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1、1.1.什么叫线段的垂直平分线？什么叫线段的垂直平分线？2.2.线段是不是轴对称图形？如果线段是不是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴。是，请说出它的对称轴。 如图，某镇计划在张村和李村之间修一如图，某镇计划在张村和李村之间修一 条笔直的马路，使马路（不考虑路的宽度）条笔直的马路，使马路（不考虑路的宽度）上的每一个点与两村的距离都相等，同学上的每一个点与两村的距离都相等，同学们，你们认为应该如何修路呢？们，你们认为应该如何修路呢？A张张村村李李村村线段线段AB的中垂线的中垂线MN，垂足为，垂足为C；在；在MN上任取一点上任取一点P，连结，连结PA、PB； 量一量：量一量：PA、PB的长，你能
2、发现什么的长，你能发现什么？PMNCPA=PBP1A=P1B 由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题命题：线段垂直平分线段垂直平分线上的点和这条线段线上的点和这条线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。画画一一画画ABP1命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和和这条线段这条线段两个端点两个端点的距离相等。的距离相等。 已知：如图，已知：如图， 直线直线MNAB,垂垂足为足为C,且且AC=CB.点点P在在MN上上求证：求证： PA=PB证明：证明：MNAB PCA= PCB 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC(
3、SAS) PA=PB证一证证一证ABPMN NC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。段两个端点的距离相等。ABPMNCPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的的垂直平分线上垂直平分线上性质定理有何作用？性质定理有何作用？可证明线段相等可证明线段相等AC=BC,MNAB,P是是MN上任意一点上任意一点PA=PB(线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质)线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质数学语言：数学语言：判断判断（1 1）如图，）如图，CDCD ABAB于于D D，则，则ACACBCBC。（。（ ）ABCDA AB BC CD D
4、判断判断A AB BC CD D（2 2）如图，）如图，ADADBDBD，则，则ACACBCBC。（ ）ABCD(3)、如图直线、如图直线MN垂直平垂直平分线段分线段AB，则，则AE=AF ( )ABMEFN 判断判断 基础闯关基础闯关如图如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.EDABC760 如图如图,AB,AB是是ABCABC的一条边，的一条边，DEDE是是ABAB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为E E，并交，并交BCBC于于点点D D，已知，
5、已知AB=8cm,BD=6cm,AB=8cm,BD=6cm,那么那么EA=_, DA=_.EA=_, DA=_.ABEDC（1）4cm6cm出现垂直平分线想：出现垂直平分线想：ABPMNC中点中点：AC=BC垂直垂直：PCA=PCB=900性质性质：PA=PB 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的垂直平分线的垂直平分线交交ACAC于于DD，如果，如果BC=10cmBC=10cm，那么，那么BCDBCD的周长是的周长是_cm._cm. ABCDE26NABPCPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上（利用全
6、等（利用全等, ,仿照性仿照性质定理自己证明）质定理自己证明）反过来，如果反过来，如果PA=PBPA=PB，那么点，那么点P P是否是否在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上? ?换一换换一换性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。段两个端点的距离相等。已知：线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB 求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明：过点证明：过点P作已知线段作已知线段AB的垂线的垂线PC，PCA=PCB=90 在在RtPACRtPBC中中 PA=PB（已知）（已知） PC=
7、PC（公共边），（公共边），RtPACRtPBC(HL)CBPA AC=BC（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）即，即，P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定：线段垂直平分线的判定：判定定理：判定定理：到线段两个端点的距离相到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上等的点在这条线段的垂直平分线上几何语言：几何语言： PA=PB(已知已知),点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段到一条线段两个端点距离相等的点两个端点距离相等的点,在这条线段的垂在这条线段的垂直平分线上直平分线上).判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一条直线
8、是线段的中垂线用途：判定一条直线是线段的中垂线 判定定理：与判定定理：与一条线段两个端点距离一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。和这条线段两个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上判定判定ABPC性质性质题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线线段垂直平分线例例1：尺规作图：尺规作图： 经过已知直线外一点作这条直线的垂线经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：
9、直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点CABC练习练习1、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线，直线AM是线段是线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？ABCM例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;BACMNMN PPA=PB=PCPB=PC点点P在线段在线段BC的垂的垂直平分线上直平分线上PA=PB点点P在线段在线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上分析：分析：结论：结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三
10、个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂的垂直平分直平分 线交于线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分的垂直平分线线MN上，上，PA=PB（垂直平分线性质）（垂直平分线性质）同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMN P （1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“与点与点A A、B B的距离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？线段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看作是和线段可以看作是和线段两个端点距离相等两个端点距离相等
11、的所有的点的集合的所有的点的集合想一想想一想 （2 2）满足）满足“与与A A、B B的距离相等的距离相等”的所有点的所有点都都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？二、逆定理：二、逆定理：与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。条线段两个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线判定线段垂直平分线判定
12、线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合13.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线