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1、 Department of Mathematics第二节第二节 初等解析函数初等解析函数1 1、指数函数指数函数2 2、三角函数与双曲函数、三角函数与双曲函数一、指数一、指数函数函数1.定义2.4 对任何复数z=x+iy,用关系式2.指数指数函数的函数的基本性质基本性质证明证明于是于是所以所以因此因此故必有故必有例例1注注(2)数分中的微分中值定理不能推广到复函数中来.二、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义三角函数的定义将将两式相加与相减两式相加与相减,得得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况(y改为改为z).定义定义
2、2.5性质性质(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数数.(5)在复数域内无在复数域内无(注意：这是与实注意：这是与实变函数完全不同的变函数完全不同的)(6)有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式注注:对任何复数对任何复数Z,有有这是欧拉公式在复数域中的推广这是欧拉公式在复数域中的推广.证明证明由于由于所以所以因此因此例例22.定义定义2.6 规定规定注注1 在复平面上分母不为零的点解析在复平面上分母不为零的点解析,且且注注2 正切正切,余切的基本周期为余切的基本周期为正割正割,余割的基本周期为余割的基本周期为例例2证明证明由定义由定义故必有故必有所以所以3.双曲函数的定义双曲函数的定义注注1 无论是复三角函数还是复双曲函数无论是复三角函数还是复双曲函数,都是由复都是由复指数函数表示指数函数表示.它们的导数分别为它们的导数分别为并有如下公式并有如下公式:它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,例例1 1解解例例2 2解解作业P92习题(一)13(1)(2)本节结束谢谢！