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1、第三讲 解析函数的充要条件初等函数&1.解析函数的充要条件&2.举例2.2 解析函数的充要条件 如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域 D内处处可导，则函数 w=f(z)在 D内解析。本节从函数 u(x,y)及 v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题 如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件A 记忆定义 方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D 内有定义，则 f(z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件
2、是 u(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有证明（由f(z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导 函数 u(x,y)、v(x,y)可微）。函数 w=f(z)点 z可导，即则 f(z+z)-f(z)=f(z)z+(z)z(1),且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，(z)=1+i2 故（1）式可写为因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以u(x,y)，
3、v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f(z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：定理2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是 u(x,y)和 v(x,y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：A 前面我们常
4、把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.注解:n 和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；n 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；n 解析函数的导数有更简洁的形式：反例：u(x,y)、v(x,y)如下：二.举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则 u=excosy,v=exsiny仅在点z=0处满足C-R条件，故解(
5、3)设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z0处解析，其导数为例3 证明例例4 如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，且f(z)0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解利用C-R方程 ux=vy,uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即
6、：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2&1.指数函数&2.三角函数和双曲函数&3.对数函数&4.乘幂与幂函数&5.反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内 容 简 介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义A 这个性质是实变指数函数所没有的。A 例1例2例3二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义q正弦与余弦函数的性质
7、思考题由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)定义称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质三.对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义故特别A(2)对数函数的性质见1-6例1例4四.乘幂 与幂函数 q 乘幂ab定义A 多值一般为多值q支(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。A(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。解例5q 幂函数zb定义当b=n(正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数 除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数详见P52A 重点：指数函数、对数函数、乘幂