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1、线段的垂直平分线线段的垂直平分线（第二课时）（第二课时）如果如果一个平面图形一个平面图形沿一条直线折叠沿一条直线折叠,直线直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，轴对称图形，这条直线就是它的这条直线就是它的对称轴。对称轴。这时，这时，也说这个图形关于这条直线（成轴）对称也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。复习复习 把一个图形沿着某一条直线对折，如果把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称两个图形关于这条直线对称，也称，也称轴对称轴对称。这条直线
2、叫做这条直线叫做对称轴对称轴，折叠后重合的点是对，折叠后重合的点是对应点，叫做应点，叫做对称点对称点 回忆回忆：轴对称和轴对称图形有什么区别：轴对称和轴对称图形有什么区别和联系？和联系？1、轴对称图形是指一个图形，它反、轴对称图形是指一个图形，它反映了一个图形的特殊形状；而轴对称反映了一个图形的特殊形状；而轴对称反映的是两个全等形的一种特殊位置。映的是两个全等形的一种特殊位置。2、把成轴对称的两个图形看成一个、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形就关于这条直线
3、对称。两个图形就关于这条直线对称。3、成轴对称的两个图形全等吗、成轴对称的两个图形全等吗?全全等的两个图形一定成轴对称吗？等的两个图形一定成轴对称吗？成轴对称的两个图形一定全等，全等成轴对称的两个图形一定全等，全等的两个图形不一定成轴对称。的两个图形不一定成轴对称。定义定义：经过线段中点并且垂直于这条：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的直线，叫做这条线段的线段的垂直平分线，也叫中垂线垂直平分线，也叫中垂线.轴对称的性质：轴对称的性质：如果两个图如果两个图形关于某条直线对称，那么形关于某条直线对称，那么对称对称轴是任何一对对应点的所连线段轴是任何一对对应点的所连线段的垂直平分线
4、的垂直平分线 类似的，类似的，轴对称图形的对称轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线的垂直平分线ABCD复习复习问题问题：如如图图，木条，木条l与与AB钉钉在一起，在一起，l垂直平分垂直平分AB，点，点P是是l上的点，上的点，当点当点P在在l上移上移动时动时，分，分别别量出点量出点P到到A、B的距离，的距离，你有什么你有什么发现发现？你能？你能证证明你的明你的结论吗结论吗？已知：已知：直线直线LAB，垂足为点，垂足为点O，AO=BO，点点P在直线在直线L上。上。求证：求证：PA=PB证明：证明：L AB AOP=BOP=90 在在AOP和和BOP中
5、中 OA=OB AOP=BOP OP=OP AOPBOP(SAS)AP=BP 探究探究POlBA演示演示如果如果PAPB，那，那么点么点P是否在线段是否在线段AB的垂直平分线的垂直平分线上？上？ABPC线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上线段垂直平分线上的的点点与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的距离距离相等相等.PC垂直平分垂直平分AB PAPB探究探究ABPC求证：求证：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线上。这样文字表述的证这样文字表述的证明题，应该有哪些明题，应该有哪些步骤呢？步骤呢？已知：
6、已知：如图，平面内点如图，平面内点P满足满足PA=PB。求证：求证：点点P在线段在线段AB的垂直平分线上。的垂直平分线上。证明：证明：作作PCAB，垂足为点，垂足为点C 在在Rt PAC与与Rt PBC中中 PA=PB PC=PC Rt PAC Rt PBC(HL)AC=BC PC AB PC垂直平分垂直平分AB 点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 PAPB P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上还有其他证明方法吗？还有其他证明方法吗？ABPC 从上面的结论看出：从上面的结论看出：线段垂直平分线线段垂直平分线l上的点与这上的点与这条线段条线段A、B两个端点的距离相等；两个端点的距离
7、相等；反过来，反过来，到线段两个端点到线段两个端点A、B距离相等的点，在这条线段的垂距离相等的点，在这条线段的垂直平分线直平分线l上。上。所以，直线所以，直线l可以看成与可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合。两点的距离相等的所有点的集合。即即线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有到线段两个端点距离相等的所有点的集合。点的集合。l探究探究例例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。已知：已知：直线直线AB和和AB外一点外一点C。求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C。作法作法
8、：（：（1）任意取一点）任意取一点K，使点，使点K与点与点C在在AB的两旁；的两旁；（2）以点）以点C为圆心，为圆心，CK长为半径作弧，交长为半径作弧，交AB于点于点D和和E；（3）分别以点）分别以点D和点和点E为圆心，大于为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两的长为半径作弧，两弧交于点弧交于点F；（4）作直线）作直线CF；直线直线CF就是所求作的垂线。就是所求作的垂线。还记得如何经过直线上一点作这条直线的垂线吗？还记得如何经过直线上一点作这条直线的垂线吗？想一想：想一想：为什么直线为什么直线CF就是求作的垂线？就是求作的垂线？例例1、如图，如图，AD BC，BD=DC，点，点C在在AE的垂直平
9、的垂直平分线上，分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD与与DE有什么关系？有什么关系？ADBEC证明：证明：ADBC BD=DC AD是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线 AB=AC(线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与这条线段两个端点的距离相等)点点C在在AE的垂直平分线上的垂直平分线上 AC=CE 又又 AB=AC AB=AC=CE 又又 BD=CD AB+BD=CE+CD=DE证明：证明：AB=ACAB=AC 点点A A在线段在线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线到线段两个端点
10、距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上)BM=MC BM=MC 点点M M在线段在线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上 直线直线AMAM为线段为线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线 （过两点有且只有一条直线）（过两点有且只有一条直线）习题习题2.如图，如图，AB=AC，MB=MC，直线，直线AM是线段是线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？DBCAM3如图，已知如图，已知AC=14cm，AB的垂直平分线的垂直平分线交交AC于于D。1）若）若BC=8cm，则，则BCD的周长是的周长是 cm2）若）若DBC的周长为的周长为24cm，则，则BC=cm；如图，八（如图，八（1）班
11、与八（）班与八（2）班两）班两个班的学生分别在个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，两处参加植树劳动，现要在道路现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个的交叉区域内设一个茶水供应点茶水供应点P，使使P到两条道路的距离相等，到两条道路的距离相等，且且PM=PN，请你用折纸的方法找出请你用折纸的方法找出P点并点并说明理由。说明理由。MNBCA如图：ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P求证：PAPBPC点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得到什么结论？ABCP小结小结1、线段垂直平分线的性质：、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的距离距离相等相等.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理：、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是 的集合。的集合。到线段两个端点距离到线段两个端点距离相等的所有点相等的所有点