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1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学一一 多元函数与极限多元函数与极限二二 多元函数的偏导数多元函数的偏导数三三 多元函数的全微分及其应用多元函数的全微分及其应用四四 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法五五*多元函数的极值多元函数的极值1.实例分析实例分析 一、多元函数一、多元函数一、多元函数一、多元函数一、多元函数的概念一、多元函数的概念定义定义1 ：设在某一过程中有三个变量：设在某一过程中有三个变量 x,y 和和 z，如果对于，如果对于 变量变量 x,y 在其变化范围在其变化范围 D 内的每一对值内的每一对值(x,y)，按照法则按照法则 f 有唯一确定的值有唯一确定的值 z R
2、 与之对应，与之对应，那么这种法则就规定了一个函数：那么这种法则就规定了一个函数：其中其中 x，y 称为称为自变量自变量，z 称为称为因变量因变量，D为为定义域。定义域。D中任一对数中任一对数(x,y)在法则在法则 f 下的对应值下的对应值 z，称为，称为 f 在在 点点(x,y)的函数值，记作的函数值，记作 z=f(x,y)。多元函数的概念多元函数的概念函数函数 f 的函数值的全体的函数值的全体称为函数称为函数 f 的值域。的值域。函数的函数的两个要素两个要素:定义域，对应法则定义域，对应法则二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,
3、右图球面右图球面.单值分支单值分支:一、多元函数极限一、多元函数极限注意：注意：是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0.一一元元中中多多元元中中确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：二、多元函数连续二、多元函数连续定义定义3：设函数：设函数 z=f (x,y)在点在点 及其附近有定及其附近有定义义 如果如果 ，就称函数，就称函数 f (x,y)在点在点 连续。如果连续。如果 f (x,y)在区域在区域 D 的的 每一点都连续，就称每一点都连续，就称 f (x,y)在区域在区域 D 连续。连续。满足以下条件：满足以下条件：多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有
4、限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义域内是连续的一切多元初等函数在其定义域内是连续的在在定义域内的定义域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：例例解解一、一、一、一、偏导数偏导数偏导数偏导数 第二节第二节 多元函数的偏导数多元函数的偏导数在二元函数在二元函数 z=f(x,y)中中,有两个自变量有两个自变量 x,y,但若固定其中一个自变量但若固定其中一个自变量,比如比如,令令y=y0,而让而让 x 变化变化
5、.则则 z 成为一元函数成为一元函数 z=f(x,y0),我们可用讨论一元我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数称为偏导数.一、偏导数的定义一、偏导数的定义则称这个极限值为则称这个极限值为 z=f(x,y)在在(x0,y0)处对处对 x 的偏导数的偏导数.即即此时也称此时也称 f(x,y)在在(x0,y0)处对处对x 的偏导数存在的偏导数存在.否则称否则称f(x,y)在在(x0,y0)处对处对x的偏导数不存在的偏导数不存在.类似类似,若固若固定定 x=x0,而让而让 y 变变,z=f(x0,y)成为成为 y 的一元函数的一元函数.则称它为则称它为z=f(x
6、,y)在在(x0,y0)处对处对 y 的偏导数的偏导数.即即定义：设函数定义：设函数 z=f (x,y)在点在点 的某个邻域内有定义。的某个邻域内有定义。固定固定 ，给，给 x 增量增量 ，相应的函数，相应的函数 z 有增量有增量 ，称为，称为 z 关于关于 x 的偏增量。如果极限的偏增量。如果极限 存在，就称其为函数存在，就称其为函数 f (x,y)在点在点 处对处对 x 的偏导数，记作的偏导数，记作函数函数 f (x,y)在点在点 处对处对 y 的偏导数，记的偏导数，记作作若若 z=f(x,y)在区域在区域 D 内每一点内每一点(x,y)处时处时x的偏导数都存在的偏导数都存在,即即(x,y
7、)D,存在存在.此时此时,它是它是 x,y的二元函数的二元函数.称为称为 z 对对 x 的偏的偏导函数导函数.简称偏导数简称偏导数.记作记作类似定义类似定义 z 对对 y 的偏导函数的偏导函数.1.由偏导数定义知由偏导数定义知,所谓所谓 f(x,y)对对x 的偏的偏导数导数,就是将就是将 y 看作常数看作常数,将将 f(x,y)看作一看作一元函数来定义的元函数来定义的.注注因此因此,在实际计算时在实际计算时,求求 f x(x,y)时时,只须只须将将 y 看作常数看作常数,用一元函数求导公式求即可用一元函数求导公式求即可.求求 f y(x,y)时时,只须将只须将 x 看作常数看作常数,用一用一元
8、函数求导公式求即可元函数求导公式求即可.2.f x(x0,y0)就是就是 f x(x,y),在点在点(x0,y0)的值的值.算算 f x(x0,y0)可用可用3种方法种方法.f y(x0,y0)f y(x,y)f y(x0,y0)(1)用定义算用定义算.(2)先算先算 f x(x,y),再算再算 f x(x0,y0)f y(x,y),f y(x0,y0).例例1.解解:例例2.解解:例例4.解解:在一元函数中在一元函数中,可导必连续可导必连续,但对多元函数但对多元函数不适用不适用.即即,对多元函数对多元函数 f(x,y)而言而言,即使它即使它在在(x0，y0)的对各个自变量的偏导数都存在的对各
9、个自变量的偏导数都存在,也也不不能保证能保证 f(x,y)在在(x0，y0)连续连续.三、偏导与连续的关系三、偏导与连续的关系两个偏导数都存在的二元函数未必连续两个偏导数都存在的二元函数未必连续偏导与连续的关系：偏导与连续的关系：例例.易知易知,f(x,y)在在(0,0)的两个的两个偏导都存在偏导都存在,且且为为0.但它在但它在(0,0)不连续不连续.如图如图yxzo由于它们还是由于它们还是 x,y 的函数的函数.因此因此,可继续讨可继续讨论论高阶偏导数称为称为 z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.类似类似,可得三阶可得三阶,四阶四阶,n 阶偏导阶偏导数数.例例1.解解:一般说来一般说来
10、,算这算这个改变量较麻烦个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足该近似公式应满足(1)好算好算.(2)有起码的精有起码的精度度.在实际中在实际中,常需计算当两个自变量都常需计算当两个自变量都改变时改变时,二元函数二元函数 z=f(x,y)的改变量的改变量 f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).一、全微分的概念一、全微分的概念第三节第三节 多元函数的全微分多元函数的全微分类似一元函数的微分概念类似一元函数的微分概念,引进记号和定义引进记号和定义.记记 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).称为称为 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的全增量的
11、全增量.全微分的定义全微分的定义 对照一元函数的微分对照一元函数的微分,z=f(x,y),若若 z=A x+0(x)则则dz=A x=f (x)x.自然会提出以下问题自然会提出以下问题.(1)若若z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微,微分式微分式 dz=A x+B y中系数中系数 A,B 如何求如何求,是否与是否与z的偏的偏导有关导有关?(2)在一元函数中在一元函数中,可微与可导是等价的可微与可导是等价的.在在二元函数中二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中在一元函数中,可微可微连续连续,对二元函数对二元函数是否也对是否也对?事实上事
12、实上结论结论:对二元函数对二元函数 z=f(x,y),z 在在(x0,y0)可微可微(不不是存在两个偏导是存在两个偏导)z 在在(x0,y0)连续连续.可微的条件可微的条件证略。证略。多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在解解(2,1)处的全微处的全微分分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数定理定理1：如果函数如果函数 在点在点(x,y)有有 连续偏导数连续偏导数 ，函数，函数 z=f(u,v)在
13、对应点在对应点(u,v)有连续偏导数有连续偏导数 ，则函数，则函数 在点在点(x,y)有连续偏导数有连续偏导数 且且第四节第四节 多元函数的求导法则多元函数的求导法则一一 链式法则链式法则链式法则如图示链式法则如图示解解z uvxy型型1 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数2 求下列函数的全微分求下列函数的全微分3 求下列复合函数的偏导数求下列复合函数的偏导数4 设设 u=f(x+at)+g(x at)其中其中f,g是任意的二阶可微函数，是任意的二阶可微函数，证明：证明：答案答案 1 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数2 求下列函数的全微分求下列函数的全微分3 求下列复合函数的偏导数求下列复合函数的偏导数（5）令）令（6）令）令4 证明：令证明：令