占中心地位的其它学科. .笛沙格、帕斯卡、希尔等人的工作与结笛沙格、帕斯卡、希尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘果也渐被人们所遗忘, ,迟至十九世纪才又被人们重新发现迟至十九世纪才又被人们重新发

30、现. . 拉伊尔拉伊尔: (P. de la Hire,16401718) 圆锥曲线圆锥曲线(1685)中首先证明了有关调和点组的圆的性质中首先证明了有关调和点组的圆的性质, 再通过投影和取再通过投影和取截影截影, 将这些性质推广到圆锥曲线上将这些性质推广到圆锥曲线上, 证明了阿波罗尼乌证明了阿波罗尼乌斯的斯的364个关于圆锥曲线的定理中的个关于圆锥曲线的定理中的300个个. 其结果并未超其结果并未超过笛沙格与帕斯卡的工作过笛沙格与帕斯卡的工作, 最突出的地方在于极点理论方最突出的地方在于极点理论方面有所创新面有所创新, 获得并且证明了命题：若一点获得并且证明了命题：若一点Q在直线在直线p上移

31、上移动动, 则该点则该点Q 的极带将绕那直线的极带将绕那直线 p 的极点的极点 P 转动转动. 德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在十七世纪人们对二者不加区别。但我们应该为欧几里得几何的一部分，从而在十七世纪人们对二者不加区别。但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的数学思想和观点：认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的数学思想和观点： 科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要,对计算技术提出了前所未对计算技术提出了前所未有的要求有的要求. 如：地理探险

32、与海洋贸易需要更为准确的天文知识如：地理探险与海洋贸易需要更为准确的天文知识; 以精确观测为基以精确观测为基础的新天文学说需要精密的天文数表础的新天文学说需要精密的天文数表, 特别是三角函数表特别是三角函数表;日益发展起来的银行日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计算技术业务和商务活动也需要更好的计算技术. 由于算术方面的推动由于算术方面的推动, 数域开始得到拓数域开始得到拓宽宽, 人们能够对分数、正负数、无理数及连分数有了一定的认识并作适当的处人们能够对分数、正负数、无理数及连分数有了一定的认识并作适当的处理理. 1585年荷兰数学家史蒂文发表的年荷兰数学家史蒂文发表的论十进制算术论

33、十进制算术系统探讨十进数及其运系统探讨十进数及其运算理论算理论, 并提倡用十进制小数来书写分数并提倡用十进制小数来书写分数, 还建议度量衡及币制中也广泛采用十还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制进制. 这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。 对数的发明和应用：由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方对数的发明和应用：由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种设想受到人们熟知的三

34、角公式设想受到人们熟知的三角公式 的启示，或许受到斯蒂费尔在他的的启示，或许受到斯蒂费尔在他的综合算术综合算术（1544）中所发现的几何级数）中所发现的几何级数 1, r, r2, r3, 与其指数构成的算术级数与其指数构成的算术级数0, 1, 2, 3, 之间对应关系及运算性质的启示。之间对应关系及运算性质的启示。2)cos()cos(sinsinBABABA 纳皮尔纳皮尔(J.Napier)： 在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法. 奇妙的对数定理说明书奇妙的对数定理说明书(1614) 阐述了对数方法阐述了对数方法. 他考察一个点他考察一个点

35、P沿直线沿直线AB(长度为长度为107单位单位)运动运动,其速度其速度在每一点在每一点P上正比于剩余距离上正比于剩余距离PB = y;再假定一个点再假定一个点Q沿无限直线沿无限直线CD匀速运动匀速运动,速度等于第一点在速度等于第一点在A处的速度处的速度, CQ = x; 且且P与与Q分别同时从分别同时从A、C出发出发(如图如图); 那那么定义么定义 x 是是 y 的对数。的对数。 APyBCDQx图图 纳皮尔最初让纳皮尔最初让 x 和和 y 这两组数是按公式这两组数是按公式 对应对应, 其中其中a = 107，e 是自然对数的底，当是自然对数的底，当 时，并不能得到时，并不能得到 ，而是得到，

36、而是得到 。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他作了以分弧为间隔的作了以分弧为间隔的0 90 角正弦的对数表。角正弦的对数表。 axeay121xxx21yyy ayyy21 布里格斯布里格斯(Henry Briggs,15611631)：与纳皮尔合作与纳皮尔合作, 决定采用决定采用y =10 x , 则则 时得到时得到 , 获得获得今天所谓的今天所谓的“常用对数常用对数”. 由于我们的数系是十进的由于我们的数系是十进的, 从而它在数值计算从而它在数值计算上具有优越性上具有优越性. 对数算术对数算术(1624)编制了编制了1

37、-2000以及以及90000-100000的的14位常用对数表。位常用对数表。 比尔吉比尔吉(Jobst Brgi, 15521632) :1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算。其对数思想的基础年也独立地发明了对数方法以简化天文计算。其对数思想的基础是斯蒂费尔的级数对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法。不是斯蒂费尔的级数对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法。不过他的发明迟至过他的发明迟至1620年才得到发表。年才得到发表。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。拉普拉斯拉普拉斯(Laplace, 17491827)曾赞誉

38、：曾赞誉：“对数的发明以其节省劳力而对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命延长了天文学家的寿命”。可以说，到十六世纪末、十七世纪初，整个。可以说，到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。21xxx21yyy 近代数学本质上可以说成是变量数学。近代数学本质上可以说成是变量数学。 生产力对科学技术提出的要求：生产力对科学技术提出的要求： 机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海

39、事机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事 业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律； 武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等； 十六世纪十六世纪, 对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题, 这就迫切地需这就迫切地需要一种新的数学工具要一种新的数学工具, 从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。 解析几何解析几何 变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生变量数学的第一个里程碑是

40、解析几何的诞生. 解析几何的基本思想是在平面解析几何的基本思想是在平面上引进所谓上引进所谓“坐标坐标”的概念的概念, 并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(x , y)之间建立一一对应的关系之间建立一一对应的关系. 代数方程代数方程 f (x , y) = 0对应于平面曲线对应于平面曲线. 奥雷斯姆：奥雷斯姆：解析几何最重要的前驱解析几何最重要的前驱 论形态幅度论形态幅度中提出的形态幅度原理中提出的形态幅度原理(或称图线原理或称图线原理), 甚至已接触到直角甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象坐标系中用曲线表示函数的图象, 奥雷斯姆借用奥雷斯姆借

41、用“经度经度”、“纬度纬度”这两个这两个地理学术语来叙述他的图线地理学术语来叙述他的图线, 相当于纵坐标与横坐标相当于纵坐标与横坐标. 不过他的图线概念是模不过他的图线概念是模糊的糊的, 至多是一种图表至多是一种图表, 还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。 笛卡儿笛卡儿: 更好地指导推理和寻求科学真理的方法更好地指导推理和寻求科学真理的方法论论(1637) 三个附录三个附录:几何学几何学,屈光学屈光学和和气象气象学学, 解析几何的发明包含在解析几何的发明包含在几何学几何学中中. 笛卡尔出发点是笛卡尔出发点是帕普斯帕普斯(Pappus)问题：问题： 设在平面上

42、给定设在平面上给定3条直线条直线 l1 、l2 和和 l3，从平，从平面上的点面上的点C 作点作三条直线分别与作点作三条直线分别与l1 、l2 、l3交于交于P、R、Q，交角分别等于已知角，交角分别等于已知角 1 、 2 和和 3，求使求使CPCR = k CQ 2的点的点C的轨迹。如的轨迹。如果给定四条直线果给定四条直线(如图如图)，则求使，则求使 这一问题称作帕普斯四直线问题这一问题称作帕普斯四直线问题. 问题还问题还可以类似地推广到可以类似地推广到 n 条直线的情形条直线的情形.帕普斯帕普斯曾宣称曾宣称, 当给定的直线是三条或四条时当给定的直线是三条或四条时,所所得的轨迹是一条圆锥曲线。

43、得的轨迹是一条圆锥曲线。 的的C C点的轨迹。点的轨迹。kCSCQCRCPl2 l3 l4l1E A x P GyRDCQHFS几何学几何学第二卷证明了四直线问题的帕普斯结论。其做法是：记第二卷证明了四直线问题的帕普斯结论。其做法是：记AP为为x，PC为为y，经简单的几何分析，他用已知量表出，经简单的几何分析，他用已知量表出CR、CQ 和和CS 的值，代入的值，代入CPCR = CSCQ，就得到一个关于，就得到一个关于x和和y的二次方程：的二次方程： y 2 = A y + B x y + C x + D x 2 (* )其中其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。是由已知量组成的简单代

44、数式。笛卡尔指出，任给笛卡尔指出，任给x一个值，就得到一个关于一个值，就得到一个关于y的二次方程，从这个方程可的二次方程，从这个方程可以解出以解出y，根据，根据几何学几何学第一卷所给的方法，用圆规直尺将第一卷所给的方法，用圆规直尺将y画出。如果我画出。如果我们取无穷多个们取无穷多个x值，就得到无穷多个值，就得到无穷多个y值，从而得到无穷多个点值，从而得到无穷多个点C，所以这些，所以这些点点C的轨迹就是方程（的轨迹就是方程（*）代表的曲线。）代表的曲线。 笛卡儿在这里选定一条直线笛卡儿在这里选定一条直线(AG)作为基线作为基线(相当于一根坐标轴相当于一根坐标轴)，以点，以点A为为原点，原点，x值

45、是基线的长度，从值是基线的长度，从A点量起；点量起；y值是另一条线段的长度，该线段从值是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。于是，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系基线出发，与基线交成定角。于是，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。几何学几何学第三卷还给出直角坐标系的例子。第三卷还给出直角坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条

46、不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。 笛卡儿几何学的方法论背景笛卡儿几何学的方法论背景:几何学几何学作为笛卡儿哲学著作作为笛卡儿哲学著作方法论方法论的附录，意味着他的几何学发的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为推证真理的方法，这个方法就是数学方法

47、，称之为“通用数学通用数学”。由此。由此出发提出一种大胆的计划，即：出发提出一种大胆的计划，即： 任何的问题任何的问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解为了实现这一计划，笛卡儿首先通过为了实现这一计划，笛卡儿首先通过“广延广延” (对有形物广延的一种推广对有形物广延的一种推广)的比较将一切度量问题化为代数方程问题的比较将一切度量问题化为代数方程问题.为此需要确定比较的基础，即为此需要确定比较的基础，即定义定义“广延广延”单位，以及建立单位，以及建立“广延广延”符号系统及其算术运算，特别是符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应。要给出算术运算与几何图形之间的

48、对应。 当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是数方程问题后将如何继续，这还是几何学几何学需要完成的任务。笛卡尔需要完成的任务。笛卡尔运用算术或代数术语将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数运用算术或代数术语将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：方程： z = b z2 = a z + b z3 = a z2 + b z + c z4 = a z3 + b z2 + c z + d 几何学几何学的主要篇幅或者说主要目标就是讨论如何给出这些方程的标的主要篇幅或者说主要目

49、标就是讨论如何给出这些方程的标准解法准解法(由线段作图画出由线段作图画出)。笛卡儿依次对此进行分类解答：。笛卡儿依次对此进行分类解答： (1) 一、二次方程；一、二次方程； (2) 三、四次方程；三、四次方程； (3) 五、六次方程；五、六次方程； 几何学几何学第一卷对于最简单的第（第一卷对于最简单的第（1）类方程，讨论了三种形式的二）类方程，讨论了三种形式的二次方程：次方程： z2 = a z + b2 z2 = a z + b2 z2 = a z b2 并分别给出作图（解）。本质上是利用圆并分别给出作图（解）。本质上是利用圆与直线的交点。与直线的交点。 以以z2 = a z + b为例，笛

50、卡儿作一直角三为例，笛卡儿作一直角三角形角形NLM，使其一边，使其一边LM = b，另一边，另一边LN = a /2，延长斜边，延长斜边MN至至O，使，使NO = NL，则，则OM即所求线段即所求线段 z（如图）。（如图）。 aONPL b M2图图 笛卡儿发明坐标几何的最终目标是解决高次方程的作图问题在笛卡儿发明坐标几何的最终目标是解决高次方程的作图问题在几何学几何学第三卷的后半部分，他利用得到的坐标几何工具，解决了三、四次方程的作第三卷的后半部分，他利用得到的坐标几何工具，解决了三、四次方程的作图图( (利用圆与抛物线的交点利用圆与抛物线的交点) )和五、六次方程的作图和五、六次方程的作图