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1、平面点集平面点集平面点集平面点集和区域和区域和区域和区域多元函数多元函数多元函数多元函数的极限的极限的极限的极限多元函数多元函数多元函数多元函数连续的概念连续的概念连续的概念连续的概念极极极极 限限限限 运运运运 算算算算多元连续函数多元连续函数多元连续函数多元连续函数的性质的性质的性质的性质多元函数概念多元函数概念多元函数概念多元函数概念第第9章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数隐函数隐函数求导法则求导法则求导法则求导法则复合函数复合函数复合函数复合函数求导法则求导法则求导法则求导法则全微分形式全微分形式全微分形式全微分形式
2、的不变性的不变性的不变性的不变性多元函数多元函数的极值的极值全微分全微分全微分全微分概念概念概念概念偏导数偏导数偏导数偏导数概念概念概念概念21、区域、区域（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.（2）区域）区域设设 是平面上的一个点是平面上的一个点,.与点与点 的的距离小于距离小于 的点的点 的全体的全体,称为点称为点 的的 邻邻域域,记为记为 ,即即3（3）聚点）聚点设设 E 是平面上的一个点集是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点是平面上的一个点,如果点如果点 P 的任何一个去心的邻域内总有无限多个的任何一个去心的邻域内总有无限多个点属于点集点属于点集 E
3、,则称则称 P 为为 E 的聚点的聚点.2、多元函数概念、多元函数概念z=f(x,y)或或 z=f(P),个点个点 ,变量变量 z 按照一定的法则总有确定按照一定的法则总有确定定义定义设设 D 是坐标平面上的一个点集是坐标平面上的一个点集,如果对于每如果对于每的值和它对应的值和它对应,则称则称 z 是变量是变量 x,y 的二元函数的二元函数,记为记为43、多元函数的极限、多元函数的极限都有都有 成立成立,则称则称 A 为函为函数数 f(x,y)当当 时的极限时的极限,记为记为 总存在正数总存在正数 ,使得当点使得当点 时时,或或定义定义:设函数设函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为
4、 D,是其聚点是其聚点.如果存在常数如果存在常数 A,对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ,5说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似64、多元函数的连续性、多元函数的连续性定义定义:为为 D 的聚点的聚点.设二元函数设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为 D,如果函数如果函数 f(x,y)在在 不连续不连续,则称则称 为函数为函数 f(x,y)的间断点的间断点.在点在点 连续连续.则称函数则称函数 f(x,y)
5、如果如果 且且 ,7在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数上的多元连续函数,在在D上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次.在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数上的多元连续函数,如果在如果在D上取上取得两个不同的函数值得两个不同的函数值,则它在则它在D上取得介于这两值上取得介于这两值之间的任何值至少一次之间的任何值至少一次.（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理5、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质86、偏导数概念、偏导数概念义义,当当 y 固定在固定在 而而 x 在在 处有增量处有增量 时时,相应地相应地函数有增量函数有
6、增量 ,如果如果 存在存在,则称此极限为则称此极限为函数函数 z=f(x,y)在点在点 处对处对 x 的偏导数的偏导数,定义定义或或设函数设函数 z=f(x,y)在在 的某邻域内有定的某邻域内有定记为记为9同理可定义函数同理可定义函数 z=f(x,y)在点在点 处对处对 y 的的偏导数偏导数:或或如果函数如果函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内任一点内任一点(x,y)处对处对 x(或或y)的偏导数都存在的偏导数都存在,那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是 x,y的函数的函数,称为函数称为函数 z=f(x,y)对自变量对自变量 x(或或y)的偏的偏导函数导函数,记作记作107、高阶偏导数、
7、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导118、全微分概念、全微分概念如果函数如果函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)的全增量的全增量可以表示为可以表示为其中其中 A,B 不依赖于不依赖于而仅与而仅与 x,y 有关有关,点点(x,y)可微分可微分,称为函数在点称为函数在点(x,y)的的即即则称函数在则称函数在全微分全微分,记作记作12多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导139、复合函数求导法则、复合函数求导法则全导数全导数全导数全导数141510、全微分形式不变性、全微分形式不变性无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数的函数,它的全微分形式是一样的它的全微分形式是一样的.1611、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则直接求导法直接求导法1712、多元函数的极值、多元函数的极值定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极使函数取得极值值的点称的点称为为极极值值点点.18多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件一阶偏导数同时为零的点一阶偏导数同时为零的点,均称为多元函数的驻点均称为多元函数的驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点19,2021条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值22