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1、6.6关注三角形的外角如图如图.1.1是是ABC的一个外角的一个外角,11与图中的其与图中的其它角有什么关系它角有什么关系?1+4=1+4=1800;12;12;13;13;1=2+3.1=2+3.证明证明:2+3+4=2+3+4=1800(三角形内角和定理三角形内角和定理),1+4=1+4=1800(平角的意义平角的意义),1=2+31=2+3.(等量代换等量代换).12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).ABCD1234w能证明你的结论吗能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不
2、相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234w在这里在这里,我们通过三角我们通过三角形内角和定理直接推导形内角和定理直接推导出两个新定理出两个新定理.像这样像这样,由一个公理或定理直接由一个公理或定理直接推出的定理推出的定理,叫做这个公叫做这个公理或定理的理或定理的推论推论.w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:w推论推论1:1:三角形
3、的一个外角等于和它不相邻的两三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个内角的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角相邻的内角.wABC中中:w1=2+3;1=2+3;w12,13.12,13.ABCD1234w这个结论以后可以直接运用.例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平平分外角分外角EAC,B=C.求证求证:ADBC.证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),ab(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).B=C(已知已知),
4、DAC=C(等量代换等量代换).ACDBE AD平分平分 EAC(已知已知).C=EAC(等式性质).DAC=EAC(角平分线的定义).例题是运例题是运用了定理用了定理“内错角内错角相等相等,两直两直线平行线平行”得到了证得到了证实实.还有其它方法吗？还有其它方法吗？方方法法一一ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平平分外角分外角EAC,B=C.求证求证:ADBC.B=C(已知已知),B=EAC(等式性质).AD平分平分 EAC(已知已知).DAE=EAC(角平分线的定义).DAE=B(等量代换等量代换).ab(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).这里是
5、运这里是运用了公理用了公理“同位角同位角相等相等,两直两直线平行线平行”得到了证得到了证实实.证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),方方法法二二ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平平分外角分外角EAC,B=C.求证求证:ADBC.DAC=C(已证已证),BAC+B+C=1800 (三角形内角和定理三角形内角和定理).BAC+B+DAC=1800 (等量代换等量代换).ab(同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行).这里是运用了定理这里是运用了定理“同旁内角互同旁内角互补补,两
6、直线平行两直线平行”得到了证实得到了证实.证明证明:由证法由证法1可得可得:方方法法三三例例2 已知已知:如图如图6-14,在在ABC中中,1是它的一个外角是它的一个外角,E为边为边AC上一点上一点,延延长长BC到到D,连接连接DE.求证求证:12.证明证明:1是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知),13(三角形的一个外角大于三角形的一个外角大于任何一个和任何一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角).3是是CDE的一个外角的一个外角(外角定义外角定义).32(三角形的一个外角大于任三角形的一个外角大于任 何何一个和一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角).12(不等式的性质不等式的性质).CA
7、BF1345ED2已知已知:如图所示如图所示,在在ABC中中,外角外角DCA=100,A=45.求求:B和和ACB的大小的大小.ABCD解解:DCA是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知),DCA=100(已知已知),B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和).又又 DCA+BCA=180(平角意义平角意义).ACB=80(等式的性质等式的性质).A=45(已知已知),已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2)BDC=A+B+C.证明证明(1):BDC是是DCE的一个外的一个外角角 (外角意义外角意义
8、),BDCCED(三角形的一个外角大于和三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角它不相邻的任何一个外角).DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角任何一个外角).BDCA(不等式的性质不等式的性质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2)BDC=A+B+C.证明证明(2):BDC是是DCE的一个外的一个外角角 (外角意义外角意义),BDC=C+CED(三角形的一个外角等三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和).DEC=A+
9、B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和邻的两个外角的和).BDC=A+B+C(等式的性质等式的性质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADEw已知已知:国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示.w求求:A+B+C+D+E的度数的度数.解解:1是是BDF的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),1=B+D(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等于和它不相邻的两个内角的和).2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和).又A+1+2=180(三角形内角和定理).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E=180(等式性质等式性质).三角形内角和定理三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0。w推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和内角的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角邻的内角.w推论推论3:3:直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余.P214习题6.7 1,2,3题;