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1、交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理 1.3.11.3.1二项式定理二项式定理 安岳中学安岳中学 杨位芳杨位芳交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理导入新课导入新课先看下面的问题先看下面的问题 若今天是星期一，再过若今天是星期一，再过 810天后的那一天天后的那一天是星期几？是星期几？交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理在初
2、中，我们已经学过了在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3观察观察 对于对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开如何展开?交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理(a+b)100又怎么办？又怎么办？(a+b)n(nN+)呢呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规我们知道，事物之间或多或少存在着规律律.这节课，我们就来研究这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开的二项展开式的规律性式的规律性.交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳
3、市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理规律：规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理 如何从组合知识得到如何从组合知识得到(a
4、+b)4展开展开式中各项的系数式中各项的系数?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取若每个括号都不取b，只有，只有 种取法得到种取法得到a4；(2)若只有一个括号取若只有一个括号取b，共有，共有 种取法得到种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取若只有两个括号取b，共有，共有 种取法得到种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取若只有三个括号取b，共有，共有 种取法得到种取法得到ab3；(5)若每个括号都取若每个括号都取b，共有，共有 种取法得种取法得b4.(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学
5、青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理1.二项式定理二项式定理 证明：证明：由于由于(a+b)n是（是（a+b）相乘，每个（）相乘，每个（a+b）在相乘时有）在相乘时有两种选择，选两种选择，选a或或b，而且每个（，而且每个（a+b）中的）中的a或或b都选定后，都选定后，才能得到展开式的一项才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a+b)n的展开式共有的展开式共有2n项，其中每一项都是项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的形式）的形式.对于某个对于某个k（），
6、对应的项），对应的项an-kbk是由是由n-k个（个（a+b）中选）中选a，k个（个（a+b）中选）中选b得到的得到的.由于由于b选定选定后，后，a的选法也随之确定的选法也随之确定.因此，因此，an-kbk出现的次数相当于从出现的次数相当于从n个个(a+b)中取中取k个个b的的组合数组合数 .这样，这样，(a+b)n的展开式中，的展开式中，an-kbk共有共有 个，个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理对二项式定理公式的理
7、解对二项式定理公式的理解 （1）展开式共有）展开式共有n+1项项;（2）各项的次数都等于二项式的次数）各项的次数都等于二项式的次数n;（3）字母）字母a按降幂排列，次数由按降幂排列，次数由n递减到递减到0;字母字母b按升按升幂排列，次数由幂排列，次数由0递增到递增到n.交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理2、二项式系数、二项式系数 我们看到的二项展开式共有我们看到的二项展开式共有n+1项，其中项，其中各项的系数各项的系数 ()叫做二项式系数叫做二项式系数.交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年
8、教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理3、通项、通项 式中的式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，用通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第k+1项：项：交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理对通项的理解对通项的理解 （1）它是）它是(a+b)n的展开式的第的展开式的第k+1项，这里项，这里k=0，1，2，n;（2）字母）字母a，b是一种是一种“符号符号”，实际上它，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项们可以是数、式
9、及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式式的形式就可以用定理写出展开式;（3）展开式是对）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形还可以对等式进行变形.交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理例题例题1用二项式定理展开下式：用二项式定理展开下式：练习：教材第31页练习1、2、3、4交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理变式：你能说出变式：你能说出(1)、(2)的
10、第四项的二项的第四项的二项式系数吗？式系数吗？你能说出你能说出“项的系数项的系数”和和“项的二项式系项的二项式系数数”的区别吗？的区别吗？交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理练习练习1.的展开式中，第五项是的展开式中，第五项是（）A.B.C.D.2.的展开式中，不含的展开式中，不含a的项是第（的项是第（）A.7 项项 B.8 项项 C.9 项项 D.6项项BA3.求二项式求二项式 的展开式中的有理数项的展开式中的有理数项.变变:当当n=8时，求其所有有理项时，求其所有有理项交流讨论交流讨论交流讨论交流讨
11、论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理课堂小结课堂小结1.二项式定理二项式定理 (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是是通通过过不不完完全全归归纳纳法法，并并结结合合组组合合的的概概念念得得到到展展开开式式的的规律性，然后用数学归纳法加以证明规律性，然后用数学归纳法加以证明.2.二项式定理的特点二项式定理的特点 (1)项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 (2)系数系数 (3)指指数数：a的的指指数数从从n逐逐项项递递减减到到0,是是降降幂幂排排 列列；b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列，是升幂排列.交流讨论交流讨论交流讨论交流讨论资阳市中小学青年教师数学竞赛资阳市中小学青年教师数学竞赛二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理作业布置：作业布置：1、必做题：教材第、必做题：教材第27页页1、3、4、5、6 2、选做题：优化探究例、选做题：优化探究例1和学以致用和学以致用1