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1、北师大课标八下北师大课标八下 6.66.6 6.6 关注三角形的关注三角形的外角外角w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程中的具与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法体做法.w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程地写出证明过程;w(6
2、)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾与思考回顾与思考w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等三角形三个内角的和等于于1800.ABC中中,A+B+C=1800.A+B+C=1800的几种变形的几种变形:A=1800 (B+C).B=1800 (A+C).C=1800 (A+B).A+B=1800-C.B+C=1800-A.A+C=1800-B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用. ABC回顾与思考回顾与思考w如图如图. 1是是ABC的一个外角的一个外角, 1与图中的其它角与图中的其它角有什么关系有什么关系?w1+4=1800 ;w12
3、;w13;w1=2+3.w证明证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理三角形内角和定理),w 1+4=1800(平角的意义平角的意义),w 1= 2+3.(等量代换等量代换).w 12,13(和大于部分和大于部分).ABCD1234w能证明你的结论吗能证明你的结论吗?w用文字表述为用文字表述为:w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.回探索与思考回探索与思考w在这里在这里, ,我们通过三角形内角我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理和定理直接
4、推导出两个新定理. .像这样像这样, ,由一个公理或定理直由一个公理或定理直接推出的定理接推出的定理, ,叫做这个公理叫做这个公理或定理的或定理的推论推论(corollary).(corollary).w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用. . w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: :w推论推论1: 1: 三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和. .w推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角和它不相邻的内角. .ABCD1234关注外角关注外角w三角形内角和定理的推论三角形内角
5、和定理的推论:w推论推论1: 三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和.w推论推论2: 三角形的一个外角大于任何一个三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角和它不相邻的内角.wABC中中: 1=2+3;12,13.ABCD1234w这个结论以后可以直接运用这个结论以后可以直接运用.引入新知引入新知w例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分外角平分外角EAC,B= C. 求证求证:ADBC.w证法证法(1): EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ab
6、(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).B=C (已知已知), DAC=C(等量代换等量代换).ACDBEw分析分析:要证明要证明ADBC,只需要证明只需要证明“同位角相等同位角相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”. AD平分平分 EAC(已知已知).21C= EAC(等式性质等式性质).21DAC= EAC(角平分线的定义角平分线的定义).例题是运用了例题是运用了定理定理“内错角内错角相等相等,两直线两直线平行平行”得到了得到了证实证实.例题赏析例题赏析ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分平分外角外角EAC,B= C. 求
7、证求证:ADBC. B=C (已知已知),21B= EAC(等式性质等式性质). AD平分平分 EAC(已知已知).21DAE= EAC(角平分线的定义角平分线的定义). DAE=B(等量代换等量代换). ab(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).这里是运这里是运用了公理用了公理“同位角同位角相等相等,两直两直线平行线平行”得到了证得到了证实实.证法证法(2): EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),分析分析:要证明要证明ADBC,只需要证明只需要证明“同位角同位角相等相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内
8、角互补同旁内角互补”.例题赏析例题赏析ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分外平分外角角EAC,B= C. 求证求证:ADBC.分析分析:要证明要证明ADBC,只需要证明只需要证明“同位同位角相等角相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互同旁内角互补补”. DAC=C (已证已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换等量代换). ab(同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行).这里运用了定理这里运用了定理“同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行”.证法证法(3)
9、: 由证法由证法1可得可得:例题赏析例题赏析w例例2 已知已知:如图如图6-14,在在ABC中中, 1是是它的一个外角它的一个外角, E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D,连接连接DE.w求证求证: 12.w证明证明: 1是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知), 13(三角形的一个外角大三角形的一个外角大于任何一个和于任何一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角). 3是是CDE的一个外角的一个外角 (外角定义外角定义).32(三角形的一个外角大于任何一个和三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角). 12(不等式的性质不等式的性质).CABF1345ED2例题赏
10、析例题赏析w1.已知已知:如图所示如图所示,在在ABC中中,外角外角DCA=100,A=45.求求:B和和ACB的大小的大小.ABCD解解: DCA是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知), DCA=100(已知已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和和它不相邻的两个内角的和).又又 DCA+BCA=180(平角意义平角意义). ACB=80(等式的性质等式的性质). A=45(已知已知),随堂练习随堂练习w2.已知已知:国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示. 求求:A+B+C+D+E的度数的度数.解解:1是是BDF
11、的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),分析分析: :设法利用设法利用外角外角把这五个角把这五个角“凑凑”到一个三角形中到一个三角形中, ,运用三角形运用三角形内角和定理来求解内角和定理来求解. . 1=B+D(三角形的一个外角等三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个内角的和).又又A+1+2=180(三角形内角和定理三角形内角和定理).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180(等式性质等
12、式性质).随堂练习随堂练习w已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2) BDC=A+B+C.证明证明(1): BDC是是DCE的一个的一个外角外角 (外角意义外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角它不相邻的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角邻的任何一个外角). BDCA (不等式的性质不等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE思维拓广思维拓广w已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2) BDC
13、=A+B+C.证明证明(2): BDC是是DCE的一个的一个外角外角 (外角意义外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和和它不相邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE思维拓广思维拓广理解几何命题证明的理解几何命题证明的方法方法,步骤步骤,格式格式及及注意事注意事项项.三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1800.ABC中中,A+B+C=1800.推论推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和.推论推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角不相邻的内角.关注三角形的关注三角形的外角外角.推论推论3: 直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余.你准备如何提高证明命题的能力呢你准备如何提高证明命题的能力呢?课堂小结课堂小结独立独立作业作业P244习题6.7 1,2,3题.